Revista Colombiana de Matemáticas

Commensurator Subgroups of Surface Groups

Let M be a surface, and let H be a subgroup of π1M. In this paper we study the commensurator subgroup C\\pi_1M(H) of π1M, and we extend a result of L. Paris and D. Rolfsen [7], when H is a geometric subgroup of π1M. We also give an application of commensurator subgroups to group representation theory. Finally, by considering certain closed curves on the Klein bottle, we apply a classification of these curves to self-intersection Nielsen theory.

Sean M una superfície y H un subgrupo de π1M. En este artículo estudiamos los subgrupos conmensuradores C\\pi_1M(H) de π1M, y extendemos un resultado obtenido por L. Paris y D. Rolfsen en [7], cuando H es un subgrupo geométrico de π1M. También daremos una aplicación de estos subgrupos conmensuradores a la teoría de representaciones de grupos. Finalmente, considerando ciertas curvas cerradas en la botella de Klein, aplicaremos una clasificación de estas curvas a la Teoría de Nielsen de auto-intersección.

Rigidity of the Stable Norm on Tori

Given a closed, orientable Riemannian manifold, we study the stable norm on the real homology groups. In particular, for n≥ 2 we prove that a Riemannian n-torus, which has the same stable norms as a flat n-torus on the first and n-1 homology groups, is in fact isometric to the flat torus.

Dada una variedad Riemanniana, cerrada y orientable, estudiamos la norma estable sobre sus grupos de homología real. En particular, para n≥ 2 demostramos que si un n-toro Riemanniano tiene normas estables iguales a las normas estables de un n-toro plano sobre el primer y n-1 grupos de homología; entonces es isométrico a dicho toro plano.

A Variational Characterization of the Fucik Spectrum and Applications

We characterize the \it Fucik spectrum (see [7]) of a class selfadjoint operators. Our characterization relies on Lyapunov-Schmidt reduction arguments. We use this characterization to establish the existence of solutions for a semilinear wave equation. This work has been motivated by the authors results in [4] where one dimensional second order ordinary differential equations are studied.

Se caracteriza el espectro de Fucik (véase [7]) de una clase de operadores autoadjuntos. Basamos esta caracterización en el método de reducción de Lyapunov-Schmidt. Usamos esta caracterización para demostrar la existencia de soluciones a una ecuación de onda semilineal. Este trabajo ha sido motivado por los resultados de los autores en [4] donde se estudian ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

Maximal Virtual Schottky Groups: Explicit Constructions

A Schottky group of rank g is a purely loxodromic Kleinian group, with non-empty region of discontinuity, isomorphic to the free group of rank g. A virtual Schottky group is a Kleinian group K containing a Schottky group Γ as a finite index subgroup. In this case, let g be the rank of Γ. The group K is an elementary Kleinian group if and only if g ∈ {0,1}. Moreover, for each g ∈ {0,1} and for every integer n ≥ 2, it is possible to find K and Γ as above for which the index of Γ in K is n. If g ≥ 2, then the index of Γ in K is at most 12(g-1). If K contains a Schottky subgroup of rank g ≥ 2 and index 12(g-1), then K is called a maximal virtual Schottky group. We provide explicit examples of maximal virtual Schottky groups and corresponding explicit Schottky normal subgroups of rank g ≥ 2 of lowest rank and index 12(g-1). Every maximal Schottky extension Schottky group is quasiconformally conjugate to one of these explicit examples. Schottky space of rank g, denoted by Sg, is a finite dimensional complex manifold that parametrizes quasiconformal deformations of Schottky groups of rank g. If g ≥ 2, then Sg has dimension 3(g-1). Each virtual Schottky group, containing a Schottky group of rank g as a finite index subgroup, produces a sublocus in Sg, called a Schottky strata. The maximal virtual Schottky groups produce the maximal Schottky strata. As a consequence of the results, we see that the maximal Schottky strata is the disjoint union of properly embedded quasiconformal deformation spaces of maximal virtual Schottky groups.

Un grupo de Schottky de rango g es un grupo Kleiniano puramente loxodrómico, con región de discontinuidad no vacía, e isomorfo al grupo libre de rango g. Un grupo de Schottky virtual es un grupo Kleiniano K que contiene un grupo de Schottky Γ como subgrupo de índice finito. En tal caso, sea g el rango de Γ. El grupo K es un grupo Kleiniano elemental si y sólo si g ∈ {0,1}. Más aún, para cada g ∈ {0,1} y para cada entero n ≥ 2, es posible construir Γ and K de manera que Γ tenga índice n en K. Si g ≥ 2, entonces el índice de Γ en K es a lo más 12(g-1). Si K contiene un subgrupo de Schottky de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1), entonces K es llamado un grupo de Schottky virtual maximal. Proveemos ejemplos explícitos de grupos de Schottky virtuales maximales y correspondientes subgrupos de Schottky normales de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1). Todo grupo de Schottky virtual maximal es cuasiconformemente conjugado a uno de estos ejemplos. El espacio de Schottky de rango g, denotado por Sg, es una variedad compleja finito dimensional que parametriza las deformaciones cuasiconformes de grupos de Schottky de rango g. Si g ≥ 2, entonces Sg tiene dimensión 3(g-1). Cada grupo de Schottky virtual, conteniendo un grupo de Schottky de rango g como subgrupo de índice finito, produce un subconjunto en Sg, llamado un estrato de Schottky. Los grupos de Schottky virtuales maximales producen el estrato de Schottky maximal. Como consecuencia de los resultados obtenidos, se obtiene que el estrato de Schottky maximal es la unión disjunta de incrustaciones de espacios de deformación cuasiconforme de grupos de Schottky virtuales maximales.

An Alternative Proof of Hill's Criterion of Freeness for Abelian Groups

In this note we provide a different proof of Hill's criteria of freeness for abelian groups. Our proof hinges on the construction of suitable G(ℵ0)-families of subgroups of the links in Hill's theorem and, ultimately, on the construction of such a family of pure subgroups of the group itself.

En este trabajo se proporciona una nueva demostración del criterio de Hill para grupos abelianos libres. La demostración se basa en la construcción de una G(ℵ0)-familia de subgrupos en los eslabones del teorema de Hill y, prioritariamente, en la construcción de una familia tal de subgrupos puros.

Theorems for Double-Index One-Parameter Bessel Functions

Las funciones especiales son de suma importancia para científicos e ingenieros en muchas de sus aplicaciones, siendo las funciones de Bessel de las más utilizadas debido a que surgen en la solución de ecuaciones diferenciales en matemática, física, química, ingeniería y otras ramas de la ciencia y la tecnología; por esta razón diversos autores han estudiado diferentes generalizaciones de las funciones de Bessel. En este trabajo se presentan teoremas de adición, multiplicación y de Graf para la función de Bessel de dos índices y un parámetro (Jm,n(x;τ)).

The special functions are of utmost importance for scientists and engineers, in many of their applications, being Bessel functions of the most used due that they arise in the solution of differential equations from mathematics, physics, chemistry, engineering and other branches of science and technology; for this reason several authors have studied different generalizations of the Bessel functions. In this paper the theorems of addition, multiplication and Graf's, for double index, one parameter Bessel function (Jm,n(x;τ)) are established.