Revista Colombiana de Matemáticas

Una nueva demostración de la factorización única para d = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163

Abstract In this paper, we give an elementary proof of the fact that the rings are unique factorization domains for the values d = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. While the result in itself is well known, our proof is new and completely elementary and uses neither the Minkowski convex body theorem, nor the Dedekind and Hasse theorems. Furthermore, it does not use either the theory of algebraic integers, or the theory of Noetherian rings. It only uses basic notions from the theory of commutative rings.

Resumen En este artículo, damos una demostración elemental de que los anillos son dominios de factorización única para los valores d = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Si bien este resultado es conocido, nuestra prueba es nueva y completamente elemental, y no hace uso del teorema del cuerpo convexo de Minkowski, ni del teorema de Dedekind y Hasse. Además, no utiliza la teoría de los enteros algebraicos, ni la teoría de los anillos noetherianos. Sólo utiliza nociones básicas de la teoría de los anillos conmutativos.

Nuevas desigualdades del tipo Hermite-Hadamard y Jensen para funciones h-convexas sobre conjuntos fractales

Abstract In this paper, some new Jensen and Hermite-Hadamard inequalities for h-convex functions on fractal sets are obtained. Results proved in this paper may stimulate further research in this area.

Resumen En este artículo, se obtienen algunas nuevas desigualdades del tipo Jensen y Hermite-Hadamard para funciones h-convexas sobre conjuntos fractales. Los resultados probados en este artículo pueden estimular futuras investigaciones en esta área.

**Construcción de conjuntos B_h[g] en producto de grupos**

Abstract A subset A of an abelian group G is a Bh[g] set on G if the elements of G can be written in at most g ways as sum of h elements of A. Given any field F, this work presents constructions of Bh[g] sets on the abelian groups (Fh +), (Zd, +), and (Zm1 × … × Zmd, +), for d ≥ 2, h ≥ 2, and g ≥ 1.

Resumen Un subconjunto A de un grupo abeliano G es un conjunto Bh[g] sobre G si todo elemento de G puede escribirse en a lo sumo de g for- mas como la suma de h elementos de A. En este trabajo se presentan construcciones de conjuntos Bh[g] sobre los grupos abelianos (Fh +), (Zd, +), y (Zm1 × … × Zmd, +), para d ≥ 2, h ≥ 2, y g ≥ 1. con F cualquier campo.

Sobre la energía de matrices simétricas y la fórmula integral de Coulson

Abstract We define the outer energy of a real symmetric matrix M as for the eigenvalues λ1, …, λn of M and their arithmetic mean . We discuss the properties of the outer energy in contrast to the inner energy defined as Einn(M) = . We prove that Einn is the maximum among the energy functions e: S(n) → R and Eout among functions f (M - 1n, where f is an energy function. We prove a variant of the Coulson integral formula for the outer energy.

Resumen Definimos la energía exterior de una matriz simétrica real M como donde λ1, …, λn son los autovalores M y es su media aritmética. Discutimos las propiedades de la energía exterior en contraste con la energía interior definida como Einn(M) = . Demostramos que Einn es máxima entre todas las funciones de energía e: S(n) → R y Eout entre todas las funciones f (M - 1n, donde f es una función de energía. Demostramos una variante de la fórmula integral de Coulson para la energía exterior.

Información Cuántica y la Teoría de Representación del Grupo Simétrico

Abstract A number of important results in quantum information theory can be connected quite elegantly to the representation theory of the symmetric group through a quantum analogue of the classical information-theoretic "method of types" that arises naturally from the Schur-Weyl duality. We will give a brief introduction to this connection and briefly discuss some of the results that follow from it, such as quantum source compression rates, entanglement concentration rates, quantum entropy inequalities, and the admissisble spectra of partial density matrices from pure, multipartite entangled states.

Resumen Un gran número de resultados importantes en la teoría de la información cuántica se pueden conectar con la teoría de la representación del grupo simétrico, a través de un análogo cuántico del llamado método de tipos que emerge de manera natural de la dualidad de Schur-Weyl. En este artículo daremos una breve introducción a esta conexión y discutiremos algunos resultados que emergen de la misma, como son las tasas de compresión de a fuente cuántica, tasas de concentración de enredamiento, desigualdadades de la entropía cuántica, y condiciones sobre los espectros admisibles de matrices parciales de densidad provenientes de un estado cuántico puro multipartito.

Local unitary representations of the braid group and their applications to quantum computing

Abstract We provide an elementary introduction to topological quantum computation based on the Jones representation of the braid group. We first cover the Burau representation and Alexander polynomial. Then we discuss the Jones representation and Jones polynomial and their application to anyonic quantum computation. Finally we outline the approximation of the Jones polynomial by a quantum computer and explicit localizations of braid group representations.

Solutions of the hexagon equation for abelian anyons

Abstract We address the problem of determining the obstruction to existence of solutions of the hexagon equation for abelian fusion rules and the classification of prime abelian anyons.

Algebraic Methods for Quantum Codes on Lattices

Abstract This is a note from a series of lectures at Encuentro Colombiano de Computación Cuántica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia, 2015. The purpose is to introduce additive quantum error correcting codes, with emphasis on the use of binary representation of Pauli matrices and modules over a translation group algebra. The topics include symplectic vector spaces, Clifford group, cleaning lemma, an error correcting criterion, entanglement spectrum, implications of the locality of stabilizer group generators, and the classification of translation-invariant one-dimensional additive codes and two-dimensional CSS codes with large code distances. In particular, we describe an algorithm to find a Clifford quantum circuit (CNOTs) to transform any two-dimensional translation-invariant CSS code on qudits of a prime dimension with code distance being the linear system size, into a tensor product of finitely many copies of the qudit toric code and a product state. Thus, the number of embedded toric codes is the complete invariant of these CSS codes under local Clifford circuits.