Tecné, Episteme y Didaxis: TED

La geometría, su enseñanza y su aprendizaje

Algoritmos como herramienta en la búsqueda de nuevos datos para la resolución de problemas sobre isometrías del plano

Una vez reconocida la importancia que tienen los algoritmos en el proceso de resolución de problemas, particularmente en geometría, se identificaron teóricamente algunas posibles formas en las que se usan algoritmos que son conocidos para los resolutores, durante la solución de algún problema cuyo objeto central son las isometrías del plano. En este artículo se confirman, describen y evidencian los usos relacionados con la obtención de nueva información, y a partir del análisis de los datos, se sugiere una ampliación de la descripción de cada uso. Finalmente, se mencionan algunas cuestiones abiertas emergentes a partir de la realización del estudio y de la elaboración de conclusiones, también se citan algunas implicaciones del trabajo para la investigación y la didáctica de las matemáticas.

Starting from the recognizing of the algorithms importance in problem solving process, particularly in geometry, some ways were identified in which using known algorithms by solvers during solving some problems whose central object is plane isometries. In this paper, some uses are described, confirmed and evidenced, these uses are linked obtaining new information up. Furthermore, the dates analysis is the support to suggest a description extended of each use. Finally, there are some open issues which have emerged from the carrying study and from making conclusions; also plenty of implications are mentioned to research and mathematics didactic fields.

[title language=es]El Tetris como mediador visual para el reconocimiento de movimientos rígidos en el plano (rotación y traslación)

El videojuego forma parte de la realidad de los jóvenes de la actualidad. En procura de aprovechar algunos beneficios del entorno visual del videojuego en el aula de matemáticas tales como: dinamizar la reflexión, desarrollar competencia de resolución de problemas y estimular capacidad deductiva, se desarrolló un proyecto de investigación que hace uso del videojuego en tareas de acercamiento a los conceptos geométricos de rotación y traslación. En este artículo presentamos un marco analítico para identificar procesos y habilidades de visualización que se desarrollan al aprovechar el videojuego como mediador visual y damos cuenta de un estudio investigativo a partir del cual ilustramos los efectos del uso del Tetris en la resolución de tareas desarrolladas por tres estudiantes con necesidades particulares de aprendizaje del Gimnasio Los Robles (Bogotá).

The game is part of the reality of today's youth. In seeking to leverage some of the benefits of the visual environment of the game in the mathematics classroom such as dynamic reflections, develop problem-solving competition, stimulate deductive powers, developed a research project that uses video game to approach tasks geometric concepts of rotation and translation. In this lecture we present an analytical framework to identify processes and visualization skills are developed to exploit the game as visual mediator and realize a research study from which illustrate the effects of the use of Tetris in solving tasks performed by three students with particular learning needs of Gimnasio Los Robles (Bogotá).

Del análisis y la representación de situaciones espaciales hacia el pensamiento teórico en geometría: una ruta de tercero a noveno grado

A partir de ejemplos provenientes de un proyecto que inició a finales de los años 1970, y que ha sido ampliamente experimentado en la escuela primaria y los primeros cursos de secundaria, me propongo ilustrar cómo es posible moverse desde la construcción argumentativa de conceptos geométricos en campos de experiencia adecuados (en particular, en el campo de experiencia de las sombras solares) hacia el desarrollo de las competencias argumentativas necesarias para validar conjeturas en geometría y para aproximarse a teoremas de la geometría tridimensional. La producción y validación argumentativa de hipótesis relacionadas con ciertos fenómenos y situaciones espaciales proveen oportunidades a los estudiantes tanto para desarrollar la conceptualización en el campo de la geometría como para tener un acercamiento al razonamiento hipotético (''si... entonces...''), al encadenamiento deductivo de proposiciones, etcétera. La mayoría de los ejemplos tienen que ver con situaciones tridimensionales de sombras producidas por el sol.

The aim of this paper is to illustrate, through examples taken from a Project widely experimented in primary and lower secondary school since the end of the seventieths, how it is possible to move from the argumentative construction of geometrical concepts in suitable fields of experience (in particular, the field of experience of sun shadows) to the development of students' argumentative skills that are needed to validate conjectures in geometry, and to their approach to 3-D geometry theorems. Production and argumentative validation of hypotheses concerning suitable space situations and phenomena provide students with the opportunity of both developing conceptualization in the field of geometry, and approaching hypothetical reasoning (''if... then...''), deductive enchaining of propositions, etc. Most examples will deal with 3D-situations concerning sun shadows

Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y secundaria

En este artículo presentamos introducciones a algunos modelos didácticos centrales de la enseñanza de la geometría en los diferentes niveles educativos desde infantil hasta la universidad. En primer lugar introducimos el modelo de Van Hiele, que es el marco más efectivo para organizar la enseñanza de la geometría en los diferentes niveles educativos. Nos centramos en uno de sus componentes, las fases de aprendizaje, que sugiere cómo organizar los contenidos de los temas de enseñanza de las matemáticas escolares. Luego, prestamos atención al modelo de Vinner de aprendizaje de conceptos matemáticos con un fuerte apoyo gráfico. Se trata de una propuesta más específica que el modelo de Van Hiele, si bien son plenamente compatibles, centrada en describir el aprendizaje de conceptos que admiten representaciones gráficas potentes, basada en la distinción entre las imágenes conceptuales y las definiciones conceptuales, para mostrar el papel crítico que pueden cumplir los ejemplos y los contraejemplos en la comprensión y el aprendizaje por los estudiantes. Por último, reflexionamos sobre la necesidad de que los profesores tengan en cuenta las representaciones gráficas, tanto físicas como mentales, utilizadas en la enseñanza y el aprendizaje de la geometría. Describimos los principales elementos que forman parte de las imágenes, procesos y habilidades de visualización presentes en el trabajo con elementos geométricos.

In this paper we introduce some important educational models relevant to the teaching and learning of Geometry in every educational level, from kindergarten to university. First, we describe the Van Hiele model, that currently is the most effective framework to organize the teaching of Geometry in any educational level. We will focus on one of its components, namely the phases of learning that proposes teachers a way to organize the contents of the lessons of Mathematics. Next, we will pay attention to the Vinner model of learning of mathematical concepts having strong graphical support. This model is more specific than the Van Hiele model, although they are fully compatible. The Vinner model describes the learning of concepts with graphical support based on the distinction among concept images and concept definitions, showing the role examples and counterexamples may play in students' understanding and learning. Lastly, we will raise the need for teachers to take into consideration graphical representations, both physical and mental, used in teaching and learning Geometry. I will describe the main components of the images, processes and abilities of visualization present when working with geometric elements.

La historia como recurso didáctico: el caso de los Elementos de Euclides

Con la introducción de la matemática moderna en la enseñanza básica y media en la segunda mitad del siglo XX se descuidó seriamente la enseñanza de la geometría para privilegiar el álgebra y la teoría de conjuntos. Este descuido ha traído graves consecuencias en la formación matemática de nuestros estudiantes, razón por la cual se está revaluando seriamente el papel de la geometría en la formación de nuestros niños y jóvenes. Son numerosos los artículos que se encuentran en la red en los cuales se analiza este hecho y se hacen propuestas de qué y cómo enseñar geometría en la enseñanza básica y media. Entre los recursos didácticos que se consideran hoy en día para el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles de formación se encuentra la historia de la disciplina, pues ella nos per-mite apreciar el origen de los conceptos matemáticos y las vicisitudes que han tenido a través del tiempo para consolidarse como hoy los conocemos. En particular, se resalta la importancia de la obra Elementos de Euclides, en la cual se pueden encontrar herramientas didácticas para la enseñanza y aprendizaje de la geometría, el álgebra y la teoría de números. En este artículo se presentan algunos aspectos de esta obra que pueden ser útiles en la enseñanza de la geometría.

In mid- 20th century the introduction of modern Mathematics in primary and high-school curricula privileged Algebra and set theory over Geometry. This oversight has created deep consequences in the mathematical formation of our students. Nowadays this situation has seriously led to study the role Geometry plays in the education of our children and young people. Thus, many proposals have been offered to solve the problem of how to teach geometry at these levels. One of the proposals offered is the use of the history of mathematics to improve the teaching mathematics, since its history allows valuing and understanding of the origin of mathematical concepts and the vicissitudes they had undergone up to the consolidated form we know them today. In particular, I highlight the importance of the Opus Dei of Elements by Euclid, which we can find didactical tools to learn geometry, algebra and number theory. In this paper I present some tools about Elements useful for teaching and learning of geometry.

Figuras de ancho constante: un tema por explorar

El objetivo de este artículo es describir algunos métodos de construcción de figuras de ancho constante en el entorno Cabri Geometry II Plus; tales métodos son producto de un estudio sobre algunas propiedades y la historia de figuras con esta característica. Pretendemos, específicamente, presentar un contexto que provee información sucinta de propiedades básicas. Exponemos métodos de construcción que las generan describiendo los caminos que se utilizaron para deducirlos; además, mostramos algunas aplicaciones que se les han dado a las figuras de ancho constante en contextos matemáticos que favorecen la construcción de otro tipos de figuras, a saber, curvas de Zindler.

The goal of this paper is to describe some methods of construction of constant width figures on Cabri Geometry II Plus environment; such methods are the study result of some properties of figures with this property. Methods of construction that allow generate them and the way to deduce these methods are shown. Moreover, we present some of their applications on mathematics contexts that permit the construction of other figures, namely, Zindler curves.

Impresión de diseños simétricos en la obra de Escher

La búsqueda, por parte del ser humano, de bellos diseños, la selección de formas y colores de distintas piezas para sus muros y embaldosados, y la repetición sistemática de motivos produjeron patrones simétricos como ejemplos de teselados. Así mismo, la naturaleza ha encontrado bellísimos teselados resolviendo sus propios problemas. Un teselado embaldosado de una superficie es cubrirla con una misma pieza que se repite sin dejar espacios ni solapamientos. Aunque a simple vista se piense que son infinitas las formas de producir diseños simétricos planos, básicamente existen solo 17 formas de producirlos. Mostraremos que la ejecución de estos teselados sigue unas reglas sencillas y precisas, las cuales hemos utilizado para imaginar 17artefactos, los cuales son ejemplos del concepto debido a William Thurston, deorbifold (orbificie o calidoscopio generalizado) y que pueden ser utilizados en la impresión de cualquier diseño simétrico plano. Exhibiremos estos artefactos por medio de algunos dibujos y utilizaremos algunas de las obras de Escher para ilustrar nuestra conferencia. Se verá que los conceptos de translación, rotación y de reflexión pueden enseñarse fácilmente por medio de la utilización de estos artefactos.

In his need to find beautiful designs, forms and colors in the decoration of walls and the tiling of floors, humankind produced symmetric patterns that are examples of the concept of tessellation. In its own way, in order to solve its problems, nature had found wonderful tessellations. A tessellation or a surface tilling is the process of covering completely a surface with one type of tile that is repeated over and over without gaps or overlaps. Although it seems that there are infinitely many ways to produce symmetric plane designs, there are basically only 17 possible ways to produce a design. We will show that the execution of these tessellations follows some simple and concise rules, that we have used to construct 17 artifacts that can be used in the impression of any symmetric plane design. These artifacts are practical examples of Bill Thurston´s concept of Orbifold. As an illustration of our presentation, we will exhibit these artifacts by using some pictures and some of Escher´s designs. We will show that it is possible to teach, in an easy way, the concepts of rotation, translation and reflection by using these artifacts.

Un ejemplo de articulación de la lógica y la geometría dinámica en un curso de geometría plana

En este artículo damos a conocer nuestro punto de vista en relación con el papel de la lógica matemática en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la demostración. Ilustramos cómo introducimos temáticas de la lógica en un curso de geometría, para lo cual acudimos a los sucesos del cursillo realizado en el XX Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. Presentamos ejemplos en el los que la geometría dinámica se constituye en un contexto que propicia el acercamiento sugerido a la lógica matemática.

In this paper we present our point of view with respect to the role of mathematical logic in the teaching and learning of proof. We illustrate how to introduce topics of logic in a geometry course. To do so, we rely on results obtained during the workshop developed during the 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. We present examples where dynamic geometry becomes a context that favors the suggested approach to mathematical logic.

Una relación entre la geometría y el algebra (programa de Erlangen)

Los tres documentos fundamentales para el estudio de la geometría son: Elementos, de Euclides; la conferencia de B. Riemann ''Sobre las hipótesis que están los fundamentos de la Geometría'' (1854) con motivo de su habilitación para ser profesor universitario (Universidad de Göttingen), el ''Programa de Erlangen'', documento escrito por F. Klein (1872) con motivo de su ingreso como profesor a la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen. En este último documento, F. Klein introduce el concepto de grupo como una herramienta para estudiar geometría. El concepto de grupo de transformaciones de un espacio ya era conocido en ese entonces. El objetivo de este documento divulgativo es mostrar una relación de la geometría y el algebra, tomando como ejemplo el plano proyectivo. El programa de Erlangen sigue marcando hasta hoy día una directriz de cómo estudiar y hacer geometría moderna.

The three key documents for study geometry are: 1) '' The Elements'' of Euclid, 2) the lecture by B. Riemann at Göttingen in 1854 entitled ''Über die Hypo thesen welche der Geometriezu Grun deliegen''(On the hypotheses which underlie geometry) and 3) the ''Erlangen Program'', a document written by F. Klein (1872) on his income as professor at the Faculty of Philosophy and the Senate of the Erlangen University. The latter document F. Klein introduces the concept of group as a tool to study geometry. The concept of a group of transformations of space was known at the time. The purpose of this informative paper is to show a relationship between geometry and algebra through an example, the projective plane. Erlangen program until today continues being a guideline of how to study geometry.