Revista Colombiana de Matemáticas

Pointed Hopf algebras: a guided tour to the liftings

Abstract: This article serves a two-fold purpose. On the one hand, it is a survey about the classi cation of finite-dimensional pointed Hopf algebras with abelian coradical, whose final step is the computation of the liftings or deformations of graded Hopf algebras. On the other, we present a step-by-step guide to carry out the strategy developed to construct the liftings. As an example, we conclude the work with the classification of pointed Hopf algebras of Cartan type B 2.

Resumen: Este artículo tiene un doble propósito. Por un lado, repasamos la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita con corradical abeliano, cuyo paso final es el cálculo de los levantamientos o deformaciones de álgebras de Hopf graduadas. Por otro, presentamos una guía paso a paso para llevar a cabo la estrategia desarrollada para construir los levantamientos. Concluimos el trabajo con un ejemplo donde damos la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de tipo Cartan B 2.

Graded modules over simple Lie algebras

Abstract: The paper is devoted to the study of graded-simple modules and gradings on simple modules over finite-dimensional simple Lie algebras. In general, a connection between these two objects is given by the so-called loop construction. We review the main features of this construction as well as necessary and sufficient conditions under which finite-dimensional simple modules can be graded. Over the Lie algebra l2(ℂ), we consider specific gradings on simple modules of arbitrary dimension.

Resumen: El artículo está dedicado al estudio de módulos graduados simples y graduaciones de módulos simples sobre álgebras de Lie simples de dimensión finita. En general, una conexión entre estos dos objetos viene dada por la llamada construcción de lazos. Revisaremos las características principales de esta construcción, así como las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales se pueden graduar los módulos simples de dimensión finita. Para el álgebra de Lie l2(ℂ), consideramos graduaciones específicas en módulos simples de dimensión arbitraria.

On the importance of being primitive

Abstract: We give a brief survey of primitivity in ring theory and in particular look at characterizations of primitive ideals in the prime spectrum for various classes of rings.

Resumen: Hacemos un breve estudio de la primitividad en la teoría de anillos y, en particular, veremos caracterizaciones de ideales primitivos en el espectro primo para varias clases de anillos.

Renormalisation via locality morphisms

Abstract: This is a survey on renormalisation in algebraic locality setup highlighting the role that locality morphisms can play for renormalisation purposes. After describing the general framework to build locality regularisation maps, we illustrate renormalisation by locality algebra homomorphisms on three examples, the renormalisation of conical zeta functions at poles, the definition of branched zeta functions and their evaluation at poles and finally the values of iterated integrals stemming from Kreimer's toy model.

Resumen: Éste es un estudio sobre la renormalización en la configuración de la localidad algebraica, que resalta el papel que los morfismos de la localidad pueden desempeñar para los propósitos de la renormalización. Después de describir el marco general para construir mapas de regularización de la localidad, ilustramos la renormalización mediante homomorfismos de álgebras de la localidad en tres ejemplos, la renormalización de las funciones zeta cónica en los polos, la definición de las funciones zeta ramificadas y su evaluación en los polos y, finalmente, los valores de las integrales iteradas derivadas del modelo de juguete de Kreimer.

A short survey on observability

Abstract: The exploration of the notion of observability exhibits transparently the rich interplay between algebraic and geometric ideas in geometric invariant theory. The concept of observable subgroup was introduced in the early 1960s with the purpose of studying extensions of representations from an afine algebraic subgroup to the whole group. The extent of its importance in representation and invariant theory in particular for Hilbert's 14th problem was noticed almost immediately. An important strenghtening appeared in the mid 1970s when the concept of strong observability was introduced and it was shown that the notion of observability can be understood as an intermediate step in the notion of reductivity (or semisimplicity), when adequately generalized. More recently starting in 2010, the concept of observable subgroup was expanded to include the concept of observable action of an afine algebraic group on an afine variety, launching a series of new applications and opening a surge of very interesting activity. In another direction around 2006, the related concept of observable adjunction was introduced, and its application to module categories over tensor categories was noticed. In the current survey, we follow (approximately) the historical development of the subject introducing along the way, the definitions and some of the main results including some of the proofs. For the unproven parts, precise references are mentioned.

Resumen: El estudio de la noción de observabilidad muestra de modo transparente la rica interacción entre las ideas algebraicas y geométricas en la teoría geométrica de invariantes. El concepto de subgrupo observable fue introducido al inicio de la década de 1960 con el propósito de estudiar las extensiones de representaciones desde un subgrupo algebraico afín a todo el grupo (también algebraico afín). La importancia de la noción de subgrupo observable en la teoría de representaciones y la teoría de invariantes, en particular para el estudio del 14to problema de Hilbert, fue observada de inmediato. En la mitad de la década de 1970 apareció un refinamiento importante de esta noción: el concepto de observabilidad fuerte fue introducido y se mostró que la noción de observabilidad puede entenderse como un paso intermedio hacia la noción de reductividad (o semi-simplicidad), haciendo las generalizaciones adecuadas. Recientemente, al inicio de la década de 2010, el concepto de subgrupo observable fue expandido de modo de incluir la noción de acción observable de un grupo algebraico afín en una varidad algebraica afín. Esta generalización inició una serie de trabajos interesantes, con varias aplicaciones novedosas. En otra dirección, cerca de 2006 fue introducido el concepto de adjunción observable, que tuvo aplicación inmediata en el estudio de las módulo categorías sobre categorías tensoriales. En la revisión que sique, seguimos de modo aproximado el desarrollo histórico de esta temática, introduciendo a lo largo del camino las definiciones y los resultados centrales, junto con algunas de las pruebas. Para los resultados sin demostración, se mencionan referencias precisas.

Cyclic derivations, species realizations and potentials

Abstract: In this paper we give an overview of a generalization, introduced by R. Bautista and the author, of the theory of mutation of quivers with potential developed in 2007 by Derksen-Weyman-Zelevinsky. This new construction allows us to consider finite dimensional semisimple F-algebras, where F is any field. We give a brief account of the results concerning this generalization and its main consequences.

Resumen: En este artículo daremos un panorama de una generalización, introducida por R. Bautista y el autor, de la teoría de mutación de carcajes con potencial desarrollada en 2007 por Derksen-Weyman-Zelevinsky. Esta nueva construcción nos permite considerar álgebras semisimples de dimensión finita sobre F, donde F es cualquier campo. Daremos un resumen de los resultados de esta generalización y de sus principales consecuencias.

On monoidal Koszul duality for the Hecke category

Abstract: We attempt to give a gentle (though ahistorical) introduction to Koszul duality phenomena for the Hecke category, focusing on the form of this duality studied in joint work [1, 2] of Achar, Riche, Williamson, and the author. We illustrate some key phenomena and constructions for the simplest nontrivial case of (finite) SL2 using Soergel bimodules, a concrete algebraic model of the Hecke category.

Resumen: Procuramos dar una amable, si bien ahistórica, introducción a los fenómenos de dualidad de Koszul en la categoría de Hecke, con foco en la forma de esta dualidad estudiada en los trabajos [1, 2] en colaboración con Achar, Riche y Williamson. Ilustramos algunos fenómenos y construcciones claves en el ejemplo no trivial más simple, SL2 finito, usando bimódulos de Soergel, un modelo algebraico concreto de la categoría de Hecke.

On space maximal curves

Abstract: Any maximal curve X is equipped with an intrinsic embedding π: X → ℙr which reveal outstanding properties of the curve. By dealing with the contact divisors of the curve π(X) and tangent lines, in this paper we investigate the first positive element that the Weierstrass semigroup at rational points can have whenever r = 3 and π(X) is contained in a cubic surface.

Resumen: Toda curva maximal X está intrínsicamente dotada de un mergullo π: X → ℙr el cual vislumbra propiedades cruciales de la curva. Para r = 3, considerando los divisores de contacto de la curva π(X) y rectas tangentes, investigamos el posible primer elemento positivo que un semigrupo de Weierstrass en un punto racional puede tener en el caso que π(X) esté contenida en una superficie cúbica.

The Pedersen Rigidity Problem

Abstract: If is an action of a locally compact abelian group G on a C*-algebra A, Takesaki-Takai duality recovers (A, α) up to Morita equivalence from the dual action of Ĝ on the crossed product A αG. Given a bit more information, Landstad duality recovers (A, α) up to isomorphism. In between these, by modifying a theorem of Pedersen, (A, α) is recovered up to outer conjugacy from the dual action and the position of A in M(A αG). Our search (still unsuccessful, somehow irritating) for examples showing the necessity of this latter condition has led us to formulate the "Pedersen Rigidity problem". We present numerous situations where the condition is redundant, including G discrete or A stable or commutative. The most interesting of these "no-go theorems" is for locally unitary actions on continuous-trace algebras.

Resumen: Si α es una acción de un grupo abeliano localmente compacto G sobre una C*-álgebra A, la dualidad de Takesaki-Takai recupera (A, α), salvo equivalencia de Morita, de la acción dual de Ĝ sobre el producto cruzado A αG. Mediante un poco más de información, la dualidad de Landstad recupera (A, α) salvo isomorfismo. De manera intermedia, mediante la modificación de un teorema de Pedersen, (A α) es recuperado, salvo conjugación externa, de la acción dual y de la posición de A en M(A αG). Nuestra búsqueda (todavía sin éxito, de alguna manera irritante) de ejemplos que prueben la necesidad de esta última condición, nos ha conducido a a formular el "problema de rigidez de Pedersen". Presentamos numerosas situaciones donde la condición es redundante, incluídos los casos en que G es discreto, o bien A es estable o conmutativo. Lo más interesante de estos "teoremas de no usar" es para acciones localmente unitarias sobre álgebras trazo-continuas.

A note on deformations of Gorenstein-projective modules over finite dimensional algebras

Abstract: In this note, we present a survey of results concerning universal deformation rings of finitely generated Gorenstein-projective modules over finite dimensional algebras.

Resumen: En esta nota, nosotros damos una revisión de resultados concernientes a anillos universales de deformación de módulos Gorenstein-proyectivos finitamente generados sobre álgebras de dimensión finita.

Connes-Landi spheres are homogeneous spaces

Abstract: In this paper, we review some recent developments of compact quantum groups that arise as θ-deformations of compact Lie groups of rank at least two. A θ-deformation is merely a 2-cocycle deformation using an action of a torus of dimension higher than 2. Using the formula (Lemma 5.3) developed in [11], we derive the noncommutative 7-sphere in the sense of Connes and Landi [3] as the fixed-point subalgebra.

Resumen: En este artículo nosotros revisamos algunos desarrollos recientes de grupos cuánticos compactos que surgen en θ-deformaciones de grupos compactos de Lie de rango al menos dos. Una θ-deformación es simplemente una deformación por 2-cociclo, usando una acción de un toro de dimensión superior a 2. Usando la fórmula (Lemma 5.3) desarrollada en [11], nosotros derivamos la 7-esfera no conmutativa, en el sentido de Connes y Landi [3], como la subálgebra de puntos fijos.