CÁLCULO DE DERIVADAS EN ALGUNOS GRUPOS TOPOLÓGICOS

CALCULUS OF DERIVATIVES IN SOME TOPOLOGICAL GROUPS

 

HÉCTOR ANDRÉS GRANADA
Matemático, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, hagranadad@unal.edu.co

SIMEÓN CASANOVA TRUJILLO
Matemáticas, M.Sc, Profesor, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, scasanovat@unal.edu.co

 

Recibido para revisar septiembre 10 de 2007, aceptado Marzo 28 de 2008, versión final Julio 30 de 2008

 

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RESUMEN: En este artículo se muestra a traves de ejemplos, la forma como se calculan derivadas en grupos topológicos. En cada uno de ellos se deben resolver ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales.

PALABRAS CLAVE: Grupo topológico, homomorfismo, diferenciación en grupos topológicos.

ABSTRACT: This article shows how to calculate derivatives in topological groups trough examples. In each of them one should solve ordinary or partial differential equations.

KEYWORDS: Topological group, homomorphism, differentiability in topological groups.

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1. INTRODUCCIÓN

La derivada de Carathéodory para funciones (denota el conjunto de los números reales) le permitió a Acosta y Delgado generalizar esta a funciones y mostrar su equivalencia con la derivada de Fréchet [1]. Con base en este último trabajo, Acosta generalizó la derivada de Carathéodory a grupos topológicos [2]. Tenemos así una forma de hacer cálculo diferencial en grupos topológicos. Sin embargo, en [2] no se muestra explícitamente un ejemplo en el que se calculen derivadas en grupos topológicos. En [3] se

calculan derivadas para una función , donde es un grupo que describiremos más adelante. En este artículo se retomará el trabajo hecho en [3] y se calcularán derivadas para funciones y .

También se hará el cálculo de derivadas para un tipo particular de funciones siendo el grupo aditivo de las matrices de tamaño .

En general, el cálculo de derivadas en grupos topológicos conduce a la solución de ecuaciones diferenciales.

 

2. PRELIMINARES

En esta sección se presenta la definición de derivada en grupos topológicos dada en [2]. Para llegar a ella, se hace necesario los siguientes comentarios:

1. El espacio corresponde al conjunto de todos los homomorfismos continuos de en dotado de la topología compacto-abierta. Esta topología se describe como sigue:

Sean y grupos topológicos Hausdorff. Sies un subconjunto compactode y es un subconjunto abierto de, se denota por el conjuntode todas las funciones continuastales que .

La topología compacto-abierta es la que tiene como sub-base la colección donde es localmente compacto.

2. Un grupo es divisible si para todo y ( denota el conjunto de los números naturales), la ecuación (en notación multiplicativa) tiene solución.

Definición 2.1. Sean y grupos topológicos Hausdorff. Una aplicación es diferenciable en , si existe continua en y tal que

Si esta igualdad se da y es única, la derivada de en es , y escribimos .

En la definición anterior, la igualdad debe ser válida en alguna vecindad del punto .

La operación del lado derecho es una evaluación y la notación es tomada de [2], pues es allí donde se da por primera vez una definición de derivada en grupos topológicos.

En [3] se dan condiciones suficientes para la unicidad de la derivada:

Sean y grupos topológicos Hausdorff, localmente compacto y divisible. Supóngase además que para todo , . Si es diferenciable en , entonces es única.

Se ve de la definición de derivada, que es un homomorfismo. Por lo tanto, para hacer cálculo diferencial en grupos topológicos, se debe empezar por calcular homomorfismos.

 

3. CÁLCULO DE HOMOMORFISMOS

En esta sección se hará el cálculo de ciertos homomorfismos, para usarlos en la próxima sección con el fin de calcular derivadas.

3.1 Consideremos el conjunto

dotado de la ley de composición interna

La dupla es un grupo (no abeliano), donde el módulo es la pareja ordenada y el

inverso de es . Si se considera en la topología inducida por la usual U de, se tiene que la tripla U es un grupo topológico.

3.1.1 Homomorfismos de G en
Sea un homomorfismo. Entonces,

Se tiene además la condición inicial

.

Como

entonces de obtenemos que

Haciendo , y usando la condición inicial en , se llega a:

Tomando el límite cuando se tiene:

de donde

Derivando en esta última igualdad respecto a la variable se obtiene:

Ahora, en (2) se hace y obtenemos

Tomando el límite cuando obtenemos:

De y se llega a:

Para que esta última igualdad sea válida debe ser que , de donde

Así, y en particular . De se tiene que

Luego, , o sea que . Remplazando en se llega a que los homomorfismos quedan caracterizados como:

3.1.2 Homomorfismos de en G.
Sea un homomorfismo. En primer lugar,

.

Ahora, como es homomorfismo entonces

Por un lado se tiene que

y por otro lado

Remplazando las dos últimas relaciones en (6), se obtienen las siguientes relaciones funcionales:

Como se tienen además las condiciones iniciales.

De (7) y las condiciones iniciales obtenemos

Tomando el límite cuando se llega a que , de donde . De esta igualdad se sigue que y usando las condiciones iniciales se tiene que , así que

Ahora, de y junto con las condiciones iniciales, se tiene que:

Tomando el límite cuando se obtiene , de donde . De esta igualdad se sigue que y usando las condiciones iniciales se llega a que . Por lo tanto,

De (9) y (10) concluimos que los homomorfismos quedan caracterizados como:

3.1.3 Homomorfismos de G en G. Sea
Un homomorfismo. En primer lugar,

Como es homomorfismo, entonces

Por un lado

y por otro lado

Remplazando y en se obtienen las siguientes relaciones funcionales:

También, como es homomorfismo se sigue que , de donde se tienen las condiciones iniciales

.

En (14) se hace y se obtiene

Usando las condiciones iniciales, se llega a:

Tomando el límite cuando en esta última igualdad obtenemos la ecuación diferencial parcial

de donde

En esta igualdad derivamos respecto a y se tiene:

Usando nuevamente la relación , hacemos y se obtiene:

Tomando el límite cuando en esta última igualdad se llega a:

de donde

De y se tiene que y para que esta igualdad tenga sentido, debe ser que y de ahí que . Ahora, de se tiene que

de donde . Luego, , es decir, . De esta forma, de se sigue que

Para encontrar la función , en se hace y razonando como antes se obtiene

En conclusión, de y se tiene que los homomorfismos quedan caracterizados como:

Se observa en los ejemplos que los homomorfismos encontrados dependen únicamente de la primera variable.

También en este ejemplo, se tiene que los homomorfismos de en se obtienen realizando la composición de los homomorfismos de en con los de en .

 

4. CÁLCULO DE DERIVADAS

4.1 Una vez hecho el cálculo de los homomorfismos , y pasamos a calcular derivadas. El grupo es localmente compacto y satisface las condiciones para que haya unicidad de la derivada (comentario 3 de los preliminares).

4.1.1 Derivada para funciones
Veamos en primer lugar qué funciones son diferenciables. Por la caracterización de los homomorfismos se tiene:

Haciendo en esta igualdad se obtiene:

Como debe ser continua en se tiene entonces que

Se exige entonces que exista la derivada parcial de con respecto a , evaluada en .

De esta manera, la derivada de en , evaluada en es :

4.1.2 Derivada para funciones
En primer lugar se debe ver qué funciones son diferenciables, es decir, para qué funciones existe continua en y tal que

Tenemos que , siendo y funciones de en con . Por un lado se tiene que

Por otra parte, teniendo en cuenta la caracterización de los homomorfismos de en , tenemos:

De (22) y (23) se obtienen las siguientes relaciones:

Al despejar en se llega a:

Como debe ser continua , entonces

Se debe exigir entonces que sea diferenciable en .

Ahora, de la ecuación se tiene:

o bien,

es decir,

Como debe ser continua en , entonces si en la anterior igualdad se toma el límite cuando se tiene que:

Se debe exigir entonces que sea diferenciable en .

De (26) y (27) se tiene que la derivada de en , evaluada en es:

4.1.3 Derivada para funciones
Como antes, veamos qué funciones son diferenciables. Tenemos que

y por lo tanto,

De otro lado, teniendo en cuenta la caracterización de los homomorfismos de en , se tiene que

Igualando y se obtienen las siguientes ecuaciones:

De se llega a:

Haciendo y teniendo en cuenta que debe ser continua en , entonces al tomar en la última igualdad, se obtiene que

Ahora, de se sigue que:

o bien,

Como debe ser continua en , entonces haciendo y tomando en la última igualdad, se tiene que:

De esta manera, la derivada de en , evaluada en es

Donde y

4.2 En esta sección se considerará el grupo topológico aditivo de las matrices cuadradas de tamaño con entradas reales, el cual es localmente compacto, divisible y satisface las condiciones para la unicidad de derivada. En efecto, la divisibilidad se sigue del siguiente hecho: como estamos considerando como grupo aditivo la divisibilidad significa que dado y natural, existe tal que , lo cual en nuestro caso se tiene. Vale además que para todo . La compacidad local de se sigue al ver como .

Definimos como:

Se mostrará que esta función es diferenciable en cada . En [4] se demuestra que los homomorfismos de en quedan caracterizados como:

Donde

Debido a la linealidad de las , se tiene que el homomorfismo es continuo con la topología inducida por la de .

Definamos como:

Con relación a esta definición, tenemos que efectivamente y que considerando en la topología compacto abierta, la aplicación es continua en . Además,

Donde

Se tiene así que

Por lo tanto, es diferenciable en y

Donde

 

5. AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan sus agradecimientos a los jurados del artículo por sus acertados comentarios, los cuales permitieron mejorar su presentación.

 

REFERENCIAS

[1] ACOSTA G. ERNESTO, DELGADO CÉSAR. Fréchet vs. Carathédory. American Mathematical Monthly, April 1994.         [ Links ]
[2] ACOSTA G. ERNESTO. Differentiability in Topological Groups. Soochow Journal of Mathematics, Volume 22, No.1, pp 39-48. January 1996.         [ Links ]
[3] CASANOVA T. SIMEÓN. Teorema del Valor Medio en Grupos Topológicos. Tesis de Maestría en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, 1997.         [ Links ]
[4] GRANADA D. HÉCTOR. Diferenciación en grupos metrizables. Tesis de grado en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, Sede Manizales. Marzo de 2005.         [ Links ]