1 Introducción

Una gran variedad de fenómenos en la naturaleza se modelan a través de sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma

donde 𝑢 ( ℝ^𝑛 es el vector de estado, α ( ℝ^𝑚 un vector de parámetros y 𝑓: ℝ^𝑛 x ℝ^𝑚 → ℝ^𝑛 un campo vectorial continuo y diferenciable. Algunas variaciones en el vector de parámetros pueden ocasionar cambios en el comportamiento y estabilidad local de los puntos de equilibrio, lo que ocasiona bifurcaciones ¹.

Sin embargo, cuando el vector de parámetros α ( ℝ^𝑚 dado en el sistema (1) es sustituido por un vector de estados 𝑣 ( ℝ^𝑚 y se analiza los cambios en el comportamiento y estabilidad en una línea de puntos de equilibrio, ocurre una bifurcación sin parámetros ². Si dichos cambios de estabilidad se deben a un único par de valores propios imaginarios conjugados con parte real nula, calculados en la matriz jacobiana del campo vectorial en un punto que pertenece a la línea de puntos de equilibrio, se habla de una bifurcación de Hopf sin parámetro ³.

Por otro lado, existen diversos problemas presentes en la física, química e ingeniería, los cuales se pueden formular por medio de modelos matemáticos en que la cantidad total es constante a lo largo del tiempo. En este tipo de situaciones, la variable física definida en una región acotada del espacio solo puede variar debido al flujo de la variable a través de la frontera de dicha región. Esto puede traducirse en una formulación integral que, bajo ciertas hipótesis de regularidad, se convierte en un sistema de la forma,

con w =(w ₀ (x,t), w ₁(x,t), w ₂(x,t) ( ℝ³ la variable de estado, una función de clase C ² , 𝑓: ℝ³ → ℝ³, 𝑔 una función de clase C ², 𝑔: ℝ³ → ℝ³, y constantes δ > 0 y ( > 0. En problemas de dinámica de fluidos, el sistema (2) representa problemas de densidad, momento o energía ⁴.

Un ejemplo para ilustrar el comportamiento de las soluciones para este tipo de sistemas, con condición inicial constante a trozos ⁵, es el siguiente: se tiene un tubo lleno con gas, inicialmente dividido en dos secciones separadas por una membrana, el gas tiene densidad y presión, en reposo, más alta en una mitad del tubo que en la otra. En 𝑡 = 0 se rompe la membrana y el gas fluye. La estructura de la solución del sistema (2) con condición inicial constante a trozos, denominada problema de Riemann, implica tres ondas distintas que separan regiones en las que las variables son constantes: La onda de choque se propaga hacia la región de más baja presión; a través de esta onda, la densidad y la presión asumen valores más altos y todas las variables son discontinuas; luego aparece una discontinuidad de contacto, a través de la cual la densidad es discontinua, pero las demás variables son constantes; la tercera es la onda de rarefacción, en la cual la densidad del gas decrece cuando esta onda pasa a través de él y tiene una estructura diferente: todas las variables son continuas y presentan una transición suave.

En este trabajo se presentan algunos elementos necesarios para identificar la existencia de una bifurcación de Hopf, con o sin parámetros, y determinar bajo qué condiciones el sistema (2) presenta una bifurcación de Hopf sin parámetros, de tipo elíptica o hiperbólica, en una línea de puntos de equilibrio. Para comprender este proceso, se desarrolla los siguientes pasos: en la segunda sección se presenta algunos conceptos y resultados importantes usados en sistemas dinámicos continuos; en la tercera sección, se plantean las condiciones en que un sistema de ecuaciones diferenciales, que depende de un vector de parámetros, presentan bifurcación de Hopf; en la cuarta sección, se explican las diferencias entre la teoría de bifurcaciones en puntos de equilibrio, línea de puntos de equilibrio y sin parámetros, de igual forma se muestra los lineamientos teóricos para la bifurcación de Hopf sin parámetros elíptica e hiperbólica. Por último, se hace el análisis respectivo de la bifurcación de Hopf sin parámetros en una línea de puntos de equilibrio para sistema (2).

2 Preliminares

La formulación matemática de un proceso determinista es un sistema dinámico , el cual permite prever cualquier estado futuro si el operador de evolución y su estado inicial son conocidos. Si el tiempo para ese operador se define en la recta real, se habla de un sistema dinámico continuo ⁶ .

Se observa que todo sistema de la forma

con 𝑢 ( 𝑈 y 𝑓 : 𝑈 → ℝⁿ un campo vectorial de clase 𝐶¹ definido en un conjunto 𝑈 ⊂ ℝⁿ, es un sistema dinámico continuo y sus trayectorias φ_𝑓: ℝ x 𝑈 → ℝⁿ satisfacen:

φf(0,u) =u, para todo u ∈ U, φ_𝑓(t + 𝑠, 𝑢)= φ_𝑓(t, φ_𝑓(𝑠, 𝑢)), para todo 𝑢 ( 𝑈; t,𝑠 (ℝ

φf(t+s,u) =φft,φf(s,u), para todo u ∈ U;t,s∈ℝ,

ddtφf(t,u) =fφf(t,u)

Si 𝑓(𝑢*)=0, entonces 𝑢*( 𝑈 es un punto de equilibrio para el sistema (3). El conjunto L ₀ = { e ( 𝑈: φ_𝑓(t, 𝑢₀)= 𝑢 para t ( ℝ} es una órbita que inicia en 𝑢₀ ( 𝑈.

Una orbita L ₀ que inicia en 𝑢₀ ( 𝑈 es homoclínica al punto de equilibrio si 𝑢* ( 𝑈 si φ_𝑓(t, 𝑢) → 𝑢_* cuando 𝑡 → ±∞. Si existe otro punto de equilibrio 𝑢** ( 𝑈 en el sistema (3), la orbita L ₀ que inicia en 𝑢₀ ( 𝑈 es heteroclínica a los puntos 𝑢* y 𝑢** si φ_𝑓(t, 𝑢) → 𝑢_*

Para 𝑡 → −∞ y φ_𝑓(t, 𝑢) → 𝑢_** cuando 𝑡 → +∞ .

Un punto 𝑢₀ ( 𝑈 es un punto ⍵ -límite de la trayectoria φ_𝑓 del sistema (3), si existe una sucesión 𝑡_𝑛 → +∞ de tal manera que

De manera similar, si existe una sucesión 𝑡_𝑛 → −∞ tal que

y el punto 𝑢₁ ( 𝑈; entonces 𝑢₁ se le conoce como punto α -límite de la trayectoria φ_𝑓 del sistema (3).

Al conjunto de todos los puntos ⍵-límite de una trayectoria L ₀ se le llama conjunto ⍵-límite de L ₀ y se denota por ⍵(L ₀). De igual manera, se tiene el conjunto α-límite de L ₀ y se denota por α(L ₀).

Una órbita periódica L ₀ es cualquier curva cerrada solución del sistema (3) que no sea un punto de equilibrio. Un ciclo límite ψ es una órbita periódica del sistema (3) el cual es el α-límite o -límite de alguna trayectoria de (3) que no sea ψ.

La estabilidad en un punto de equilibrio es conocido como el comportamiento cualitativo de las trayectorias de un sistema de la forma (3), con 𝑓(𝑢)= 𝐴 ∙ 𝑢 para una matriz 𝑛 x 𝑛 y punto de equilibrio 𝑢* = 0 ( ℝ^{𝑛 (7}. Para determinar el comportamiento y estabilidad del punto de equilibrio 𝑢* = 0 ( ℝ^𝑛, se debe encontrar un λ ( ℂ, tal que exista 𝑢 ( ℝ^𝑛 con 𝑢 ≠ 0 que cumpla (𝐴− λI) 𝑢 = 0, con I la matriz identidad 𝑛 x 𝑛. El valor de λ es llamado valor propio asociado a la matriz 𝐴 y el vector 𝑢 ≠ (0,0) es llamado un vector propio de 𝐴 correspondiente a λ. El espacio nulo Ker (𝐴 − λI ) es llamado un espacio propio correspondiente al valor propio λ y la dimensión del espacio propio es llamada la multiplicidad del valor propio λ. Nótese que la matriz 𝐴 presenta 𝑛 valores propios λ₁, λ₂,…, λ_𝑛 ( ℂ que son soluciones de la ecuación 𝑃(λ):det(𝐴 − λI)=0 con 𝑃(λ) el polinomio característico de 𝐴.

En particular, si 𝐴 es una matriz 2 x 2, la estabilidad del punto de equilibrio 𝑢* = (0,0) ( ℝ² en el sistema u˙=A·u , conocido como un sistema lineal planar , presenta los siguientes casos:

Los valores propios λ₁, λ₂, en el sistema lineal son reales y distintos:

Si λ₁ < λ₂ < 0, el origen es un nodo estable,

Si λ₁ > λ₂> 0, el origen es un nodo inestable,

Si λ₁ < 0 < λ₂, el origen es una silla.

Los valores propios son complejos conjugados: λ₁ = 𝛼+ 𝑖𝛽, λ₂ = 𝛼 − 𝑖𝛽 , con 𝛽 ≠ 0.

Si 𝛼 = 0, el origen es un centro,

Si 𝛼 < 0, el origen es un foco estable,

Si ??, el origen es un foco inestable.

Los valores propios son reales e iguales: λ₁ = λ₂ = λ ≠ 0.

λ posee dos vectores linealmente independientes. El origen es un nodo estrella atractor (repulsor) si λ < 0 (> 0),

λ posee un único vector propio.

En la Figura 1 resume la información geométrica sobre el retrato de fase de u˙=A·u a partir del polinomio característico de 𝐴, de la forma 𝑃(λ) = λ₂ - (tr 𝐴) λ + det 𝐴, y discriminante ∆ = (tr 𝐴)² - 4det 𝐴 ⁸.

Si el campo vectorial 𝑓: 𝑈→ ℝ² de clase C ¹ definido en un conjunto 𝑈 ⊂ ℝ² no es lineal, un punto de equilibrio 𝑢* ( 𝑈 es un punto de equilibrio hiperbólico del sistema (3)

si todos los valores propios de la matriz jacobiana A=∂∂uf(u*) de 𝑓 tiene parte real diferente de cero. Se observa que 𝐴 es la parte lineal del sistema (3) en 𝑢* ( 𝑈. Por tanto, el siguiente teorema determina la estabilidad local de cada punto de equilibrio hiperbólico 𝑢* ( 𝑈 del sistema (3) por medio de los valores propios de la parte lineal 𝐴 calculada en 𝑢*.

Teorema 2.1. (Hartman-Grobman)⁹. Sea 𝑢* ( 𝑈 un punto de equilibrio hiperbólico de u=f(u) para f:U→ℝ2˙ un campo vectorial de clase C ¹ definido en un conjunto 𝑈 ⊂ ℝ² . Entonces, existe un homeomorfismo ℎ: 𝑉→ W entre vecindades 𝑈 de 𝑢* y 𝑉 de (0,0) tal que ℎ ∘ φ_𝑓 =φ_𝐴 ∘ ℎ con A=∂∂uf(u*) , esto es, las trayectorias φ_𝑓 y φ_𝐴 son localmente conjugados.

Los conjuntos

W _𝑠 (𝑢*)={𝑢 ( 𝑈: φ_𝑓(𝑡, 𝑢) → 𝑢*, 𝑡→ +∞}

W 𝑢 (𝑢*)={𝑢 ( 𝑈: φ_𝑓(𝑡, 𝑢) → 𝑢*, 𝑡→ −∞}

son llamados invariantes , donde W _𝑠 (𝑢*) es llamada la variedad estable del punto de equilibrio 𝑢* ( 𝑈 del sistema (3) y, W 𝑢 (𝑢*) la variedad inestable de 𝑢* ( 𝑈 .

Si A=∂∂uf(u*) es la parte lineal del sistema (3) en 𝑢 ( 𝑈 y 𝑓: 𝑈 → ℝ² de 𝐶¹ clase definido en un conjunto 𝑈 ⊂ ℝ² tal que para algún λ ( ℂ, la matriz 𝐴_λ = 𝐴− λI posee inversa, entonces λ es el resolvente de 𝐴. De igual forma, λ ( ℂ es un valor regular de 𝐴 si Rλ(A)=Aλ-1 existe, es acotada y, es definida en un subconjunto denso en ℝ^𝑛.

El conjunto resolvente ρ(A) de =∂∂uf(u*) es el conjunto de todos los valores regulares de , λ ( ℂ de 𝐴 . El complemento σ(𝐴) = ℂ − ρ(𝐴) es llamado el espectro de 𝐴, y λ ( σ(𝐴) es llamado el valor espectral de 𝐴 ¹⁰. Además, el espectro σ(𝐴) esta particionado dentro de tres conjuntos de la siguiente manera:

El espectro discreto σ_𝑝(𝐴) son valores de λ ( ℂ para el cual R _λ (𝐴) no existe. Los λ ( σ_𝑝(𝐴) corresponden a los valores propios de 𝐴,

El espectro continuo σ_𝑐 (𝐴) es el conjunto de valores de λ ( ℂ para el cual R _λ (𝐴) existe pero no es acotada,

El espectro residual σ _R (𝐴) es el conjunto de los valores de λ ( ℂ para el cual R _λ (𝐴) existe, es acotada, pero no está definida en un subconjunto denso en ℝ^𝑛.

A partir de las definiciones, se deduce que σ_𝑝(𝐴), σ_𝑐 (𝐴) y σ _R (𝐴) son disyuntos dos a dos y que

σ(𝐴) = σ_𝑝(𝐴) ∪ σ_𝑐 (𝐴) ∪ σ _R (𝐴).

Por otro lado, dos sistemas de ecuaciones diferenciales de tipo (3) son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo, ℎ : ℝ^𝑛 → ℝ^𝑛 el cual realice un mapeo de trayectorias del primer sistema en trayectorias del segundo sistema ¹¹, preservando la dirección del tiempo, como se ilustra en la Figura 2.

De esta manera, la teoría clásica de bifurcaciones estudia la dinámica de una familia de campos vectoriales de la forma

donde 𝑢 = (𝑢₁, 𝑢₂,…, 𝑢_𝑛) ( ℝ^𝑛 es la variable de estado, α = (α₁, α₂,…, α_𝑚) ( ℝ^𝑚 es un vector de parámetros que no depende del tiempo 𝑡 ( ℝ y, 𝑓: ℝ^𝑛 x ℝ^𝑚 → ℝ^𝑛 un campo vectorial de clase 𝐶¹; cuando aparece un retrato de fase no topológicamente equivalente en virtud a la variación del vector de parámetros α ( ℝ^𝑚 del sistema (4).

3 Forma normal y teorema de la bifurcación de Hopf

Considere

con vector de estado 𝑢 = (𝑢₁, 𝑢₂) ( ℝ² parámetro α ( ℝ y

El sistema (5) posee un punto de equilibrio 𝑢*=(0,0) para todo valor de α ( ℝ. La parte lineal del sistema (5) calculada en 𝑢*=(0,0) es

con polinomio característico 𝑃(λ)= λ² − 2αλ + α² + 1. Se tiene como valores propios λ₁ = α + 𝑖 y λ₂ = α − 𝑖. Por el Teorema 2.1, el punto de equilibrio *=(0,0) del sistema (5) es localmente un foco estable si α <0, localmente un foco inestable si α >0y, cuando α = 0 corresponde a una variación drástica del sistema (5) debido a la presencia de un par de valores propios imaginarios conjugados con parte real nula.

Para un mejor análisis del sistema (5), se convierte a un sistema equivalente en coordenadas polares. Primero se introduce la variable compleja:

donde el sistema (5) se reescribe de la siguiente manera

Si se toma z˙=ρeiφ,z¯=ρe-iφ , entonces

<mml:math style="font-family:'Times New Roman'"><mml:mover><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>φ</mml:mi></mml:math>

Y el sistema (5) se escribe en forma polar como

La ecuación (6) tiene un punto de equilibrio en ρ = 0, para todo α ( ℝ dado que solo se considera ρ ≥ 0. El punto de equilibrio es localmente estable si α < 0, no hiperbólico si α = 0, y localmente inestable si α > 0. Por otro lado, si α > 0 existe otro punto de equilibrio ρ0(α)=α , el cual describe un ciclo límite que resulta ser estable debido a que las trayectorias tienden a ella cuando 𝑡 → + α. En la Figura 3 representa los retratos de fase para el sistema (5).

Un sistema que tiene términos no lineales con signo contrario,

presenta una bifurcación en α = 0. A diferencia del sistema (5), el sistema (7) presenta un ciclo límite inestable si α < 0 como lo observado en la Figura 4.

Por lo tanto existen dos tipos de bifurcación de Hopf: subcrítica cuando el ciclo límite inestable existe para todo α < 0 y, la supercrítica cuando el ciclo límite estable surge después de la bifurcación, es decir, cuando α > 0.

Si se considera una familia de ecuaciones diferenciales

con α ( ℝ^𝑛 un vector de estados, α ( ℝ un parámetro y 𝑓 ℝ^𝑛 x ℝ^𝑛→ℝ un campo vectorial de clase c¹, la bifurcación de Hopfse identifica por la presencia de un par de valores propios complejos conjugados con parte real nula en la matriz jacobiana de 𝑓(𝑢, α) calculada en el punto de equilibrio 𝑢* ( ℝ^𝑛, esto es, λ_1,2 = ±𝑖⍵_{0 con} ⍵₀ > 0, como se observa en el siguiente Teorema:

Teorema 3.1 (Forma normal de la Bifurcación de Hopf)¹¹. Considere el sistema

con 𝑢 ( ℝ^𝑛, α ( ℝ y 𝑓: ℝ^𝑛 x ℝ → ℝ^𝑛. Supongamos que existe (𝑢*, α₀) tal que

1. 𝑓(𝑢*, α₀) = 0 (Condición de Equilibrio).

2. La matriz ∂∂uf(u*,α0) (Condición de Bifurcación), tiene un único par de valores propios complejos conjugados con parte real cero, esto es λ1,2=+diω0 con ω0>0 ,

3. ddαRe λ(α0)≠0 (Condición de Transversalidad o Control), donde λ(α₀) es un valor propio de ∂∂uf(u*,α0)

Entonces existe un cambio invertible de coordenadas y parámetros, y una reparametrización del tiempo que trasforma el sistema en

4 Bifurcación genérica de Hopf sin parámetros

En la teoría clásica de bifurcaciones se analiza, en particular, cuando un punto de equilibrio 𝑢* ( ℝ^𝑛 del sistema (4) pierde su hiperbolicidad en virtud a variaciones del vector de parámetros α ( ℝ^𝑚, esto es, cuando uno de los valores propios de la matriz jacobiana de 𝑓(𝑢, α) calculada en 𝑢* ( ℝ^𝑛 es cero o si la parte real de los valores propios complejos conjugados es cero, esto es, λ_1,2 = ±𝑖⍵_0, ⍵_{0 > 0} . En el segundo caso corresponde a una bifurcación de Hopf.

Si el sistema (4) presenta una línea de puntos de equilibrio de la forma

L _𝑒 = { 𝑢=( 𝑢₀ 0,0,…,0) ( ℝ^𝑛: 𝑓(𝑢, α) = 0 para α ( ℝ^𝑚}

la estabilidad en torno a la línea de puntos de equilibrio es analizada para cada punto de equilibrio. Se plantea el siguiente ejemplo ¹²:

Ejemplo 4.1 Considere el siguiente sistema

con 𝑢=(𝑢₁, 𝑢₂) ( ℝ² , α = (α₁, α₂, α₃) ( ℝ³, α₁ ≠ 0, α₂ > 0 y α₃ ( ℝ. Al tomar la parte lineal del sistema (9) en torno al punto de equilibrio u* ≅0,α1α2 con α1 ≠0 con , esto es ∂∂uf(u*,α) , se tiene que es localmente una silla si α12>4α2  un foco si α12<4α2  y α12=4α2  , un nodo.

Dado α₂ > 0 y α₁ ≠ 0 constantes fijas, se observan en lasFigura 5,Figura 6yFigura 7los retratos fase del sistema (9) en relación a la estabilidad local de la línea de puntos de equilibrio L _𝑒 = {( 𝑢₁,0) ( ℝ²: 𝑓(𝑢₁,0, α₃) = 0 con α₃ ( ℝ} y el punto 𝑢*.

Independientemente de las constantes fija α₁ ≠ 0 y α₂ > 0, si α₃ < 0 el punto de equilibrio 𝑢* está por debajo de la línea de puntos de equilibrio, si α₃ > 0 el punto 𝑢* está por encima de la línea puntos de equilibrio, pero, cuando α₃ = 0 ocurre una variación del sistema, pues el punto de equilibrio 𝑢* está contenido en la línea de puntos de equilibrio, esto es, 𝑢* ≅ (0,0) ( L _𝑒 . Por otro lado, la línea de puntos de equilibrio es localmente estable si 𝑢₁ < 0 y localmente inestable para 𝑢₁ > 0. Cuando 𝑢₁ = 0, el origen es un punto de equilibrio no hiperbólico que coincide con 𝑢* para 𝑢₃ = 0. Así α₃ = 0 corresponde a un valor de bifurcación.

La bifurcación sin parámetros se presenta al analizar, sin variar algún parámetro adicional, el sistema

donde 𝑢 = (𝑢₁, 𝑢₂,…, 𝑢_𝑛) ( ℝ^𝑛 y 𝑣 = (𝑣₁, 𝑣₂,…, 𝑣^𝑚) ( ℝ^𝑚 son las variables de estado y 𝑓^𝑢, 𝑓^𝑣: ℝ^𝑛+𝑚 → ℝ^𝑛+𝑚 campos vectoriales de clase 𝐶₁. En la teoría clásica de bifurcaciones corresponde al caso cuando 𝑣 = α ( ℝ^𝑚 y 𝑓^𝑣 ≡ 0. En la bifurcación sin parámetros, se considera una línea de puntos de equilibrio de la forma

para todo 𝑢 ( ℝ^𝑛 y 𝑣 = 0 ( ℝ^𝑚. De aquí surge una fenomenología dinámica cuando el punto de equilibrio (0,0) ( ℝ^𝑛+?? no es hiperbólico debido a un valor propio nulo o un par de valores propios imaginarios conjugados con parte real nula en la matriz jacobiana del sistema (10) calculada en (0,0) ( ℝ^𝑛+𝑚. En particular, se hace énfasis a la presencia de un par único de valores propios complejos conjugados con parte real nula, denominada bifurcación de Hopf sin parámetros ¹³.

Para ello, considere el sistema (10) con 𝑓^𝑢, 𝑓^𝑣, ℝ²→ ℝ, 𝑓 = (𝑓^𝑢, 𝑓^𝑣) una función de clase 𝐶² que satisface las siguientes condiciones genéricas,

Se observa que la primera condición en (12) representa la línea de puntos de equilibrio que coincide con el eje 𝑢 ( ℝ. La segunda condición muestra que el segundo valor propio no trivial en la parte lineal del sistema (10) se anula en 𝑢 = 0. De hecho, ∂∂vfv(u,0) es el segundo valor propio. La tercera condición asegura que este segundo valor propio pasa por cero a una velocidad no nula transversal a 𝑢.

Al suponer una cuarta condición, denominada condición de no degenerancia,

todo sistema de la forma (10) que satisface las condiciones (12) y (13) cumple con el siguiente resultado,

Teorema 4.1¹³. Considere el sistema (10) y una línea de puntos de equilibrio en ℝ² , dado en (11), que va perdiendo su hiperbolicidad a medida que se aproxima al origen de acuerdo con las condiciones (12) y (13). Entonces existe un difeomorfismo φ de clase 𝐶¹ que mapea las órbitas de (10) en órbitas de la forma normal,

localmente cercano a (𝑦, 𝑧) = (0,0) ( ℝ², verFigura 8. La orientación temporal de las órbitas se conserva.

si además, se considera un campo vectorial de clase 𝐶² tal que 𝑓 = (𝑓^𝑢, 𝑓^𝑣) satisface las condiciones de simetría, esto es,

entonces ∂∂vfu(0,0)=0 y la condición de no degenerancia (13) falla. En su lugar, se supone

y vale el siguiente resultado.

Teorema 4.2¹³. Considere el sistema (10) que satisface las condiciones (12), (15),(16) y una línea de puntos de equilibrio en ℝ² dado en (11). Entonces existe un difeomorfismo ψ de clase 𝐶¹ que mapea las trayectorias de (10) en trayectorias de la forma normal,

localmente cercano a (𝑦, 𝑧) = (0,0) ( ℝ²; verFigura 9. La orientación en el tiempo se preserva.

Se pasa ahora al caso complejo para el sistema (10), con 𝑢 ( ℝ, 𝑣 ( ℝ ≡ ℂ y un par de valores propios complejos conjugados que cruza el eje imaginario a medida que se aproxima a (𝑢, 𝑣) = (0,0) en la línea de puntos de equilibrio. Se asume que (12) es sustituido por,

donde

es una matriz compleja, con valor propio α(𝑢) ( ℂ/ℝ. Se designa el laplaciano con respecto a la coordenada 𝑣 ( ℝ² ≡ ℂ por ∆_𝑣 y una condición de no degenerancia dado por

∆_𝑣 𝑓^𝑢 (0,0) ≠0

con

donde el punto de bifurcación en 𝑢 = 0 es hiperbólica si η = +1y elíptica si η = −1.

Por último, se pasa al caso en que el sistema es de la forma

Con 𝑢 = (𝑢₁, 𝑢₂,…, 𝑢_𝑛) ( ℝ^𝑛+1, 𝐹: ℝ^𝑛+1→ ℝ^𝑛+1 un campo vectorial de clase 𝐶² y una línea de puntos de equilibrio

𝐹(𝑢₀, 0,0,…,0) = 0

a lo largo del eje 𝑢₀. ( ℝ. Se asume que la matriz jacobiana ∂∂uF(u0,0,...,0) posee valores propios reales diferentes, a excepción de un valor propio nulo a medida que se aproxima para 𝑢₀ = 0 o un par de valores propios complejos conjugados puros, o un par de valores propios complejos conjugados con parte real no nula λ(u0), λ(u0)¯ que cruza transversalmente el eje imaginario cuando se aproxima a cero:

Sea 𝑍 el espacio propio real bidimensional de ∂∂uF(0) asociado a ±𝑖⍵(0). El simbolo ∆_𝑍 es el laplaciano con respecto a las variaciones de 𝑢 en el espacio propio 𝑍. En las coordenadas de 𝑍 se eligen como coeficientes la parte real e imaginaria del vector propio complejo asociado a 𝑖⍵(0). Sea 𝑃₀ la proyección propia unidimensional del kernel trivial en ∂∂uF(u0,0,...,0) a lo largo del eje 𝑢₀. La condición de no degenerancia se define como:

∆_𝑍𝑃₀ 𝐹(0) ≠0

Al fijar la orientación a lo largo del eje 𝑢₀ , se puede considerar ∆_𝑍𝑃₀𝐹(0) como un número real. Al depender del signo

η= sign ((Reλ´(0)) (∆_𝑍𝑃₀ 𝐹(0)),

se dice que el punto de bifurcación en 𝑢₀ = 0 es elíptica si η=−1 e hiperbólica si η=+1.

El siguiente resultado muestra el comportamiento cualitativo de las soluciones del sistema

u˙=F(u) para una variedad tridimensional, estable e inestable, a 𝑢 = 0.

Teorema 4.3¹³. Se asumen que (18) y (19) se cumplen para el campo vectorial de u˙=F(u) de clase 𝐶⁵ . Entonces, para un entorno 𝑈 de 𝑢 = 0 se tiene:

En el caso hiperbólico, η=+1, todas las trayectorias salen del entorno 𝑈 para un tiempo 𝑡 positivo o negativo (posiblemente ambos). Las variedades estables e inestables en 𝑢 = 0 forman conos alrededor del eje positivo 𝑢₀ , con cruce asintoticamente elíptica cerca de 𝑢 = 0. Estos conos separan regiones con diferente comportamiento de convergencia como se observa en laFigura 10a).

En el caso elíptico, η=−1, todas las trayectorias fuera del equilibrio que inician en 𝑈 son heteroclínicas a los puntos de equilibrio u±=(u0±,0,...,0) y a los lados opuestos de 𝑢 = 0. Si 𝐹(𝑢) es una función real analítica cerca de 𝑢 = 0, entonces los conjuntos estables e inestables de dentro de la variedad central se cortan en un ángulo que posee un límite superior exponencial en términos de |𝑢^±|, como se observa en laFigura 10b).

5 Bifurcación de Hopf en un sistema de ecuaciones diferenciales parciales

Se considera un sistema dado por:

con condición inicial constante a trozos, esto es

donde 𝑤= (𝑤₀(𝑥, 𝑡), 𝑤₁(𝑥, 𝑡), 𝑤₂(𝑥, 𝑡)=( 𝑤_1, 𝑤_1, 𝑤₁) ( ℝ³ es un vector de estados, 𝑓 = (𝑓₀, 𝑓₁, 𝑓₂) un término de flujo de clase 𝐶³ con 𝑓: ℝ³, 𝑔 = (𝑔₀, 𝑔₁, 𝑔₂) un término de reacción de clase 𝐶² con 𝑔: ℝ³ → ℝ³, δ > 0, ( > 0 una constante de regulación; con tiempo 𝑡 real y espacio 𝑥.

Se asume que la matriz jacobiana A(w)=∂f(w)∂w

posee valores propios reales simples λ₀ , λ₁ , λ₂ que pertenecen al espectro de 𝐴(𝑤), esto es σ(𝐴)={ λ₀ , λ₁ , λ₂}.

Los contornos viscosos son soluciones de tipo onda viajera de la forma,

con velocidad de onda 𝑠. ( ℝ. Si u˙=dudτ con τ = x-st∈ se observa que

que aplicado en (20), da origen a un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma

independiente de ( > 0 y 𝑠 en vez de 𝑠∙id. Para cualquier solución del sistema (22) del cual

existen y genera, para (↘ 0, una solución del sistema (20) con condición constante a trozos, y los valores 𝑢 = 𝑢^±, el cual viajan a una velocidad de onda 𝑠, están conectadas por una onda de choque, como lo observado en la Figura 11 para 𝑢 ( ℝ.

Se reescribe la ecuación (22) como un sistema de primer orden

con 𝑣 = (𝑣₀, 𝑣₁, 𝑣₂) y 𝑠 en vez de 𝑠 · id. Se observa que cualquier contorno viscoso debe satisfacer

esto es, los estados asintóticos son puntos 𝑢^± de equilibrio del término reactivo 𝑔(𝑢). Si 𝑔(𝑢) tiene un único punto de equilibrio, esto es 𝑢⁺ = 𝑢⁻, las ondas viajeras no existen.

Se asume que 𝑢₀ no contribuye a las condiciones de reacción y los otros componentes 𝑢₁ y 𝑢₂ se desvanecen hacia 𝑢 = 0. Específicamente:

es independiente de 𝑢₀ y satisface

el cual da origen a la línea de equilibrio

para el sistema (24).

El comportamiento asintótico de los contornos viscosos 𝑢(τ) para τ →±∞ depende de la parte lineal 𝐿^δ(𝑢, 𝑣) del sistema (24) en torno a 𝑢= 𝑢^±, 𝑣=0, esto es,

Donde A=A(u) y 𝑔'=∂∂u𝑔(u) la matriz Jacobiana de los términos de reacción 𝑔 en 𝑢= 𝑢^±. En (29) se escribe 𝑠 en vez de 𝑠∙id. Los puntos de equilibrio hiperbólico 𝑢^± se garantizan para velocidades de onda 𝑠 ≠ 0 que no se encuentren en el espectro de 𝐴(𝑢), es decir,

𝑠 ∉ σ(𝐴(𝑢))={λ₀, λ₁, λ₂} ⊂ ℝ\{0}

De hecho, 𝑠 ∉ σ(𝐴(𝑢)) asegura que surgen ceros adicionales en el espectro real de 𝐿^δ(𝑢) para 𝑢= 𝑢^±, esto es,

σ(𝐿^δ(𝑢))= {0} ∪ δ⁻¹ σ(𝐴(𝑢) - 𝑠)

Para determinar la presencia de valores propios con parte real nula en 𝐿^δ(𝑢) a medida que se aproxima la línea de puntos de equilibrio 𝑢=(𝑢₀,0,0) y 𝑣 = 0 en 𝑢₀ = 0, como se muestra en la Figura 12 se realizan unos cambios con el fin que existan valores propios imaginarios con parte real nula en 𝐿^δ(𝑢) cuando δ↘0.

Específicamente, suponga:

La interacción de este flujo y la reacción es capaz de producir valores propios imaginarios puros en la parte lineal 𝐿^δ(𝑢) del sistema (24), cuyo espectro es:

Proposición 5.1¹⁶: Considere la parte lineal 𝐿^δ(𝑢₀,0,0)= 𝐿^δ(𝑢₀) del sistema (24). Se asume que (30) y (31) se cumplen.

A) Para δ↘0 y |𝑠|, |𝑢₀| ↘0, entonces el espectro de 𝐿^δ(𝑢₀) se divide en dos partes:

I) Una parte no acotada σ_∞ (𝐿^δ(𝑢₀))= δ⁻¹ σ(𝐴−𝑠)

II) Una parte acotada σ_𝑏𝑑 (𝐿^δ(𝑢₀))= σ(𝐴−𝑠)⁻¹ 𝑔´)

Con ´) y 𝑔 evaluados en 𝑢= (𝑢_0, 0,0).

B) Para δ=0, 𝑠 = 0, |𝛾| > 1, la parte acotada σ_𝑏𝑑 (𝐿^δ(𝑢₀) en 𝑢 = 𝑢₀ posee valores propios λ₀ ({0, ± 𝑖⍵₀}, ω0=1-γ2 con vectores propios u~v~ dado por v~=λ0u~ y

Tenga en cuenta que 𝐴₀ y 𝑔´(0) están dadas como formas normales de Jordan, de tal manera que se produce una bifurcación cuando la velocidad de onda es 𝑠 = 0.

El siguiente teorema identifica una bifurcación de Hopf sin parámetro, elíptico o hiperbólico, para el sistema (20) bajo ciertas condiciones:

Teorema 5.1¹⁶. Considere (23) - (25) para encontrar contornos viscosos con velocidad de onda 𝑠 = 0 en el sistema (20). Se asume que (26)-(28), (30), (31) se cumplen, de modo que 𝐿^δ(𝑢₀) con δ↘0, posee un par de valores propios imaginarios conjugados con parte real nula.

Entonces existen matrices A(u)=∂∂uf(u) y 𝑔(u) , compatibles con los supuestos (30) y (31), de tal manera que las hipótesis y conclusiones del Teorema 4.3 son válidos para el sistema (20). Tanto el caso elíptico como el caso hiperbólico ocurren como lo observado en laFigura 13.

Ya que ambas condiciones son abiertas, los resultados persisten, en particular, para pequeñas velocidades de onda 𝑠 distintos de cero, incluso cuando 𝑓, 𝑔 permanecen fijos.

Obsérvese que para el caso hiperbólico, esto es, η =+1 al menos un par de ondas débiles con colas oscilatorias, conectan los puntos 𝑢⁻ y 𝑢⁺. En el caso elíptico, η =−1, los contornos viscosos salen del entorno 𝑈 y por lo tanto representan grandes choques.

Para demostrar el Teorema 5.1, se analiza la parte lineal del sistema (20) con velocidad de onda 𝑠 = 0, dado por:

con 𝐴 = 𝐴(𝑢₀,0,0) y 𝑔´ = 𝑔´ (𝑢₀,0,0).

Se asume que la parte lineal del término de reacción es dado por

independiente de 𝑢₀ ( ℝ como lo planteado en (26).

Por la proposición 5.1, los valores propios imaginarios puros de 𝐿^δ(𝑢₀) surgen de una perturbación 0(δ) de la matriz

con espectro σbdLδ(u0) y s = 0. Sean λ(u0), λ(u0) los valores propios imaginarios con parte real nula de 𝐴⁻¹ 𝑔´, esto es,

Se observa que

en particular, tr(A-1𝑔')=0 . Con la expansión,

se tiene

y así

Por la perturbación 0(δ) del espectro acotado σ_𝑏𝑑 (𝐿^δ(𝑢)), el resultado Re λ´ (0) ≠ 0

es válida para δ↘0 y en vista del Teorema 4.3, se ha comprobado el supuesto (18).

Por otro lado, considere

con u=(u,v) ∈ℝ3 xℝ3,e0T =(1,0,0)  un vector unitario en ℝ3 y e0T=(e0T,0)

un vector unitario en . ℝ³ x ℝ³

Nótese que el kernel y el co-kernel de 𝐿^δ(𝑢₀) es de dimensión uno, pues 𝐿^δ(𝑢₀)

posee un valor propio igual a cero. Es claro que

Ker 𝐿^δ(𝑢₀) = gen{ 𝑒₀}

pues 𝑔´(𝑢₀,0,0) 𝑒₀ = 0. Para 𝑢₀ = 0, el co-kernel de 𝐿^δ(𝑢₀) es dado por

Con eδT =1+δα212e0T,-δαe0T , y al reemplazar 𝐴₀ y 𝑔´, dado en (30) y (31),

en (32) se tiene

Por el cruce transversal del valor propio en δ = 0 , se obtienen valores propios imaginarios puros ±𝑖⍵^δ en el punto de equilibrio uδ=(u0δ,0,0) del eje 𝑢₀ para δ↘0.

Sea el correspondiente espacio propio. Como

con e0 = (e0T,0)T, uδ, ωδ, P0δ y zδ varia con respecto a δ, se deduce el siguiente lema, probado en ⁹.

Lema 5.1¹⁶. En el ajuste y notación anterior, se tiene

en un punto de equilibrio 𝑢^δ = (𝑢^δ,0,0) con vectores propios complejos (uδ~,v~δ) de ±iwδ .

En particular, considere la forma cuadrática 𝑔0''(0) sobre (𝑢₁, 𝑢₂), con Γ = ±1 que indica su signo. Entonces:

para δ↘0

Por el lema anterior se comprueba que condición de no degenerancia (19) es diferente de cero para δ↘0, el cual completa la demostración del Teorema 5.1. Por tanto, el sistema (20) presenta bifurcación de Hopf sin parámetros, η =+1 para el caso hiperbólico o η =−1 para caso elíptico, donde

con δ↘0. Aquí las derivadas son evaluadas en 𝑢 = 0 y se supone que δ ≠ 0 y Γ = ±1 indica el signo de 𝑔0''(0) sobre (𝑢1, 𝑢2).

6 Conclusiones

Se ha realizado un estudio de la dinámica de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando esta presenta una bifurcación de Hopf, con o sin parámetros, determinar cuándo y en qué condiciones genéricas se puede presentar este tipo de bifurcaciones. Además se concluye que toda bifurcación de Hopf, sin importar que dependa o no de un vector de parámetros, presenta condiciones de equilibrio, de bifurcación y de control o transversalidad.

Por otro lado se observó que bajo ciertas condiciones un sistema de ecuaciones diferenciales parciales conlleva a una bifurcación de Hopf sin parámetros cuando es analizada a través del estudio de contornos viscosos a lo largo de una línea de puntos de equilibrio, del cual presentan órbitas heteroclínicas que conectan los puntos de equilibrio del termino reactivo formando un cono; o el modelo muestra una onda viajera el cual da origen a órbitas periódicas formando entre ellas una esfera de órbitas. A estas condiciones de perdida de estabilidad de Hopf son llamadas, respectivamente, hiperbólica o elíptica.