Problema de la mochila irrestricta bidimensional guillotinada¹

Unconstrained Two-Dimensional Knapsack Problem²

Problema da mochila irrestrita bidimensional guilhotinada³

¹ Este artículo es resultado del proyecto de investigación Solución del problema de empaquetamiento óptimo de contenedores, financiado por Colciencias y la Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, a través del convenio Jóvenes Investigadores, con código de radicación CIEC 859-2009.
² Submitted on: April 24, 2010. Accepted on: August 12, 2010. This article results from the research project Solution of the Tridimensional Bin Packing Problem, financed by Colciencias and the Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, agreement Jovenes Investigadores, registration CIEC 859-2009.
³ Data de recepção: 24 de abril de 2010. Data de aceitação para publicação: 12 de agosto de 2010. Este artigo é resultado do projeto de pesquisa Solução do problema de empacotamento ótimo de containers, financiado por Colciencias e pela Universidade Tecnológica de Pereira, Colômbia, através do convenio Jovens Pesquisadores, com código de inscrição CIEC 859-2009.
⁴ Ingeniero de sistemas y computación. Magíster en Ingeniería Eléctrica, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia. Joven Investigador Grupo DINOP-Universidad Tecnológica de Pereira. Correo electrónico: davidalv@utp.edu.co.
⁵ Ingeniera industrial. Magíster en Investigación de Operaciones y Estadística y en Ingeniería Eléctrica. Profesora de la Facultad de Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia. Correo electrónico: elianam@utp.edu.co.
⁶ Ingeniero electricista. Magíster en Sistemas de Potencia. PhD en Ingeniería Eléctrica. Profesor de la Facultad de Ingenierías, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia. Correo electrónico: ragr@utp.edu.co.

Fecha de recepción: 24 de abril de 2010. Fecha de aceptación para publicación: 12 de agosto de 2010.

Resumen

Los problemas de empaquetamiento y corte óptimo son considerados clásicos dentro de la investigación de operaciones, debido a su gran espectro de aplicación en la industria y su alta complejidad tanto matemática como computacional. En este trabajo se presenta el problema de empaquetamiento óptimo bidimensional irrestricto de piezas rectangulares en una sola placa, con pesos asociados a las piezas y sin estos, al tiempo que se considera la posibilidad de rotar 90° las piezas y con restricciones de corte tipo guillotina (problema de la mochila bidimensional irrestricta guillotinada). Se describe el modelo matemático aplicado por diferentes grupos de investigación que estudian esta temática. Se propone, además, un tipo de codificación para aplicarla en este problema y se resuelve mediante un algoritmo de optimización que combina las principales características de cúmulo de partículas, recocido simulado y algoritmos genéticos. Para comprobar la eficiencia de la metodología presentada se tomaron casos de prueba de la literatura especializada, se analizan y comparan los métodos de solución presentados con los últimos avances del problema y se obtienen resultados de excelente calidad y nunca antes reportados en la literatura especializada.

Palabras clave: Mochila bidimensional irrestricta, cúmulo de partículas, recocido simulado.

Abstract

Cutting and packing problems are common in operations research, due to their big spectrum of application in the industry and its highly mathematical and computational complexity for the academy. In this study we present the unconstrained twodimensional cutting stock problem of rectangular items, with and without weights associated to the items, bearing in mind the possibility to rotate items at 90°, and with guillotine cuts (also known as unconstrained two-dimensional guillotineable single knapsack problem). For this problem, we describe the mathematical model recognized by the academic community. We develop an appropriate encoding of the problem so it is possible to work on it using metaheuristic hybrid algorithm particle swarm optimization and simulated annealing. To check the efficiency of this methodology, case studies were taken from specialized literature, where the presented solution method could be analyzed and compared with current problems. The results obtained had an excellent quality and had never been reported.

Key words: Unconstrained two-dimensional knapsack problem, particle swarm optimization, simulated annealing.

Resumo

Os problemas de empacotamento e corte ótimo são considerados clássicos dentro da pesquisa de operações, devido a seu grande espectro de aplicação na indústria e sua alta complexidade tanto matemática como computacional. Neste trabalho apresenta-se o problema de empacotamento ótimo bidimensional irrestrito de peças retangulares em uma só placa, com pesos associados às peças e sem estes, ao mesmo tempo em que se considera a possibilidade de rotar 90° as peças e com restrições de corte tipo guilhotina (problema da mochila bidimensional irrestrita guilhotinada). Descreve-se o modelo matemático aplicado por diferentes grupos de pesquisa que estudam esta temática. Além disso, propõe-se também um tipo de codificação para aplicá-la neste problema e se resolve mediante um algoritmo de otimização que combina as principais características de cúmulo de partículas, recozimento simulado e algoritmos genéticos. Para comprovar a eficiência da metodologia apresentada se tomaram casos de prova da literatura especializada, analisam-se e comparam-se os métodos de solução apresentados com os últimos avanços do problema e se obtêm resultados de excelente qualidade e nunca antes relatados na literatura especializada.

Palavras-Chave: Mochila bidimensional irrestrita, particle swarm optimization, simulated annealing.

Introducción

El problema de la mochila irrestricta bidimensional guillotinada se usa para resolver problemas de corte que se presentan cuando el material es una pieza rectangular donde se deben ubicar piezas rectangulares más pequeñas de las que se conoce el tamaño y un costo asociado. El objetivo es maximizar el valor de las piezas cortadas. Las características de este problema son las siguientes:

• El costo asociado puede o no estar relacionado con el área de la pieza que se va a ubicar. Si el costo es igual al área de la pieza, se está resolviendo el problema sin pesos (unweighted version), y si el costo es diferente del área del ítem, el problema que se va a resolver es el problema con pesos (weighted version).
• La orientación de las piezas, es decir, una pieza de alto h y ancho w es diferente de una pieza de longitud w y alto h (without rotation). Si se considera que las dimensiones ( h, w) y ( w, h) representan las dimensiones de la misma pieza, se está abordando un problema con rotación (with rotation).
• Los patrones de corte son del tipo guillotina. Cada corte produce dos subrectángulos. Los cortes van de un extremo al otro del rectángulo original.
• No existe un límite máximo del número de piezas que se vayan a cortar de cada tipo (unconstrained version).

Gilmore y Gomory (1965 y 1966) proponen un algoritmo recursivo exacto sobre la base de la programación dinámica para resolver el problema. Este algoritmo es aplicable a las versiones con y sin pesos. Herz (1972) propone un método de búsqueda recursiva de árbol, que es más eficaz que el algoritmo de Gilmore y Gomory para el problema sin pesos, pero no se aplica a los casos con pesos. Entre tanto, Beasley (1985) plantea un algoritmo que es una versión modificada del algoritmo de Gilmore y Gomory. Hifi y Zissimopoulos (1996) sugieren un algoritmo recursivo exacto que use programación dinámica basada en eficientes límites inferiores y superiores para resolver el problema irrestricto. Por último, G y Kang (2002) proponen una mejora al algoritmo de Hifi y Zissimopoulos usando una cota superior más eficiente. Este es actualmente uno de los algoritmos exactos con mejor desempeño para resolver el problema irrestricto.

Por último, G y Kang (2002) proponen una mejora al algoritmo de Hifi y Zissimopoulos usando una cota superior más eficiente. Este es actualmente uno de los algoritmos exactos con mejor desempeño para resolver el problema irrestricto.

Existen dos técnicas generales usadas para resolver los problemas restrictos: top-down y bottom-up. Christofides y Whitlock (1977) propusieron originalmente el enfoque de top-down; el otro requiere una gran cantidad de memoria, razón por la cual la implementación de un algoritmo de este tipo es poco atractivo. Sin embargo, G, Kang y Seong (2003) plantearon un algoritmo que parte de una solución inicial de buena calidad y utiliza el algoritmo constructivo bottom-up como estrategia para generar las ramas y así disminuir el número de nodos por explorar.

En este artículo se utiliza una codificación en árbol binario, llamado árbol de cortes, que convierte el problema de empaquetamiento en uno de optimización irrestricta y se resuelve mediante dos algoritmos. El primero es una búsqueda exhaustiva sobre el árbol para encontrar los tipos de corte (horizontal o vertical); el segundo, un algoritmo metaheurístico híbrido que combina las principales características de cúmulo de partículas, recocido simulado y algoritmos genéticos para determinar las distancias de corte óptimas.

Para comprobar la eficiencia y la calidad de las respuestas de la metodología propuesta se usaron casos de prueba de la literatura especializada, de donde se obtuvieron resultados de excelente calidad y de los cuales no se conoce reporte. La estructura de este artículo es la siguiente: descripción del problema, modelo matemático, metodología de solución, análisis de resultados y conclusiones.

1. Descripción del problema

El problema de la mochila irrestricta tiene dos variantes: sin pesos y con estos (unweighted version y weighted version). La primera instancia del problema (weighted version with rotation) se define como: cortar de un rectángulo que se denomina placa (objeto) de alto h y ancho w un conjunto de rectángulos de cardinalidad n que se denominan piezas (ítems) de alto h_i, ancho wi y costo asociado c_i (donde i=1,..., n). Una pieza (h, w) es equivalente a una pieza (w, h). Aquí el objetivo está dado por la ecuación (1) y consiste en maximizar el costo asociado del conjunto de piezas cortadas. Así, z_i es una variable binaria que indica si la pieza i fue o no cortada.

La tercera instancia del problema (unweighted version with rotation) únicamente difiere de la primera en que el costo asociado c_i es igual al alto h_i por el ancho w_i. De este modo, la función objetivo de la ecuación (2) consiste en maximizar el área del conjunto de piezas cortadas.

Se presenta un modelo de programación lineal entera mixta para el problema de empaquetamiento óptimo de la mochila bidimensional irrestricta basado en la caracterización de los patrones de corte tipo guillotina y el uso de coordenadas donde pueden ser ubicadas las piezas (Figura 1). Esta es una adaptación del modelo presentado por (Ben, Chu y Espinouse, 2008) para el problema de empaquetamiento óptimo guillotinado en rollos infinitos (guillotinable strip packing problem).

A fin de obtener un modelo lineal entero, se usa el siguiente conjunto de variables binarias que representan la ubicación de las piezas en la placa:

Las siguientes variables de decisión intermedia también son necesarias para garantizar que no existan traslapes entre piezas:

Los siguientes tres conjuntos de variables binarias son necesarios para garantizar las restricciones guillotina:

La formulación completa del problema de empaquetamiento óptimo guillotinado de la mochila bidimensional irrestricta (weight version without rotation) es la siguiente:

Maximizar

sujeto a

En la formulación anterior, las restricciones (6)-(8) aseguran que cada posición horizontal o vertical sea ocupada exactamente por una pieza, y cada pieza es empacada exactamente una vez.

Las restricciones (9)-(12) garantizan que no existan traslapes entre piezas. Las restricciones (13)-(20) son para cada área rectangular. Si las restricciones de guillotina son satisfechas para cada área rectangular, también se cumple para todo el patrón de corte. Finalmente, las restricciones (21) y (22) garantizan que ninguna pieza exceda horizontalmente el ancho w y que ninguna pieza exceda verticalmente la altura h, considerando que la función objetivo es maximizar la sumatoria del costo asociado de las piezas empacadas en la placa (véase ecuación [3]).

El modelo que representa la versión sin pesos (unweight version) del problema es igual al anterior, modificado únicamente en la función objetivo, es decir, la ecuación (3) es reemplazada por la ecuación (27).

En este modelo existen muchas restricciones y variables binarias (cerca de 3n⁴/4 variables binarias y cerca de 2n⁴ restricciones). Por otra parte, un grupo grande de restricciones presenta un comportamiento donde sólo una restricción está activa y las otras son redundantes (por ejemplo, existe siempre una restricción redundante entre (9) y (10)).

Por esta razón, la relajación de la programación lineal (PL) del modelo obtiene un límite inferior de mala calidad. El modelo presenta una alta complejidad matemática que en la práctica lo hace inexplotable mediante el software y el hardware actual disponible para la programación entera mixta (más detalle de este modelo en [Ben, Chu y Espinouse, 2008]).

3. Metodología de solución

3.1 Codificación

Wong, Leong y Liu (1988) presentan una estructura de codificación de datos para el problema de empaquetamiento, denominada árbol de cortes. Una de las grandes ventajas de la representación en árbol de cortes es la generación de patrones de corte tipo guillotina. Diferentes metodologías propuestas han corroborado la efectividad de la codificación en árbol de cortes, en especial la presentada por (Cui, 2007 y Toro, Garcés y Ruiz, 2008).

Un árbol de cortes se define como un árbol con raíz, donde cada nodo interno (padre) representa la posición y la forma como se realiza el corte sobre el material (horizontal o vertical); mientras los nodos hoja (nodos terminales) representan las dimensiones de los subespacios generados para cortar las piezas agrupadas.

Diferentes propuestas que usan la codificación en árbol de cortes sugieren encontrar el árbol óptimo, que es de difícil solución, a diferencia de (Toro, Garcés y Ruiz, 2008), que delimitan y reducen el número de árboles en el proceso de optimización. A la vez, Toro, Garcés y Ruiz (2008) sugieren, después de realizar un estudio estadístico, delimitar el árbol de cortes al uso de árboles binarios completos con tres niveles.

La Figura 2 ilustra un árbol para el problema de empaquetamiento. En este, el nodo raíz establece un corte vertical sobre la placa de material. La jerarquía del árbol indica que el hijo izquierdo efectúa un corte horizontal sobre el rectángulo izquierdo, mientras el hijo derecho realiza un nuevo corte vertical sobre el rectángulo derecho; esto para el primer nivel. En el segundo nivel se realiza un corte horizontal al rectángulo inferior izquierdo y se obtienen para el tercer nivel dos subespacios 1 y 2, mientras que en el rectángulo superior izquierdo se efectúa un corte vertical y se logran en el tercer nivel los subespacios 3 y 4. De la misma forma, los subespacios 5, 6, 7 y 8 son el resultado de los cortes realizados en el segundo nivel. En cada subespacio generado se ubican las piezas con igual forma que generen mayor rentabilidad.

El algoritmo constructivo best-fit consiste en encontrar el conjunto de piezas idénticas que maximice el área del subespacio j y, a su vez, genere la mayor rentabilidad, sujeto a la restricción del número de piezas i disponibles. La ecuación (28) expresa formalmente el algoritmo best-fit. El cálculo de la función objetivo consiste en calcular la ecuación (28) para cada subespacio.

La codificación propuesta en este estudio garantiza la factibilidad, en cuanto a las restricciones de corte tipo guillotina. El árbol de orientación de cortes y el árbol de distancias de los cortes son independientes entre sí (representados por las variables O y D). Esto significa que para cada conjunto de valores de O existe una solución óptima D^*. El esquema de optimización para los problemas de mochila se ilustra en la Figura 3. El algoritmo I realiza una búsqueda exhaustiva sobre el árbol O, mientras que el algoritmo II recibe todos árboles O posibles, donde debe encontrar las distancias óptimas para cada uno de estos. El algoritmo II corresponde al escenario de las técnicas metaheurísticas.

Así mismo, en este algoritmo se incluye el operador de mutación propio de los algoritmos genéticos (Gallego, Escobar y Toro, 2008) en el algoritmo de cúmulo de partículas, donde la mutación se define como la modificación del valor de un nodo del árbol de distancias a través del mecanismo de transición de la ecuación (29).

El mecanismo de transición consiste en permitir grandes cambios en las distancias de los cortes durante las primeras iteraciones, al igual que el recocido simulado permite empeoramientos de la función objetivo al comienzo del proceso. A medida que avanzan las iteraciones, los cambios se vuelven más sensibles y determinísticos. La ecuación (29) está compuesta por el valor actual del nodo i del árbol de distancias, el número de iteración actual, el número de iteraciones totales y un épsilon (donde ε es el mínimo porcentaje para generar un cambio en la distancias) y donde, ε = 100/max(L,W).

La Figura 4 ilustra el diagrama de flujo de datos del algoritmo de cúmulo de partículas más el recocido simulado (A_PSO+SA). El nombre de este algoritmo está dado, ya que utiliza el mecanismo de transición inspirado en la técnica de recocido simulado.

En este estudio se conserva la filosofía de los operadores de mutación de los algoritmos genéticos, donde la probabilidad de que ocurra una mutación en la población es muy baja. Entonces se realizó el mismo proceso de calibración para los rangos propuestos del parámetro de mutación en (Gallego, Escobar y Toro, 2008). Los valores resultantes de la calibración de parámetros son ilustrados en la Tabla 1.

Casos como UWL1, UWL2, UWL3, UWL4, UUL1, UUL2, UUL3 y UUL4 para el problema de la mochila sin rotación no tienen respuesta reportada, debido a que la mayoría de aproximaciones a estos casos de gran complejidad matemática se hicieron mediante el uso de técnicas exactas (Gallego, Escobar y Romero, 2007), donde el esfuerzo computacional es demasiado alto para su solución. Por lo tanto, algunos autores omiten reportarlas. Las tablas 2 y 3 presentan los resultados obtenidos por el algoritmo propuesto en este estudio y los tiempos empleados para alcanzar estas respuestas.

Cuando se soluciona el problema de la mochila irrestricta con pesos, con rotación de piezas y sin estas para instancias de mediana complejidad matemática usando el algoritmo propuesto, se alcanzan respuestas de excelente calidad y en tiempos computacionalmente razonables. Para problemas de gran complejidad se mejoran ostensiblemente las respuestas reportadas en la literatura. Sin embargo, cuando se soluciona el problema de la mochila irrestricta sin pesos usando el algoritmo propuesto, se obtiene un comportamiento regular, en cuanto a las respuestas encontradas por la literatura para instancias de mediana complejidad; entre tanto, para problemas de gran complejidad las repuestas son de mejor calidad respecto a las reportadas en la literatura (Tabla 4).

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