TEORÍA DE LA INFORMACIÓN Y PRINCIPIOS DE MÁXIMA ENTROPÍA

Este artículo combina la teoría de la información y la teoría de la probabilidad para establecer una representación cuantitativa de la plausibilidad de las proposiciones, es decir, representar el conocimiento que se tiene de problemas sobre las que hay información limitada empleando ciertas reglas de consistencia. En este contexto, el concepto de entropía difiere del uso que tiene en termodinámica, pues se refiere a la búsqueda de métodos para representar lo que es más probable en la organización (distribución) de un sistema, considerando la información limitada sintetizada en los planteamientos teóricos.

El principio de máxima entropía asigna probabilidades, sujetas a restricciones. Pero puesto que muchas distribuciones de probabilidad pueden ser consistentes con las restricciones impuestas al sistema, el principio de máxima entropía elige la distribución con mayor multiplicidad, es decir, la que puede tomar el mayor número de formas. En términos formales, ^{Jaynes (1957)} propone maximizar:

Donde es un dato de la función fj(x). Este problema se resuelve despejando la ecuación:

donde se maximiza con respecto a p (x), λ_j los son valores en R que representan la información adicional que se obtiene con cada restricción, y λ₀ es el multiplicador de Langrange, que normaliza p(x) paraque se pueda interpretar como una distribución de probabilidad. El resultado es

donde los λ_j ^* se obtienen optimizando con respecto al sistema dual (^{Jaynes, 1957}). La ecuación (2) pertenece a la familia esponencial, lo que significa que, bajo ciertas condiciones de regularidad, todo problema expresado por medio de momentos tiene una solución única (^{Csiszár, 1984}).

El principio de máxima entropía tiene algunas propiedades que ayudan a entender qué se puede interpretar como típico o regular. Por ejemplo, si X ₁ ,... Xn es la secuencia de salarios de los individuos 1 a n, deberíamos tener una manera de decir cuál es el salario típico de un trabajador antes de conocer sus características específicas.

Para una secuencia X ₁ ,... Xn de variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas tomadas de p(x), el conjunto típico se define como (ver ^{Cover y Thomas, 2012}):

Donde . El conjunto típico tiene una fuerte relación con la ley débil de los grandes números, pues nos dice que es un valor cercano a la entropía h(X).

De particular importancia es que la secuencia X ₁ ,... Xn se puede dividir en dos conjuntos, el conjunto típico, donde la entropía de la muestra está cerca de h (X), y el no típico, el resto. Como muestra el siguiente teorema, cualquier propiedad que cumpla el conjunto típico también la cumplirá, con alta probabilidad, el comportamiento promedio de una muestra grande. Es decir, lo que importa es entender qué sucede con el conjunto típico y no con el comportamiento de la muestra.

Teorema 2.1. El conjunto típico tiene las siguientes propiedades:

Demostración. Ver el capítulo 8 de ^{Cover y Thomas (2012)}.

El conjunto típico es entonces el conjunto que tiene la mayor probabilidad, aproximadamente exp n (h(X)) . El hecho de que sea el conjunto con mayor probabilidad significa que es el conjunto donde el producto entre la función de densidad y el volumen es mayor, es decir, describe el comportamiento más probable de las variables X ₁ ,... Xn.

La importancia de usar distribuciones de máxima entropía consiste en que definen lo que se puede considerar típico de una muestra sin conocer toda la información de sus componentes. Por ejemplo, antes de conocer las características específicas de los trabajadores, si conocemos ciertos aspectos importantes de su comportamiento, podemos establecer sus regularidades siempre y cuando nuestro conocimiento sea apropiado.

REPRESENTACIÓN DE MAXENT EN PROBLEMAS DINÁMICOS FUERA DE EQUILIBRIO

Uno de los problemas que parece tener el método de máxima entropía es que solo se aplica a problemas de equilibrio. Para tratar sistemas dinámicos fuera de equilibrio, ^{Jaynes (1980}, ¹⁹⁸⁵) propone el principio de máximo calibre. Así como el principio de máxima entropía es la solución más probable de un sistema en un estado-espacio, el de máximo calibre presenta la solución más probable de trayectorias que puede tomar un sistema en el tiempo.

Para ilustrar el principio de máximo calibre expresemos la distribución de probabilidad de trayectorias como p [x (t)] , que maximiza

donde Dx (t) representa la integral referida a las posibles trayectorias de x (t) . La distribución de probabilidad de máximo calibre es entonces:

Igual que antes, los multiplicadores de Lagrange se pueden obtener del sistema dual o del sistema de ecuaciones:

Y la trayectoria más probable se deriva de la función:

que depende de las restricciones de dinámica impuestas al sistema.

Los resultados de la distribución de máximo calibre generalizan, por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck² (^{Risken, 1996}). La ecuación de Fokker-Planck describe el cambio en el tiempo de la distribución p [x (t)] condicionada en los primeros dos momentos de x (t) . Suponiendo que todo lo que se sabe de x (t) es que:

se llega a que (4) se reduce a la expresión de la distribución de probabilidad que se obtiene utilizando la ecuación de Fokker-Planck (^{Haken, 1986}).

Por la simplicidad que ofrece el uso de la ecuación de Fokker-Planck, en los problemas dinámicos que resolvemos a continuación se adoptan los supuestos (7). Se puede demostrar que la distribución estacionaria obtenida con la ecuación de Fokker-Planck corresponde a la solución que maximiza la entropía bajo restricciones derivadas de las ecuaciones dinámicas.

SOBRE LA FORMACIÓN DEL TRABAJO ABSTRACTO

La teoría del valor trabajo se basa en los principios de libre movilidad del trabajo y del capital. ^{Marx (1939}, p. 104) presenta la noción de trabajo abstracto como una propiedad emergente que surge como resultado de la racionalidad de los trabajadores y de su capacidad para trasladar su fuerza de trabajo de una actividad a otra en los términos siguientes:

esta abstracción del trabajo en general no es solamente el resultado intelectual de una totalidad concreta de trabajos. La indiferencia ante trabajos específicos corresponde a una forma de sociedad en la que los individuos pueden pasar fácilmente de un trabajo a otro, y donde el tipo específico es para ellos fortuito y, por tanto, indiferente.

La indiferencia ante tipos específicos de trabajo genera la tendencia a la igualación de la tasa de explotación o de plusvalía:

Si los capitales que ponen en movimiento diferentes cantidades de trabajo vivo producen diferentes cantidades de plusvalía, esto asume que la tasa de explotación del trabajo, o la tasa de plusvalía, es la misma, al menos hasta cierto grado, o que las distinciones que existen son balanceados con cierto tipo de compensaciones, sean reales o imaginarias (convencionales). Esto supone competencia entre trabajadores, y una igualación que toma lugar como resultado de una constante migración de una esfera de producción a otra (^{Marx, 1981}, p. 275).

La proposición central es que el trabajo abstracto es una construcción social cuyo carácter objetivo se deriva de la libre movilidad del trabajo. Esta propiedad permite interpretar el trabajo como algo fungible y que la teoría del valor vea el “trabajo como tal”: el creador universal de riqueza y la fuente de los beneficios que después se distribuyen entre capitalistas (^{Shaikh, 1977}, p. 123).

Para presentar en forma simple cómo surge el trabajo abstracto de la libre movilidad del trabajo comenzamos con algunas definiciones, que en su mayoría provienen de ^{Foley (1982)} y ^{Dumenil (1983)}.

Sean Y el agregado monetario del producto neto y L el tiempo de trabajo productivo total en la economía. Siguiendo a Foley y Dumenil, se puede decir que existe un escalar m que transforma unidades monetarias de producto en unidades de valor, tal que:

donde m es la expresión monetaria del tiempo de trabajo (MELT por sus siglas en inglés). La ecuación (8) expresa, así sea como una relación contable ex post, la noción de que el valor agregado es creado por trabajo productivo.

El MELT también puede expresar que los beneficios agregados son resultado de la plusvalía S que se obtiene por la explotación del trabajo. Esta relación se puede derivar definiendo primero la tasa de salarios como:

donde W es el pago total de salarios en términos monetarios. El valor de la fuerza de trabajo o el salario natural puede verse entonces como el equivalente, en tiempo de trabajo, de la tasa de salarios, es decir:

Por identidad contable, de (8) y (10) se deduce que los beneficios agregados son la expresión monetaria de la plusvalía, pues:

Las definiciones (8) a (11) son de gran ayuda para establecer la conexión entre la tasa general de explotación e y la proporción de los salarios sobre el ingreso , ya que:

donde V es la fracción del total de tiempo de trabajo que corresponde al trabajo remunerado (^{Marx, 1976}, p. 325).

Para describir la racionalidad de los trabajadores, veamos ahora la tasa de salario del del trabajador i, ω _i = W _i /L _i que representan el salario que se le paga con respeto al esfuerzo necesario para obtenerlo. Si ω _i > ω _j , se puede esperar que la oferta de trabajo en la actividad productive donde opera el trabajador i crezca en relación con aquella en la que opera el trababajro j.

Si se presentar una tendencia a la igualación de la tasa de salarios , de (12) también se obtiene que se presenta una tendencia a la igualación de las tasas de plusvalía³. Así, cuando los trabajadores se trasladan a sectores con altas tasas de salarios pasan a actividades donde la tasa de explotación es menor. Presentamos ahora las dos definiciones importantes para construir el modelo.

Definición 3.1. La tasa de salario efectiva se define como el inverso de la tasa de plusvalía creada por trabajador i, es decir:

La razón para usar esta definición de salarios es de carácter matemático: operar en el dominio de los números positivos es más simple y no altera el significado económico de las ecuaciones.

Definición 3.2. Dada la igualación de las tasas de salarios, para cualquier pago de salarios agregados W el tiempo de trabajo universal se define como:

Donde (^) denota valores esperados. Dado el MELT, la igualación de las tasas de plusvalía implica que existe un tipo de trabajo promedio que representa el tiempo de trabajo universal. Sin embargo, como cualquier puede no ser igual a , la definición de trabajo universal requiere conocer un equilibrio estadístico de los salarios para derivar su promedio y encontrar .

MODELO ESTADÍSTICO DE SALARIOS

La competencia entre trabajadores se puede describir con un lógica muy simple en términos de salarios efectivos w. Si suponemos que w Є R₊, tenemos entonces que la medida de salarios no diferencia entre actividades productivas específicas. El principio de racionalidad del trabajador indica que la oferta de trabajo tiende a crecer cuando el salario efectivo es mayor o la tasa de plusvalía creada es menor, es decir:

donde g₀ ^L es la tasa de crecimiento de la oferta de trabajajo en función del salario efectivo. Como w Є R₊ esto signfica que, en un espacio discreto, la oferta de trabajo en la actividad a crece más que en la actividad b si el salario efectivo es mayor en a que en b.

A diferencia de los trabajadores, los capitalistas buscan que la tasa de plusvalía sea lo más alta posible. A medida que la tasa de plusvalía es mayor, el trabajador crea más valor que el necesario para su manutención, lo que implica un aumento en las posibilidades de ganancias⁴. Otra forma de ver este principio es que al aumentar la tasa de plusvalía, el capitalista puede reducir costos unitarios y, por tanto, tener mayor ventaja en la competencia entre firmas (^{Shaikh, 1978}). Siguiendo esta lógica, podemos definir una función de demanda como:

Es decir, la demanda de trabajo disminuye a medida que los salarios aumentan, teniendo en cuenta que aquí los salarios son el inverso de la tasa de plusvalía.

La dinámica de los salarios efectivos se puede entender en términos de la diferencia entre oferta y demanda, tal que:

Supongamos que todo lo que sabemos del comportamiento de los salarios es lo que se describe en (15) a (17). ¿Qué se puede decir de la distribución de los salarios con este conocimiento? Para responder la pregunta podemos utilizar el principio de máxima entropía sujeto a las siguientes restricciones:

Suponer que, en promedio, la oferta y demanda de trabajo son iguales es suponer que existe un salario efectivo de equilibrio, ya que:

es decir, donde . Así, el objetivo es resolver:

Por la ecuación (2), la solución de (19) es:

El resultado de (20) representa el equilibrio de los salarios, no como un punto sino como una distribución. La media de la distribución muestra el salario asociado a un equilibrio entre oferta y demanda de trabajo y, a su vez, la desviación de los salarios. Dado que el equilibrio estadístico de los salarios es una distribución exponencial, el salario de equilibrio es igual al salario promedio. Es decir, la regla de comportamiento descrita por las ecuaciones (15) y (16) refleja la racionalidad de los trabajadores, que trasladan su fuerza de trabajo a ocupaciones con salarios superiores a la media⁵. Vale la pena resaltar algunos aspectos puntuales:

La línea negra continua muestra una distribución donde δ0= 0,4 y δ1 = 0,7, miestras que la linea negra discontinua es el valor esperado de los salaries. Respectivamente, las lineas en gris asumen δ0 =0,6 y δ1 = 0,7.

Gráfica 1 Distribución de los salarios efectivos 

Suponer que, en promedio, el mercado laboral está en equilibrio también da como resultado que existe una medida objetiva de tiempo de trabajo abstracto, como valor esperado de todo tipo de trabajo específico, pues solo por azar el salario efectivo de un trabajador se desvía del promedio. Por ello, todo valor agregado se puede interpretar como un resultado de tiempo de trabajo abstracto, pues es un valor que no distingue entre propiedades específicas del trabajador.

LA IGUALACIÓN DE LAS TASAS DE GANANCIA

La competencia entre capitalistas tiene características diferentes a la que existe entre trabajadores. En primer lugar, las ganancias, el objetivo de todo capitalista, no están dadas por el hecho de producir. En segundo lugar, la tasa de ganancia no es determinada por la intersección entre curvas de oferta y demanda, sino por un proceso dinámico de cambios en la demanda agregada, la distribución del ingreso y la elección de técnicas de producción⁶. Por esto, tiene poco sentido imponer de antemano condiciones de equilibrio a la tasa de ganancia.

En esta sección ilustramos cómo se puede obtener la distribución de las tasas de ganancias en un sistema dinámico. Por simplicidad matemática, suponemos que los choques estocásticos son aditivos y que, en promedio, la oferta y la demanda son siempre iguales⁷.

Para comenzar definimos la tasa de ganancia como:

donde c C/Y es la proporción entre el valor monetario del capital circulante y el producto, y k K/Y es la proporción entre capital fijo y producto. La ecuación de movimiento de la tasa de ganancia es la derivada de sus partes con respecto al tiempo:

Se supone, además, que la tasa de crecimineto del product g_y es mayor que g _C , es decir, que existe cambio técnico ahorrador de trabajo. Y como supuesto de comportamiento se asume que los capitalistas tienden a aumentar la acumulación de capital fijo cuando se incrementa la tasa de ganancia. Por simplicidad, esto se expresa mediante la siguiente función lineal:

Como trabajamos en un espacio continuo, esto equivale a decir que la inversión en un sector a aumenta con respecto al sector b si la tasa de ganancia en a es mayor que en b. Un supuesto consistente con el principio de que los capitalistas trasladan su capital a sectores con mayor tasa de ganancia.

Remplazando (23) en (22) e introduciendo un coeficiente de diffusion σ_r junto a proceso de Wiener dW _t se obtiene⁸:

que representa la dinámica de la tasa de ganancia, con una varianza por unidad de tiempo igual a σ_r .

Puesto que solo hemos definido los dos primeros momentos de la dinámica de la tasa de ganancia, y hemos adoptado el supuesto de normalidad de los errores por medio del proceso de Wiener, el principio de máximo calibre se reduce a la ecuación de Fokker-Planck. Así, los cambios de la distribución de probabilidad de las tasas de ganancia en el tiempo se definen por medio de una ecuación diferencial parcial:

Donde

es la corriente de probabilidad. La solución estacionaria de la educación (25) se encuentra cuando S(r,t)=0, lo que resulta en:

Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, la función potencial V (r) describe el tipo de estabilidad de las variables: la distribución de probabilidad está determinada por la forma que adopta la dinámica de la tasa de ganancia en el tiempo. De particular interés es que la función potencial tiene dos puntos críticos en regiones cóncavas y convexas.

El mínimo local de la función potencial se puede interpretar como el punto de menor acción, donde se eliminan las fuerzas adicionales que resultan de la movilidad del capital (^{Marx, 1981}, p. 297). Toda aceleración de los flujos del capital se cancela en promedio cuando la tasa de ganancia llega a su nivel “normal”, por ello, en ese punto el sistema opera con la menor energía. Además, la función potencial describe un punto de equilibrio de las tasas de ganancia derivado del proceso dinámico que incluye el cambio técnico, la distribución del ingreso y las decisiones de inversión de los capitalistas. También es posible encontrar un máximo en la región de valores negativos de las tasas de ganancia, un punto de no retorno a la normalidad que se puede interpretar como un punto de crisis del sistema.

El equilibrio estadístico de las tasas de ganancia descrito en (26) permite que la tasa de ganancia de equilibrio (“normal’’) sea diferente de la tasa promedio. En términos intutitivos, puesto que las firmas no pueden sobrevivir indefinidamente con pérdidas, la tasa de ganancia está necesariamente acotada por un límite inferior. Por esa razón, con una caída de la tasa de ganancia normal, es más probable que una firma tenga una ganancia inferior que una superior a la normal.

Este modelo simple y abstracto capta dos aspectos fundamentales de la economía capitalista. Primero, muestra que en condiciones normales la tasa de ganancia se mueve alrededor de un equilibrio que no es determinado por ningún individuo sino que es un resultado social e involuntario. Segundo, permite que existan periodos de crisis, o momentos en los que el sistema no garantiza la reproducción normal del capital. En términos formales, esto se refleja en momentos en los que la tasa de ganancia sobrepasa el máximo de la función potencial, pues es el límite que permite que el sistema regrese por si mismo a una situación de normalidad⁹.

Los resultados que se muestran en la gráfica 2 ilustran lo que se dijo sobre la forma analítica de la función potencial. Además de la existencia de un mínimo y un máximo local, la distribución es menos simétrica a medida que la tasa de ganancia normal es menor. Esto se refleja en que la barrera que separa el mínimo y el máximo local es más pequeña, lo que indica que la probabilidad de que el sistema pase de ser estable a ser inestable es mayor. Es decir, la frecuencia con la que pueden ocurrir crisis económicas es mayor a medida que la tasa de ganancia de equilibrio disminuye.

Los parámetros utilizados para generar las gráficas son . Fijando se utiliza para generar las funciones en gris claro, gris y negro, respectivamente.

Gráfica 2 Distribución y función potencial de la tasa de ganancia 

Estos resultados son consistentes con los argumentos teóricos de ^{Marx (1981}, p. 350), ^{Shaikh (1992)}, y ^{Grossman (1992)}, quienes señalan que las crisis económicas se deben a la incapacidad del sistema para generar ganancias que garanticen la reproducción normal del capital. Y también con la evidencia estadística, que muestra que la distribución de la tasa de ganancia es menos simétrica a medida que la tasa de ganancia promedio es menor, lo que indica que en equilibrio estadístico es razonable pensar que hay un gran número de firmas con pérdidas económicas (^{Scharfenaker y Foley, 2017}).

CONCLUSIONES

La teoría del valor trabajo al ser una teoría de organización social es también un tipo de microeconomía, en la que la sociedad no se divide entre hogares y firmas, sino entre clases sociales: trabajadores y capitalistas. En esta visión cada agente tiene objetivos claros, marcados por principios de racionalidad que dan lugar a un orden social, aunque de ello no se desprende que todo equilibrio sea un óptimo con implicaciones de máximo bienestar. Así mismo, y esta es su principal ventaja sobre la microeconomía tradicional, la teoría del valor trabajo ofrece una teoría del origen y la dinámica de la tasa de ganancia.

Partiendo de la competencia entre trabajadores y capitalistas, la teoría del valor trabajo capta dos aspectos fundamentales de la dinámica de la economía capitalista. Primero, establece objetivamente el concepto de trabajo abstracto como fuente de valor agregado social a partir de la libre movilidad de la fuerza de trabajo. Segundo, considerando dada la plusvalía agregada, la competencia entre capitalistas da lugar a una tasa de ganancia normal. La tendencia a una tasa de ganancia normal permite, a su vez, hablar de una tasa única de ganancia a nivel macroeconómico y, por tanto, representar las relaciones de la dinámica agregada sin conocer en detalle el comportamiento de todos los sectores o individuos.

La competencia entre capitalistas está compuesta por elementos que van más allá de la descripción anterior. Por ejemplo, la competencia real incluye la competencia a través de precios, cambio de técnicas de producción para reducir costos, y por la movilidad de capital entre sectores (Shaikh, 2016, Cap. 7). Una versión más completa debe incluir estos aspectos de la competencia real y derivar su equilibrio estadístico. El desarrollo matemático de los principios de competencia real es un tema aún pendiente.

En los dos procesos de competencia descritos, la teoría de la información ofrece un método para representar regularidades económicas. Estas regularidades, que ilustran aspectos que van más allá de un punto de equilibrio, también describen las dispersiones. Desde esta perspectiva, problemas como el de la distribución del ingreso son parte intrínseca del análisis. Con estas bases se puede formar una idea de lo que es normal que hagan los mercados, más allá de las nociones de competencia perfecta o imperfecta. Por ejemplo, las distribuciones de salarios y beneficios muestran claramente que aun en equilibrio es normal que existan fuertes diferencias de ingresos entre las personas. Esto no significa que no sea relevante estudiar en detalle cómo se puede mejorar la distribución, sino que da una base para entender hasta qué punto y con qué medios se puede hacer algo en esa dirección.