1 introducción
Las secciones cónicas han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, han servido para modelar diversos fenómenos físicos, astronómicos (1), acústicos, arquitectónicos (2), cartográficos (3) etc. Pueden ser estudiadas a partir de los cortes que se hacen a un cono, a partir del concepto de lugar geométrico (4), por medio de las coordenadas polares, de forma matricial, etc.; en cualquiera de los casos se analizan sus elementos: vértices, focos, excentricidad, ecuaciones canónicas y general, lado recto, directriz y asíntotas.
En la Tabla 1 se especifican algunos de los elementos de las secciones cónicas con centro en el origen y que abren sobre el eje x (5), la circunferencia es una elipse con eje mayor y menor iguales (a = b, c = 0).
Usando el concepto de lugar geométrico, la elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante d1(P, F1) + d(P, F2) = 2a, para la hipérbola la diferencia de las distancias es constante, esto es |d1(P, F1) − d2(P, F2)| = 2a, cuando el producto de las distancias es fijo (d1(P, F1) · d2(P, F2) = b2) la familia de curvas recibe el nombre de Óvalos de Cassini, donde la Lemniscata y la circunferencia son dos casos particulares de la misma (6), en estas definiciones se trabaja con la suma, resta y multiplicación en el sentido usual. Giorgio Kaniadakis introduce un parámetro κ en sus artículos (7),(8) el cual se puede interpretar en el marco de la relatividad especial en términos del momento de inercia en dos sistemas inerciales, así como en el estudio de los grados de libertad microscópicos del Sistema(9). Con base en este parámetro se define la suma κ-deformada (1) y partiendo de esta expresión se hará el estudio de los efectos que sufren las secciones cónicas al considerar la suma y diferencia en el sentido de la κ-deformación y los cambios que ésto conlleva a sus elementos: vértices, ecuaciones, lado recto y extremos relativos. Adicionalmente se hace un estudio del área limitada por la elipse κ-deformada.
2 κ-deformación
En los artículos de Kaniadakis se encuentra un trabajo matemático sobre el parámetro κ; sin embargo, en (9),(10),(11),(12) se profundiza en el aspecto demostrativo y gráfico. Considere un número real −1 < κ < 1. Para cada real x se define la función como para y . La función inversa de está dada po r y . La ley de composición interna recibe el nombre de suma κ-deformada, cuando κ → 0 se obtiene la suma en el sentido usual. Por las propiedades de las funciones hiperbólicas y del álgebra la suma κ-deformada se escribe como
. La igualdad (1) es simétrica respecto del parámetro κ por ello se considera también valores entre 0 < κ < 1. El conjunto de los números reales con la suma κ-deformada es un grupo abeliano con módulo 0 y para cada x su inverso aditivo −x. Cada valor de κ en (1) genera una superficie como en la Figura 1. La diferencia κ-deformada se define como ; de acuerdo con (1) esta diferencia κ-deformada se escribe como .
3 Elipse κ-deformada
Sean F1(−c, 0) y F2(c, 0) dos puntos fijos y P (x, y) un punto arbitrario en el plano, d1 representará la distancia de P a F1 y d2 la distancia de P a F2. Haciendo el producto y diferencia de los cuadrados de las distancias d1 y d2 resulta
si la expresión (2a) está igualada al cuadrado de un valor fijo resulta la familia de Óvalos de Cassini. Considere la igualdad
donde a es una constante positiva con es la suma κ-deformada con 0 < κ < 1. El conjunto de puntos P que satisfacen la igualdad (3) forma una figura plana que se llamará elipse κ-deformada con eje mayor en el eje x. De acuerdo con la definición de suma κ-deformada (1), la igualdad (3) se escribe como , aplicando operaciones algebraicas como se ilustra a continuación
resulta la diferencia de los cuadrados , mediante manipulaciones algebraicas y usando la igualdad hallada en (2b) se tiene que . Con el propósito de encontrar una igualdad que dependa de las variables x y y, se reescribe la ecuación como
, se eleva al cuadrado y opera según el álgebra, (considere la igualdad (2a)) para tener
Sea b 2 = a 2 − c 2 por lo que b > 0, entonces la expresión (4) se escribe como
dividiendo por a2b2 ƒ= 0 se halla la ecuación canónica de la elipse κ- deformada
Esta elipse κ-deformada presenta simetría respecto de los ejes coordenados y del origen. Si el eje mayor está sobre el eje y, la ecuación canónica tiene la forma
Las ecuaciones canónicas de la elipse κ-deformada centrada en el origen (6) y (7) se pueden escribir como donde para el eje mayor en x, para eje mayor en y, en los dos caso Bκ pueden ser negativo para valores adecuados de κ, es positivo siempre y puede tomar cualquier signo. Las traslaciones se hallan por medio de las transformaciones x = x′ − h y y = y′ − k siendo (h, k) el centro de esta cónica. En el caso en κ → 0 la ecuación (6) equivale a que es la ecuación canónica de la elipse con la suma usual. Se despeja ahora la variable y en términos de x en la igualdad (5) vista como
una ecuación de cuarto grado en la variable y de la forma
la cual es una ecuación de segundo grado en la variable y2 con discriminante , y tiene por solución
se omite el signo menos puesto que y2 debe ser no-negativo. Formas alternativas de escribir la igualdad (9) son
El lado recto ρ de la elipse κ-deformada se halla cuando se sustituye x = ±c en la ecuación (10), en tal caso se llega a la igualdad
si κ → 0 el lado recto de la elipse κ-deformada tiende a que es el lado recto de la elipse usual (ver Tabla 1). Los vértices de esta cónica κ-deformada son los interceptos con los ejes, valores que determinan el dominio y el rango de esta relación. Si x = 0 en la ecuación (9) los interceptos con el eje y son
Para los cortes con el eje x se soluciona la ecuación de segundo grado que se obtiene de hacer y = 0 en (8); dicha ecuación tiene por solución
La elipse κ-deformada tiene tiene cuatro puntos de corte con el eje x si , la solución respecto de κ de la inecuación es
Luego, la elipse κ-deformada tiene cuatro puntos de corte con el eje x si y ninguno en y; tres puntos de corte si (incluyendo el origen) y uno respecto del eje y; finalmente, dos puntos de corte cuando y otros dos en el eje y. Con los vértices respecto del eje x hallados en (14) y la distance focal c se definen
que se llamarán excentricidad 1 y 2 respectivamente. Una forma alternativa de escribir estas igualdades es
con estos resultados se tiene que tiende a a medida que κ → 0; mientras que tiene una asíntota vertical para . En el gráfico 2 se representan ambas excentricidades.
Para obtener los valores máximos y mínimos de la elipse κ-deformada se deriva implícitamente la igualdad (5) para tener.
Por medio de la igualdad (11) se reescribe la primera derivada de la elipse κ-deformada como , donde, si , entonces que es la derivada de la elipse de forma usual. Los números críticos son
En el caso que κ → 0 solo x = 0 es un número crítico, ya que no existe en los reales ya que c < a, luego debe existe un valor de κ ƒ= 0 para el cual la elipse κ-deformada solo tiene a x = 0 como número crítico, este valor se encuentra al resolver para κ la inecuación , cuya solución es
Se concluye así que la elipse κ-deformada tiene tres números críticos si κ-satisface la desigualdad (20) y tiene un solo extremo si ocurre lo contrario.
En la Figura 3 se representan cuatro elipses κ-deformadas, para cada una se eligió a = 3, b = 2 y por tanto , las elipses a graficar corresponden a los valores κ = 0,5, κ = 0,4, κ = 0,3 y κ = 0,1; el valor de κ = 0,4 se elige ya que es el término que satisface la desigualdad (15). Las líneas en rojo representan el lado recto que se determinan por medio de la igualdad (12), las líneas en azul son lo valores máximo y mínimos, donde el valor de x se calculó con la igualdad (19), en el caso κ = 0,1 solo x = 0 es un número crítico de acuerdo con la expresión (20). A medida que κ → 0 se recupera la forma de la elipse con la suma usual, los vértices con el eje x tienden a ±3 y con el eje y se aproximan a ±2. Estas representaciones gráficas son análogas a la familia de Óvalos de Cassini, sólo que la gráfica cuando κ = 0,4 no es una Lemniscata.
3.1 Área de la elipse κ-deformada
El propósito ahora es encontrar el área que encierra la elipse κ-deformada, para ello es necesario parametrizar, sea x = r cos θ y y = r sin θ, sustituyendo estos valores en la ecuación (5) se escribe como
siendo A = b2 − 2a2c2κ2 = Bκ y B = a2 + 2a2c2κ2 = Cκ, la ecuación tiene por solución
donde C = B − A. El área que encierra la elipse κ-deformada se analiza en dos casos, el primero cuando y el segundo para , los cuales se estudian de acuerdo con el valor obtenido en (15) que determinan las representaciones gráficas en (3). Para la primera condición la ecuación (22) se escribe como donde A, B y C toman la forma y para este valor de κ. Por simetría, el área es siendo θf el ángulo determinado en el primer cuadrante por la tangente en el polo (r = 0) y equivale a .. Con los resultados hallados el área se escribe como
Ya que sin entonces por identidades trigonométricas se tiene . La identidad del ángulo doble permite reescribir la ecuación (23) como , que al sustituir los valores de A, B y C en función de a, b y c, se concluye que el área encerrada por la elipse κ-deformada para el caso en que es
Se considera ahora el caso en que . En la ecuación (22) se hace M = 4a4κ2(κ2c4 − b2) y la integral que describe el área está definida para θ entre 0 y como
La integral del primer sumando en (25) tiene por solución , para el segundo sumando es necesario hacer uso de series para tener el resultado
se concluye que el área de la elipse κ-deformada es
4 Circunferencia κ-deformada
Si en la ecuación (5) se hace el resultado es una circunferencia κ-deformada centrada en (0, 0) y de radio ; como a = b entonces c = 0 y por tanto
con la sustitución
que equivale a un paraboloide circular en el sentido usual, la igualdad (28) se escribe como cuya solución es . En (29) resulta la ecuación de una circunferencia κ-deformada de radio que se escribe como
En (30) se tiene un conjuntode circunferencias concéntricas decrecientes, donde, a medida que que es el valor esperado, ya que la ecuación (30) se escribe como entonces el radio de esta circunferencia tiende a y la ecuación de esta circunferencia es de la forma . En el gráfico 4 se hace r = 3 y se dibujan circunferencias κ-deformadas para κ = 0,9, κ = 0,5, κ = 0,3 y κ = 0,1, las líneas discontinuas plantean los límites para κ en cero y uno.
5 Parábola κ-deformada
El concepto usual de parábola implica que la distancia de un punto P (x, y) a un punto fijo F (p, 0) llamado foco y a una recta fija L con ecuación cartesiana x = −p llamada directriz son iguales (asumiendo que el vértice está en el origen), es por ello que d(P, F ) = d(P, L) de forma equivalente d(P, F ) − d(P, L) = 0. De acuerdo con este concepto se considera que la parábola κ-deformada es el conjunto de puntos P (x, y) que satisfacen la igualdad
para 0 < κ < 1. Por la definición de diferencia κ-deformada se tiene que d 2(P, F ) .1 + κ 2 d 2(P, L). = d 2(P, L) .1 + κ2d2(P, F )., cancelando términos comunes resulta la igualdad d(P, F ) = d(P, L), es decir, la parabola κ-deformada coincide con la parábola usual ya que no depende de κ.
6 Hipérbola κ-deformada
En la misma vía que se definió la elipse κ-deformada, se define la hipérbola κ-deformada como el conjunto de puntos P (x, y) tales que
donde c es la distancia focal, a > 0, c > a y 0 < κ < 1; en este caso se asume que la hipérbola tiene por eje transverso a x. Por medio de la definición de la diferencia κ-deformada, la igualdad (32) es equivalente a ; la cual es posible reducir a la expresión.; definiendo a b2 como c2 − a2 y dividiendo luego por a2b2 ƒ= 0 se obtiene la expression
que corresponde a la ecuación canónica de la hipérbola κ-deformada centrada en (0,0). En caso que el eje transverso esté sobre el eje y, la ecuación es de la forma
Si κ → 0 en (33) resulta la igualdad que es la ecuación canónica de la hipérbola con la diferencia usual. La ecuación canónica de la hipérbola κ-deformada es equivalente a la ecuación de cuarto grado
cuyo discriminante está dado por , este valor es equivalente al discriminante para la elipse κ-deformada y la solución de la ecuación (35) es
que coincide con la ecuación para la elipse κ-deformada (9), se diferencian las dos soluciones en el valor de la distancia focal c, c2 = a2 − b2 para la elipse κ-deformada y c2 = a2 + b2 para la hipérbola κ-deformada; es por ello que la ecuación para el lado recto es la misma en ambas cónicas κ-deformadas (ver (12)). Para hallar los interceptos con el eje y, se hace x = 0 en la ecuación (36) para tener la ecuación ya que entonces la hipérbola no corta al eje y (eje conjugado). Para los cortes con el eje x resulta la ecuación que tiene por solución
independiente del valor de , la hipérbola tendrá cuatro interceptos con el eje x, esto es cierto debido que es una desigualdad cierta para todo a, b, c y κ. Además, se sigue que la hipérbola κ-deformada siempre será cerrada y que al tener cuatro puntos de corte, como las ecuaciones de la elipse e hipérbola κ-deformada coinciden entonces el área encerrada por ésta última también será la expresión encontrada en (26), donde la diferencia de los resultado radica en el valor de la distancia focal c. Estos cuatro puntos de corte respecto al eje x se pueden hallar de forma alternativa como
donde, si κ → 0 se obtiene que x2 → a2 y x2 → ∞, es por esto que la hipérbola usual tiene dos puntos de corte (±a, 0). A partir de estos interceptos con el eje x se define las funciones y en términos de κ como y dichas funciones se llamarán excentricidad para la hipérbola κ-deformada. De acuerdo con la representación gráfica (ver gráfico 5) se puede concluir que se acerca al término (excentricidad de la hipérbola usual) siempre que κ → 0; mientras que se acerca a cero para este valor del parámetro.
Por medio de derivada implícita aplicada a la igualdad (35) es posible encontrar y′ como
se iguala a cero esta derivada, donde x = 0 es un número crítico que no se tiene en cuenta ya que la hipérbola κ-deformada no pasa por el origen (ver (38)) Otros posibles números críticos se logran al solucionar la ecuación que se puede escribir equivalentemente como y así los extremos relativos de la hipérbola κ-deformada resultan para los valores Resolviendo la inecuación se llega a la desigualdad que siempre es cierta para cualquier valor de κ; por tal motivo, la hipérbola κ-deformada siempre tendrá dos valores máximos y dos valores mínimos. Las asíntotas de esta cónica κ-deformada resultan de resolver la ecuacoin cuya solución es
si κ → 0 en (40) se obtiene las rectas que son las asíntotas de la hipérbola con la diferencia usual. Hallando los interceptos con los ejes de estas asíntotas se encuentra que no cortan al eje y y los puntos de corte con x son de la forma
Para las hipérbola de los gráficos (6) y (7) se eligió a = 2, b = 3 logrando , los valores de κ seleccionados en ese orden son κ = 0,5 y κ = 0,1. En ambos gráficos se puede identificar el rectángulo de inspección (en la hipérbola usual, las asíntotas pasan por los vértices opuestos de este rectángulo), así como las asíntotas que son las curvas punteadas que aparecen en la parte exterior, donde, a medida que κ → 0 se acercan al centro de esta cónica deformada; independiente del valor de κ seleccionado las hipérbolas κ-deformadas tienen dos máximos y dos mínimos y las curvas son cerradas, lo mismo que las asíntotas.
7 Problemas abiertos
Un problema a considerar es el estudio de las secciones cónicas por medio de la entropía relativa de Tsallis (q-deformación) para la cual se define la suma como (ver 13),(14),(15),(16)). Es necesario ahondar en el estudio de la longitud de arco para la elipse y la hipérbolas deformadas de acuerdo al índice κ por medio de integrales elípticas. Así mismo se pretende hacer el estudio de las propiedades ópticas para rayos que son tangentes a estas cónicas. Ya que las secciones cónicas han servido de modelos para el movimiento planetario, se pretende indagar sobre planetas (en sistemas binarios) o cometas (trayectorias hiperbólicas) que puedan tener trayectorias análogas a las representaciones encontradas en los gráficos 3, 6 y 7.
8 Conclusiones
Conceptos clásicos como circunferencia, parábola, elipse e hipérbola son generalizados al sustituir la suma o diferencia usuales por la suma o diferencia deformada en el sentido de Kaniadakis, la parábola permaneció invariante a esta transformación. Para la elipse κ-deformada se hallan tres casos posibles respecto del número de interceptos dependiendo del término , se presenta la posibilidad de tres extremos (respecto del eje x) relativos o solo uno de acuerdo a la comparación de . La hipérbola κ-deformada siempre tiene cuatro interceptos con el eje x y ninguno con el eje y, las asíntotas adoptan una forma similar a la de la hipérbola salvo que se acercan al origen a medida que κ → 0, a diferencia de la hipérbola usual es una figura cerrada y las asíntotas no son rectas. La circunferencia κ-deformada son trazas del paraboloide circular para z entre y r. Las áreas de la elipse e hipérbola κ-deformada se hallan con la misma expresión (27) la diferencia en los resultados radica en el valor de c.