Introduction
La convergencia estadística, si bien se introdujo hace casi cincuenta años como una generalización de la convergencia habitual, la cual fue inicialmente introducida bajo el nombre de casi-convergencia en la publicación principal de la conocida monografía de (Zygmund, 1935). Sin embargo, en un caso general, ni los límites ni los limites estadísticos pueden calcularse o medirse con absoluta precisión. Para reflejar esta imprecisión y modelarla mediante estructuras matemáticas, se han desarrollado varios enfoques en matemáticos tales como la teoría de conjuntos difusos y la lógica difusa. Adicionalmente, esta convergencia fue estudiada por (Fast, 1951), después (Salát, 1980) y (Schoenberg, 1959) establecieron algunas de sus propiedades. En adición, en 1985 una nueva noción relacionada con este concepto fue presentada por (Fridy, 1985), esta noción es conocida como sucesión estadística de Cauchy; además, mostró que ambos conceptos son equivalentes. En la última década, la convergencia estadística se ha convertido en un área de investigación activa en donde diferentes matemáticos han estudiado las propiedades de la convergencia estadística y han aplicado este concepto en diversas áreas como en la teoría de la medida, series trigonométricas, teoría de la aproximación, espacios localmente convexos, espacios de Banach y entre otros. (Ilkhan & Kara, 2018) introdujeron otras variantes de sucesiones estadística de Cauchy en la que presentaron su relación con la completitud de Bourbaki. Los autores (Sahiner, Gurdal, & Duden, 2007) definieron y estudiaron las nociones mencionadas anteriormente en triple sucesiones, mientras que la convergencia común para sucesiones triples viene dada por (Pringsheim, 1900). (Balcerzak, Dems, & Komisarski, 2007) examinaron diferentes tipos de convergencia estadística y convergencia sobre espacios de ideales para sucesiones únicas de funciones con valores en un espacio métrico o en el conjunto R (el conjunto de números reales), es decir, puntuales, uniformes y equiestadísticos (o, ideal) convergencia. (Esi & Necdet, 2014) discutieron sobre algunos conceptos de convergencia estadística puntual y uniforme de triple sucesiones de funciones en R. Recientemente, utilizando la noción de triple sucesiones y convergencia estadística, (Granados, 2021) definió la noción de sucesiones localizadas y sucesiones localizadas de Cauchy teniendo en cuenta la noción de ideal (Kostyrko, Salat, & Wilczynski, 2000/2001). Además, (Das, Tripathy, Debnath, & Bhattacharya, 2021) definieron la noción de secuencia triple incierta compleja, en la cual estudian la convergencia estadística de sucesiones complejas sobre espacios de medidas finitas.
El término “conjuntos difusos” fue planteado por el matemático (Zadeh, 1965). Utilizó los conceptos de intersección, inclusión, relación, unión, complemento, convexidad, y así sucesivamente, para establecer la noción de conjuntos difusos. La noción de un conjunto difuso proporciona una conveniente punto de partida para la construcción de un marco conceptual paralelo en muchos aspectos al marco utilizado en el caso de conjuntos ordinarios, pero es más general que el último y, potencialmente, puede llegar a tener un alcance mucho más amplio de aplicabilidad, particularmente en los campos de clasificación e información de patrones. Esencialmente, dicho marco proporciona una forma natural de abordar problemas en los que la fuente de imprecisión es la ausencia de criterios de pertenencia a una clase en lugar de la presencia de variables aleatorias. A partir de lo mencionado anteriormente, los conjuntos difusos y la lógica difusa conectaron de manera efectiva a los científicos de las diferentes áreas del saber, por ejemplo, la ingeniería de control y la teoría de la decisión, y además los investigadores en inteligencia artificial. La utilidad y la importancia de los límites de sucesiones de conjuntos difusos, los límites (continuidad) y las derivadas de funciones de valores difusos se han aplicado en muchas áreas, por ejemplo, análisis variacional, optimización por conjuntos difusos, teoría de la estabilidad, análisis de sensibilidad, entre otros. Durante los últimos 50 años, numerosas sucesiones de números difusos y sus propiedades de convergencia han sido estudiadas y han sido bien acogidas por la comunidad científica. (Nuray & Savas, 1995) discutieron sobre la convergencia estadística en la configuración de sucesiones (simples) de números difusos, y recientemente, esta noción a través de operadores de diferencia junto con la media ponderada ha sido definida y estudiada por (Mohiuddine, Asiri, & Hazarika, 2019). El autor (Savas, 1996) presentó la idea del límite de Pringsheim de sucesiones de números difusos, y luego, en 2004, (Savas & Mursaleen, 2004) presentaron la generalización del límite de Pringsheim en sentido estadístico. La convergencia estadística ha sido estudiada en diferentes areas del saber matemático, espacios normativos difusos intuicionistas (Mursaleen & Mohiuddine, 2009), espacios Riesz localmente sólidos (Mohiuddine, Alotaibi, & Mursaleen, 2012) y entre otros. Para estudios realizados sobre números difusos, los teoremas de Tauberian con vistas a Cesáro y la sumabilidad estadísstica de Cesáro fueron obtenidos por (Canak, Totur, & O¨ nder, 2017), (O¨ nder, C¸ anak, & Totur, 2017) y para la convergencia estadística de (Talo & Bayazit, 2017). (Gong, Zhang, & Zhu, 2015) discutieron sobre la convergencia estadística y otras nociones asociadas para sucesiones únicas de funciones con valores difusos y también obtuvieron algunas sus propiedades básicas. Recientemente, (Hazarika, Alotaibi, & Mohiuddine, 2020) estudiaron la convergencia estadística en medida sobre doble sucesiones para funciones con valores difusos y obtuvieron algunas propiedades importantes las cuales serán de gran utilidad para el desarrollo de este artículo.
Nociones preliminares
En esta sección mostramos algunas nociones que son de gran utilidad para el desarrollo de este artículo.
Para cualquier conjunto A diferente de vacío, (Zadeh, 1965) definió la noción de un conjunto difuso como: Un subconjunto no vacío de A se dice que es un conjunto difuso si
es semi-continua por arriba, es decir, para cada
A través de este artículo, denotaremos el conjunto de todos los números difusos por F(
Para 0 < α ≤ 1, α-cortado de 𝑦 es un intervalo cerrado y acotado de ℝ que esta dado por
donde D : F(
Lema 0.1 (Negoita & Ralescu, 1975). Sea
Una sucesión triple x = (x
uvq
) tiene un Pringsheim límite L (abreviado, P-limx = L, o, L es el P-límite de x) (Pringsheim, 1900) si para cada ε > 0 existe un N
donde |.| representa la cardinalidad del conjunto enmarcado. Recordemos que, δ
klp
es un operador de medida de probabilidad sobre P1 = P (
en el sentido de Pringsheim, es decir,
existe, es llamada la triple natural densidad de A. Analogamente, esta noción puede ser definida de la siguiente manera: Sea K
si el límite existe. Además,
Ahora, vamos a recordar algunos conceptos definidos por (Kumar, Kumar, & Bhatia, 2012).
Una sucesión triple de conjuntos difusos (
De 1, podemos observar que
Resultados
Esta sección está dividida en dos partes, la primera, se discutirá sobre el Teorema de Egorov par sucesiones triples de funciones con valores difusos, y la segunda, se mostrarán los resultados obtenidos sobre convergencia estadística en medida de sucesiones triples de funciones con valores difusos.
La generalización del teorema de Egorov, un famosos y clásico resultado de la teoría de la medida, se ha presentado por varios autores en diferentes maneras. En esta sección, probamos el teorema de Egorov para sucesiones triples de funciones con valores difusos en un espacio de medida finita. Durante el desarrollo de esta sección, asumiremos que
Definición 0.1 Sea
Definición 0.2 Sea
Definición 0.3 Sea
Observación 0.1 Podemos observar que
El siguiente teorema, es una versión estadística del teorema de Erogov para sucesiones triples de funciones con valores difusos.
Teorema 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita, y consideremos que
Demostración: Supongamos que las funciones con valores difusos
es medible. Entonces, la función
Dado que
es medible, tenemos que
En consecuencia,
Para todo m, n, j
Entonces, tenemos que
Ahora, sea
Así,
Corolario 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita, y consideremos que
Demostración: Supongamos que
Ahora, supongamos que
Teniendo en cuenta el Teorema 0.1 y el Corolario 0.1, se mostró que la clásica versión estadística del teorema de Ergovod se puede extender a sucesiones triples de funciones con valores difusos en un espacio de medida finita (Ω, M, µ). Estos resultados también fueron estudiados para sucesiones dobles por (Hazarika et al., 2020).
A continuación, procedemos a definir, estudiar y extender las nociones de convergencia estadística externa e interna en la medida para sucesiones triples de funciones con valores difusos. Además, se demuestra que estas dos nociones son equivalentes. Para conocer más detalles sobre la mensurabilidad de integrales de funciones con valores difusos, ver ((Kim & Ghil, 1997) y (Zhang, 2001)).
Definición 0.4 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida. Supongamos que L0 es el conjunto de todas las las funciones medibles con valor difuso definidas en casi todas partes en Ω. Consideremos que
para cualquier q, τ, η > 0. Esto lo denotaremos como
Esto lo denotaremos como
Teorema 0.2 Sea (ω, M, µ) un espacio de medida y supongamos que
Demostración: Dado que
Para probar (1), debemos probar que
para η > 0 y ε > 0. Dado que
Ahora, consideremos que E = {(u, v, q)
Ahora, sea
Para obtener la relación de (3), es suficiente si probamos que para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0,
Para el conjunto
donde
Asumiendo k0, l0 y p0 tal que k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, tenemos que
y esto muestra que la estricta desigualdad (6) es verdadera.
2. Supongamos que
Dado que
Aplicando el teorema de Fubini para la función caracteristica de
Ahora, asumiendo k0, l0, p0
Esto completa la demostración.
El Teorema 0.2 muestra que las convergencias de la Definición 0.4 son equivalentes si Ω es un espacio de medida finito. Por lo tanto, considerando el espacio de medida finito Ω, definimos la convergencia en medida como lo muestra la Definición 0.5.
Definición 0.5 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita. Consideremos que
Definición 0.6 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita. Consideremos que
Proposición 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita y consideremos que
Demostración: Es consecuencia directa de las definciones 0.2 y 0.6.
Teorema 0.3 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida y sea
Demostración: Supongamos que
Supongamos que para todo ε > 0 y q > 0. Por el Teorema 0.1 tenemos que A ⊂ M tal que
Teorema 0.4 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finito y consideremos que
Demostración: Para q, ε > 0 dados y por el Teorema 0.1, existe un A ⊂ Ω tal que
Corolario 0.2 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finito y consideremos que
Demostración: Supongamos que
Conclusión
En este artículo, probamos la versión estadística del teorema de Egorov para secuencias triples de funciones con valores difusos definidas en un espacio de medida finita (Ω, M, µ). Además, definimos las nociones de convergencia estadística externa e interna para sucesiones triples de funciones medibles con valores difusos y se demostró que estos dos tipos de convergencia estadística son equivalentes si la medida es finita. Por otra parte, introdujimos una nueva noción de convergencia estadística en medida para secesiones triples de funciones medibles con valores difusos sobre espacios de medida finita y obtuvimos algunos resultados interesantes.
Por otro lado, como continuación del presente artículo, se puede definir la noción de convergencia uniformemente estadística en medida y estudiar algunas relaciones entre las nociones introducidas en este documento. Adicionalmente, se puede extender el estudio de las convergencias definidas y estudiadas en este artículo sobre la convergencia lacunary estadística (Fridy & Orhan, 1993), espacios de ideales teniendo en cuenta los estudios realizados sobre convergencia de ideales para sucesiones triples (ver (Kostyrko et al., 2000/2001); (Sahiner & Tripathy, 2008)), espacios normados neutrosóficos (Granados & Dhital, 2021), sucesiones inciertas complejas (Das et al., 2021) y como aplicación para los investigadores que estudian la teoría de aproximación y la teoría de sumabilidad estadística, pueden aplicar teoremas de aproximación de tipo de Korovkin para funciones de tres variables utilizando los métodos de convergencia definidos en este artículo.