Razonamiento covariacional en el estudio de funciones cuadráticas

Covariational reasoning in the quadratic function learning

Jhony Alexander Villa-Ochoa^*

^* CIEP-ASDEM Grupo de investigación en Educación. Matemática e Historia-Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia. javo@une.net.co.

Artículo recibido: 01-08-2010. aprobado: 04-05-2012

Resumen:

Palabras clave: Función cuadrática, proceso de razonamiento, razonamiento covariacional, razón de cambio.

Abstract:

This article discusses the results of a case study that describes a student´s covariatonal reasoning to deal with situations of variation associated with quadratic functions. The study was designed to develop a convergent line of inquiry (Yin, 2009) and was focused on the descriptions and actions performed by the student when facing one of the situations of variation. This experience helped the researchers describe the student´s reasoning and discover some implications for both the conceptual framework addressed in this study and the design of the classroom-oriented situations.

Keywords: Quadratic function, process of reasoning, covariational reasoning, reason for change.

Introducción

En los últimos años, parte de la literatura en educación matemática resalta la importancia que tiene el reconocimiento de aspectos dinámicos de algunos conceptos matemáticos (Tall, 2009) y el estudio de procesos de variación; de manera particular se llama la atención sobre el valor de la percepción, la identificación y la caracterización de la variación en diferentes contextos para el desarrollo del pensamiento matemático (Cantoral y Farfán, 1998; MEN, 2006; Posada y Villa-Ochoa, 2006; Cantoral, 2004; Dolores, 1999, 2007; Camargo y Guzmán, 2005; Zandieh, 2000; Tall, 2009).

El estudio de la variación representa una vía para atender algunas de las dificultades que los estudiantes presentan en el establecimiento de conexiones entre aquellos conceptos de fuertes componentes dinámicos, sus representaciones gráficas y el movimiento real de los objetos en sus contextos. Algunas de estas dificultades parecen estar asociadas al especial énfasis que se presta en las aulas escolares, a los desarrollos procedimentales basados en manipulaciones algebraicas, descuidando en ocasiones sus aspectos conceptuales y las conexiones con otras áreas del conocimiento. En este sentido, Doorman y Gravemeijer (2009) afirman que muchas de las dificultades de los estudiantes, particularmente en los cursos de cálculo, devienen de su poca familiarización con la construcción de modelos, sus propósitos, convenciones, representaciones y sus significados en términos de las situaciones que se representan y el tipo de problemas que pueden resolverse.

Por otro lado, Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2003) afirman que los estudiantes ingresan a la universidad con una comprensión deficiente sobre las funciones y que incluso estudiantes académicamente talentosos, tienen dificultad para modelar relaciones funcionales de situaciones que involucran la razón de cambio de una variable cuando varía continuamente en una relación dependiente con otra variable. En su trabajo, Carlson et al. (2003, p. 123) retoman las investigaciones de Kaput (1994), Rasmussen (2000), Zandieh (2000), entre otras, para llamar principalmente la atención sobre la importancia de modelación de relaciones funcionales para la interpretación de modelos de eventos dinámicos y para la comprensión de los conceptos principales del cálculo. Como resultado de su investigación, Carlson y sus colegas proponen un marco conceptual para el estudio del razonamiento covariacional, el cual incorpora cinco acciones mentales y cinco niveles, los cuales se describirán más adelante.

Este artículo retoma el marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003) para indagar, mediante un estudio de caso, por la forma como un estudiante razona cuando aborda situaciones de variación asociadas a funciones cuadráticas. Este estudio de caso hace parte de una investigación más amplia titulada "El concepto de función en las matemáticas escolares", financiada por el Centro de Investigaciones Educativas y Pedagógicas de la Asociación de Profesores del Municipio de Medellín (ASDEM) y desarrollada en cooperación con la Universidad de Antioquia.

Antecedentes del estudio

En Posada y Villa-Ochoa (2006) se reporta una investigación que se fundamentó en la importancia de una aproximación variacional a la función lineal. En su trabajo, estos autores llaman la atención sobre la necesidad de que converjan elementos asociados a los sistemas de representación y la modelación matemática, cuando se piensa en una didáctica del concepto de función lineal a partir del estudio de la variación. Estos autores cuestionan el excesivo énfasis que se hace en la definición algebraica de la función lineal en la introducción de tal concepto, ratificando que esta manera de introducirlo no siempre permite develar ni interpretar factores asociados a la variación. Posada y Villa-Ochoa proponen que el estudio de la función lineal debe comenzar a través del estudio de situaciones que involucren la razón de cambio constante entre dos cantidades de magnitud, de tal manera que la función lineal pueda aparecer como "la relación entre dos cantidades de magnitud cuya razón de cambio es constante" (Posada y Villa-Ochoa, 2006, p. 96).

El estudio de la variación en las aulas escolares también ha sido propuesto, en algunos de los documentos emanados del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN, 1998, 2006), como una manera de aproximarse al desarrollo del pensamiento variacional. Refiriéndose a este pensamiento, el Ministerio afirma que:

[El pensamiento variacional]tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.

Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. (MEN, 2006, p. 66)

De lo anterior puede interpretarse que uno de los propósitos de la matemática en la Educación Básica no es únicamente el manejo de variados sistemas matemáticos conceptuales y simbólicos, sino también el desarrollo de un pensamiento variacional. Este, como su nombre lo indica, pone su acento en el estudio sistemático de la noción de variación en diferentes escenarios de otras ciencias, de la vida cotidiana y de la misma matemática. En particular, la variación implica la covariación y correlación de magnitudes cuantificadas numéricamente.

Con base en los resultados de la investigación de Posada y Villa-Ochoa, y teniendo los elementos declarados por el MEN (2006) sobre la importancia de incorporar el estudio de la variación en las aulas escolares, se propuso la realización de una investigación que diera cuenta de una manera en que se pudiese abordar el concepto de función desde una perspectiva variacional, investigación de la cual este artículo se deriva.

Elementos teóricos

El marco conceptual usado para describir el razonamiento covariacional en este estudio de caso fue el propuesto por Carlson et al. (2003). En dicho marco, los autores interpretan al razonamiento covariacional como "las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto a la otra"(p. 124). Con base en esta descripción, Carlson y sus colaboradores proponen un marco conceptual que involucra un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles, con los cuales se describe la manera en la cual los estudiantes razonan cuando se enfrentan a eventos dinámicos.

El marco conceptual en mención considera las imágenes de covariación como evolutivas, en los términos de Piaget, y que por tanto son susceptibles de describirse mediante niveles que emergen en sucesión ordenada. Según Carlson et al. (2003), el concepto de imagen que usan en su marco es coherente con la descripción proporcionada por Thompson (1994b) como "dinámica que se origina en acciones corporales y movimientos de la atención, y como la fuente y el vehículo de las operaciones mentales" (p. 124). Así mismo, el marco conceptual acoge las expresiones procesos de pensamiento pseudoanalíticos y comportamientos pseudoanalíticos los cuales, según Carlson y sus colaboradores, fueron introducidas por Vinner (1997) y se asocian en su orden con "procesos de pensamiento y comportamientos que ocurren sin comprensión y los comportamientos pseudoanalíticos son producidos por procesos de pensamiento pseudoanalíticos" (Carlson et al., 2003, p. 125).

Las acciones mentales que componen el marco conceptual se muestran en la Tabla 1.

Con base en estas acciones mentales, Carlson y sus colegas clasifican a los estudiantes en niveles (ver Tabla 2), de acuerdo con la imagen global que parece sustentar a las varias acciones mentales que esa persona exhibe en el contexto de un problema o tarea.

El estudio

Como se mencionó anteriormente, el estudio que se reporta en este artículo hace parte de una investigación más amplia, en la cual se abordó el estudio del concepto de función en las matemáticas escolares; particularmente se resaltan aspectos relativos a la importancia de un enfoque variacional del concepto de función cuadrática. El enfoque de la variación para este concepto se ha justificado en la investigación, tanto desde argumentos históricos y epistemológicos como del orden de lo didáctico, tal y como se reporta en Mesa y Villa-Ochoa (2008, 2009) y Villa-Ochoa (2008).

El diseño

Dado que este estudio puso especial atención a las formas como el estudiante razona, reconociendo los elementos asociados a la variación en la solución de un problema, se adoptó como método de investigación el estudio de caso, el cual se asume como el "método empleado para estudiar a un individuo o una institución [en este caso un fenómeno educativo] en un entorno o situación única y de una forma lo más intensa o detallada posible" (Salkind, 1999, p. 211). Por su parte, Yin (2009) establece que un estudio de caso es una indagación empírica que investiga un fenómeno contemporáneo al interior de su contexto real de existencia, cuando los límites entre el fenómeno y el contexto no son claramente evidentes. De igual manera, Hernández et al. (2006) se apoyan en los trabajos de Mertens (2005) para afirmar que "[un estudio de caso] constituye un método para aprender respecto a una instancia compleja, basado en un entendimiento comprehensivo de esta instancia como un "todo" y su contexto, mediante datos e información obtenidos por descripciones y análisis extensivos" (p. 223).

Para este estudio se diseñó una secuencia de actividades que fue ideada para desarrollar una línea convergente de indagación, lo cual implicó que en cada una de las situaciones abordadas por el estudiante se hicieran preguntas en torno al qué, cómo, cuánto cambian las cantidades y los cambios mismos que intervienen en las situaciones. Dicha indagación convergente se basó en un proceso de continua triangulación de las fuentes de información (Yin, 2009). La información se construyó a partir del diálogo presentado con el estudiante a medida que se involucraba en el desarrollo de las actividades. Dicho diálogo fue registrado en audio para posteriormente ser transcrito y analizado a la luz de los referentes teóricos usados. De igual manera, también se usaron las producciones escritas del estudiante, las cuales se convirtieron en evidencia para interpretar la manera como el estudiante razonaba.

El desarrollo de este artículo se fundamenta en el caso de Santiago, un estudiante de último grado de bachillerato (15-17 años) que había sido reportado por sus profesores de matemáticas como un estudiante inquieto y que mostraba agrado por el área. Santiago fue seleccionado de un grupo de 19 estudiantes que venían cursando una asignatura de precálculo, donde se aborda el concepto de función y se prepara el trabajo para iniciar posteriormente un curso de cálculo diferencial. Aunque Santiago había evidenciado durante las clases pocas habilidades para el tratamiento algorítmico, sí mostraba un buen compromiso en actividades que implicaran determinados razonamientos; adicionalmente, este estudiante había demostrado habilidades comunicativas, lo cual jugó un papel determinante a la hora de identificar sus estilos de razonamiento.

Un instrumento

Una de las situaciones que Santiago abordó en este estudio se diseñó con el software Cabri II; consistía en describir y reconocer la variación del área de un rectángulo inscrito en un cuadrado a medida que se movía el punto A en la ilustración 1

La situación se diseñó para desarrollarse en tres momentos. El primero de ellos (variación cualitativa) tuvo como propósito el reconocimiento y descripción de la variación mediante un acercamiento de tipo cualitativo al contexto dinámico. Se pretendía que el estudiante abordara la pregunta ¿qué cambia?, de tal manera que reconociera cantidades como: longitud del lado del cuadrado, longitud del segmento PA, perímetro del rectángulo, área del rectángulo, área del cuadrado, área interior al cuadrado y exterior al rectángulo. Este momento fue también diseñado de tal modo que el estudiante pudiera establecer relaciones de dependencia entre las cantidades e hiciera una primera aproximación a la pregunta ¿cómo cambia?

El segundo momento (cuantificación de la variación) se diseñó para que el estudiante abordara con mayor profundidad las preguntas cómo y cuánto cambia. Promoviendo al estudiante hacia el uso de algunas de las herramientas del Cabri (transferencia de medidas, área, tabla, entre otras), se esperaba que el estudiante estableciera los valores que toman el segmento PA y el rectángulo inscrito, y a partir de allí conjeturara sobre algunas relaciones entre ellas.

El tercer momento (construcción de la representación gráfica) se diseñó de tal manera que el estudiante diera cuenta de la construcción de una gráfica del movimiento implicado en la situación. En la construcción, el estudiante podía usar herramientas del software como: rectas, transferencias de medidas, traza, entre otras. En la siguiente ilustración se muestra la construcción de la gráfica en donde el segmento OR es la medida de PA y el segmento RS representa el área. La gráfica se construye con la traza del punto S conforme se mueve el punto A del cuadrado.

Resultados

Los primeros niveles

Conforme al primer momento de la situación, Santiago asoció inicialmente los cambios en el "tamaño" del rectángulo inscrito con los cambios en la posición del punto A. Las verbalizaciones de Santiago dieron cuenta de que su primer acercamiento a la situación se dio de manera cualitativa, mediante el reconocimiento de ciertas características del cambio, por ejemplo, la correlación directa e inversa. En el siguiente diálogo se observa un ejemplo de este reconocimiento:

Se observa en el diálogo cómo Santiago coordina los cambios de una variable con los de otra. Según Carlson et al. 2003), este reconocimiento corresponde la primera acción mental de su marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza que a medida que el punto A avanza, el rectángulo se acerca a un cuadrado y luego de la mitad vuelve a ser un rectángulo como el inicial. Con estas descripciones Santiago ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre la pregunta ¿cómo cambia?

Centrando la atención en el rectángulo inscrito y con la posibilidad de experimentar reiteradamente, Santiago identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar que cuando la longitud del lado PA se anula o iguala al lado del cuadrado, el rectángulo se convierte en un segmento y por tanto su área se anula. Hasta este momento de la situación, el razonamiento de Santiago se basaba solo en las imágenes visuales proporcionadas por el software. De igual manera, en el diálogo presentado entre Santiago y el investigador no había evidencia de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Estos elementos permiten concluir que Santiago, en este momento de la discusión, puede ubicarse en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).

Cuantificación de la covariación

Cuando el investigador solicitó a Santiago una justificación que trascendiera la evidencia visual, para validar su conjetura sobre la forma de cuadrado que el rectángulo adquiere cuando el punto A está en la mitad del lado superior del cuadrado exterior, Santiago evidenció la necesidad de incorporar datos cuantitativos para algunas de las longitudes de los elementos en cuestión, de tal manera que le permitiera realizar cálculos para probar su conjetura.

Con un valor numérico particular del lado PA, Santiago intenta calcular uno de los lados del rectángulo inscrito; sin embargo, al no recordar el procedimiento del teorema de Pitágoras, Santiago preguntó si el software ofrecía el valor del área y posteriormente lo solicitó.

En el siguiente diálogo se pueden inferir algunas de las relaciones de covariación que Santiago comienza a establecer con ayudar de los recursos numéricos del software.

Con las observaciones que Santiago hizo del comportamiento numérico del área, ratificó que se encuentra en el nivel Nº2 del razonamiento.

En el siguiente fragmento de la discusión, Santiago intenta hacer un análisis de la variación mediante la división del lado del cuadrado exterior en cuatro segmentos iguales:

En este fragmento el estudiante hace una subdivisión del lado del cuadrado en intervalos cuya longitud es de ¼ de dicho lado. Por sugerencia del investigador, Santiago construye una tabla para registrar los valores calculados del movimiento del punto A cada ¼ del valor del lado, describe el valor del cambio en cada uno de los cuatro intervalos. Este tipo de comportamientos está en coherencia con el descriptor asociado a la acción mental 3 y por tanto se puede decir que Santiago evolucionó al nivel Nº3.

Seguidamente, el investigador le sugiere tomar intervalos iguales a la unidad, ante lo cual Santiago construye nuevamente una tabla. En la siguiente trascripción, Santiago evidencia en su razonamiento una aproximación al cuarto nivel de razonamiento (nivel de razón), mediante el análisis cuantitativo a través de una tabla.

Se observa en este diálogo cómo Santiago reconoce la razón de cambio promedio como la cantidad que relaciona el cambio en la variable área con los cambios discretos de la variable lado del segmento. Según Carlson et al. (2003) este tipo de elementos evidencia una acción mental 4, y por tanto, se aproxima al cuarto nivel de razonamiento.

La evocación de un nivel previo

En este momento, el investigador le solicita al estudiante una gráfica cartesiana que represente la relación de variación que se observa en la situación. Santiago construye la gráfica que se observa en la ilustración 3 (a). El investigador solicitó al estudiante una justificación del porqué de la gráfica, para lo cual Santiago adujo imágenes propias de la acción mental, es decir, al reconocimiento de relaciones directa e inversa entre las cantidades y a los valores extremos y medio del área: "Cuando el lado es cero el área es cero, cuando llega a 3.5 llega a su mayor área, cuando este [señalando el punto A] llega a siete centímetros el área es cero"."Porque mientras más se acerque el punto A a 3.5 cms., el área llega a su mayoría de área. Entre más se aleje, se acerca a cero".

Este comportamiento puede interpretarse como una "demanda" que Santiago hace de su razonamiento en el nivel Nº 2 en el momento de cambiar el contexto de la representación. Para Santiago las rectas parecen ser la forma más precisa de representar la correlación entre las dos cantidades que intervienen en la situación; de este modo, el estudiante parece omitir el razonamiento descrito por la acción mental 3 que había alcanzado por medio del análisis tabular descrito anteriormente.

El investigador cuestiona la construcción de Santiago y le solicita que justifique por qué considera que la gráfica es un par de rectas. En ese momento Santiago presenta un comportamiento pseudoanalítico, superponiendo un tramo de gráfica creciente cóncava hacia arriba a la gráfica de la ilustración 3 (a), sin presentar ningún comentario que diera a entender el tipo de razonamiento que le llevaba a ese resultado. Después de un momento de quedarse en silencio, Santiago presentó la gráfica de la ilustración 3 (b), presentándose el siguiente diálogo:

En este extracto del diálogo parece que Santiago reconociera algunos aspectos de la rapidez con la que cambia la variación y los hubiera asociado con la concavidad de la gráfica. Con el ánimo de profundizar en este hecho, el investigador solicitó a Santiago el uso de la herramienta tabla del software Cabri II y construirla con intervalos de 0.5 de longitud. Los resultados de esta fase del trabajo se describen en el siguiente apartado.

Hacia el cambio de la rapidez de la variación

De un modo general, una función representa la variación de dos cantidades de magnitud que intervienen en un fenómeno; así mismo, la derivada de dicha función da cuenta de velocidad o rapidez de la variación. En este mismo sentido, una interpretación variacional de la segunda derivada implica el reconocimiento del cambio de la rapidez de la variación, lo cual se asocia gráficamente con las concavidades de la función. En el razonamiento de Santiago parece haber evidencia de un acercamiento a un entendimiento de las concavidades de la gráfica mediante el estudio de la razón de cambio promedio. Lo cual puede observarse en el siguiente diálogo:

Se le solicitó a Santiago una construcción más detallada de la gráfica, es decir, teniendo en cuenta el trazo ortogonal de los ejes, escala en la ubicación de puntos, etc. El proceso de construcción que evidenció el estudiante consistió en la ubicación punto a punto de las coordenadas correspondientes a la primera mitad de la parábola. En algunas de sus verbalizaciones, Santiago hizo alusión a valores incrementales como forma de cuantificar el cambio, así: "Los siguientes 0.5 cms. aumentó 5.5 cms. [cuadrados] llegó a 12 cms. [cuadrados]". Después de ubicar los puntos y antes de trazar la curva suave, se confrontó al estudiante entre lo que estaba construyendo y la primera gráfica elaborada (ilustración 3 (a)). El razonamiento de Santiago se observa en el siguiente diálogo:

Este comentario permite confirmar el acercamiento de Santiago a la relación entre la rapidez del cambio de la función y la concavidad en la representación gráfica.

La otra mitad de la gráfica la construye aludiendo a la relación simétrica que el estudiante reconoció tanto en el movimiento del rectángulo inscrito como en la tabla.

La curva suave que trazó Santiago no implicó comprensión alguna de la razón de cambio instantánea, ni de la continuidad de las variables presentadas en la gráfica. Sin embargo, se observó que el estudiante trazaba las curvas suaves atendiendo a la costumbre de hacerlo ante un conjunto de puntos. Al cuestionarlo al respecto, el estudiante señaló una generalización a muchos más puntos que se pueden trazar en el intermedio. Al respecto Santiago dice: "Dependiendo de cómo cuadramos la longitud, pues cómo organizáramos la tablita, pues sería lo mismo, daría la misma línea, si lo acomodáramos en esta misma cosa [gráfica] siempre daría la misma línea [curva]".

Se observa entonces que existe una interpretación cualitativa de la concavidad de las gráficas asociada al cambio de la razón de cambio promedio. Este tipo de interpretación ofrece un significado a un posterior trabajo en un curso formal de cálculo.

Una interpretación de gráficas cartesianas desde la covariación

El trabajo desarrollado hasta este punto le permitió a Santiago establecer el criterio "si el cambio crece más rápido se traza así [cóncava hacia arriba]" y análogamente para el tramo cóncavo hacia abajo, y generalizarlo para explicar el comportamiento de fenómenos a través de sus gráficas. Este tipo de comportamientos puede observarse en las explicaciones que el estudiante ofrece a las gráficas presentadas en las ilustraciónes 5 (a) y (b). Las gráficas fueron presentadas al estudiante con el enunciado de la situación que se analiza en este artículo; es decir, el área de un rectángulo inscrito que varía de acuerdo con los cambios en la longitud PA en un lado. El estudiante debía describir el comportamiento de las cantidades de magnitud bajo el supuesto que las gráficas presentadas a continuación representaran la relación entre dichas cantidades.

En las verbalizaciones de Santiago se observa cómo logra identificar visualmente las concavidades tanto en tramos crecientes como decrecientes de las gráficas. Adicionalmente asocia el cambio de las concavidades con el cambio creciente a decreciente o recíprocamente de la razón de cambio. Este tipo de comportamientos se vinculan con la acción mental AM5; sin embargo, es claro que Santiago no ha alcanzado una comprensión de la razón de cambio instantánea, y por tanto no puede ubicarse en el nivel 5 (razón instantánea) tal y como lo sugiere el marco conceptual.

En este sentido, los comportamientos de Santiago permiten colegir que un abordaje de la razón de cambio promedio y los cambios de esta, permite la creación de una imagen de las concavidades de la gráfica asociadas al razonamiento covariacional, lo cual se encuentra en las bases para una posterior interpretación de la segunda derivada.

Discusión

Las preguntas por el qué y cómo varían marcaron el punto de partida de Santiago para una descripción cualitativa de la variación en la situación. Estas dos preguntas fueron trascendentales para la determinación de las AM1 y AM2, con lo que se pudo ubicar a Santiago en el N2 de razonamiento covariacional. En este estudio, no solo se identificaron las acciones mentales presentes en el razonamiento de un estudiante sino que, al investigador cuestionar, confrontar y solicitar justificaciones, actuó como mediador en la evolución de dicho razonamiento. En este sentido, el marco conceptual de Carlson y sus colegas, más allá de concebirse como un instrumento para rotular los niveles de razonamiento del estudiante, se convirtió en una herramienta que permitió describir la evolución de razonamiento covariacional de Santiago.

El razonamiento covariacional entendido como un proceso que evoluciona a través de los diferentes niveles propuestos en el marco conceptual abordado en este estudio, no es un proceso lineal y, contrario a ello, es un fenómeno recursivo. En este estudio, Santiago evidenció comportamientos en los que se remitía a acciones mentales pertenecientes a niveles precedentes. Sin embargo, este hecho, en lugar de interpretarse como un retroceso en el nivel de razonamiento, parece ser una actividad con la cual el estudiante re-visa y fortalece su entendimiento de la variación para continuar avanzando en sus niveles de razonamiento covariacional. Este comportamiento de Santiago permite confirmar una vez más que no hay una trasferencia inmediata ni automática de la comprensión obtenida de un sistema de representación a otra; por tanto, es importante promover el uso de diferentes representaciones y formular nuevas investigaciones en este campo de la representación y el razonamiento covariacional.

El caso de Santiago evidencia que la evolución del nivel asociado a la razón promedio, al nivel correspondiente a la razón de cambio instantánea puede ser compleja, no inmediata y requerir de otros desarrollos conceptuales propios de la matemática continua (por ejemplo límites y derivadas) que permitan al estudiante "una consciencia de que la razón de cambio instantánea resulta de refinamientos más y más pequeños en la razón de cambio promedio" (Carlson et al., 2003, p. 129). Otros investigadores han llamado la atención en este hecho: por ejemplo, en el marco conceptual para la comprensión de la derivada propuesto por Zandieh (2000), se usa la concepción proceso-objeto y la notación de Leibniz para expresar que mediante la consolidación de la razón promedio con incrementos cada vez mas pequeños en el denominador, se puede llegar a la razón de cambio instantánea. Sin embargo, este proceso evolutivo requiere de nuevos desarrollos y de investigación más profunda para su caracerización.

Sea cualquiera la naturaleza de la evolución de la razón promedio a la razón instantánea, lo cierto es que, a pesar de que Santiago no alcanzó a desarrollar una noción de la razón de cambio instantánea, sí logró construir curvas suaves basado en procesos de generalización "incompleta" y así evidenciar algunos comportamientos que asocian la concavidad de una gráfica con la forma como cambia la rapidez de la variación, lo cual se convierte en las bases para un entendimiento más significativo de la segunda derivada, cuando posteriormente se desenvuelva en un curso de cálculo. En otras palabras, se observa en Santiago que hizo aproximaciones cualitativas a nociones del cálculo sin que necesariamente haya construido una noción de la razón de cambio instantánea y sin que haya cursado una asignatura formal de cálculo diferencial.

Se presenta también para la discusión que una introducción de la función cuadrática en la cual se promueva el razonamiento covariacional, posibilitaría un entendimiento de dicho concepto como la relación entre dos cantidades de magnitud cuya razón de cambio (promedio o instantánea) varía linealmente, lo cual viene siendo defendido en Villa-Ochoa (2008). Este tipo de abordaje implicaría un estudio previo de la función lineal en los mismos términos variacionales, tal y como defendieron Posada y Villa-Ochoa (2006). Para el estudio de la razón de cambio y del cambio de esta misma, el uso de software puede dinamizar las situaciones recreando patrones de covariación que le posibilitarían al estudiante el reconocimiento descripción y cuantificación de dichos patrones.

Conclusiones

Los niveles de razonamiento covariacional presentados en el marco conceptual de Carlson et al. (2003), parecen describir el razonamiento presentado por Santiago en el estudio de situaciones dinámicas. Al asumir el razonamiento como un proceso que evoluciona a través de los niveles presentados en el marco conceptual, se debe resaltar la importancia que tuvo:

1. La actividad experimental. Al presentar la situación en el software dinámico, Santiago pudo manipular repetidamente las cantidades, de tal manera que pudo ir construyendo aserciones que validaba o refutaba con los datos obtenidos experimentalmente.

2. El uso de diferentes contextos o usos de las representaciones. Las representaciones juegan un papel muy importante en el razonamiento y en la comprensión de los conceptos matemáticos. El caso de Santiago, pone en evidencia la existencia de estudiantes en los cuales se hace necesario promover traslaciones entre los contextos de representación, lo cual puede posibilitarles avances en sus niveles de razonamiento covariacional. De este modo se formulan nuevos planteamientos para futuras investigaciones.

3. El diálogo a través de preguntas. La pregunta cumplió un papel trascendental para promover la evolución en el razonamiento, ya que permitió que el estudiante reflexionara sobre sus propias ideas, se confrontara continuamente con sus respuestas y buscara algunas justificaciones para validar sus consideraciones.

Este estudio solicita una extensión del marco conceptual de Carlson y sus colaboradores, en cuanto a las actividades cognitivas involucradas en la evolución del razonamiento a través de los diferentes niveles, de tal manera que el razonamiento sea un proceso dinámico, que va ganando diferentes niveles de sofisticación en la medida que se experimentan nuevas situaciones y contextos y usos de las representaciones. Así mismo, se hace necesario profundizar en las acciones mentales que le posibilitan al estudiante un razonamiento en términos de la transformación de la razón de cambio, y analizar la no dependencia de este tipo de razonamiento del nivel asociado a la razón de cambio instantánea.

Por otro lado, es necesario indagar por las acciones mentales involucradas en la evolución del nivel de razón promedio al de razón de cambio instantánea y analizar el papel que juegan los conceptos de límite, derivada y continuidad en dicha evolución.

Finalmente, el estudio de este caso deja en evidencia que el estudio de la función cuadrática abordado desde una perspectiva variacional puede ir mucho más allá de la tradicional secuencia:

Definición algebraica → estudio de propiedades → cálculos procedimentales → aplicaciones.

En dicha secuencia, generalmente el énfasis se pone en los elementos procedimentales que permiten determinar algunas características como crecimientos, decrecimientos, concavidades, puntos máximos o mínimos (vértices), pero en la mayoría de los casos estas características carecen de sentido en el momento de interpretarlas en un contexto de variación. Se espera, entonces, que los resultados obtenidos en este estudio puedan ser útiles a los maestros e investigadores en el diseño de situaciones para la enseñanza de las funciones cuadráticas y así contribuir a un aprendizaje con mayor significado desde la variación de este tipo de concepto.

Referencias

Camargo, L. y Guzmán, A. (2005). Elementos para una didáctica del pensamiento variacional. Relaciones entre la pendiente y la razón de cambio. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio.         [ Links ]

Cantoral, R. (2004). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Una mirada socioepistemológica. En Díaz, L. (Ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, pp. 1-9. México, D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.         [ Links ]

Cantoral, R. y Farfán, R. M. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. Epsilon (42), 353-369.         [ Links ]

Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. y Hsu, E. (2003). Razonamiento covariacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: Un marco conceptual y un estudio. EMA, 8 (2), 121-156.         [ Links ]

Dolores, C. (1999). Una introducción a la derivada a través de la variación. México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica.         [ Links ]

Dolores, C. (2007). Elementos para una aproximación variacional a la derivada. México D.F: Ediciones Díaz de Santos - Universidad Autónoma de Guerrero.         [ Links ]

Doorman, L. M. y Gravemeijer, K. P. (2009). Emergent modeling: discrete graphs to support the undertanding of change and velocity. ZDM Mathematics Education, 41 (1-2), 199-211.         [ Links ]

Hernández R., Fernández, C. y Baptista, P. (2006). Metodología de la investigación, México: Mc Graw Hill.         [ Links ]

Mesa, Y. M. y Villa-Ochoa, J. A. (2008). Construcción histórica y epistemológica del concepto de función cuadrática: Algunas reflexiones e implicaciones didácticas. En: Tzanakis, C. (Ed.). Proceedings of History and Pedagogy of Mathematics. The HPM Satellite Meeting of ICME. México: CIMATES.         [ Links ]

Mesa, Y. M. y Villa-Ochoa, J. A. (2009). El papel de Galileo Galilei en la construcción histórica del concepto de función cuadrática. En Leston, P. (Ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 22, pp. 1315-1323. México, D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa-Colegio Mexicano de Matemática Educativa.         [ Links ]

Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos curriculares. Área de Matemáticas. Bogotá: Magisterio.         [ Links ]

Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares básicos de competencias. Bogotá: Magisterio.         [ Links ]

Posada, F. y Villa-Ochoa, J. A. (2006). Propuesta didáctica de aproximación al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional. Tesis de Maestría no publicada. Medellín: Universidad de Antioquia.         [ Links ]

Salkind, N. (1999). Métodos de investigación. México: Prentice Hall.         [ Links ]

Tall, D. (2009). Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus. ZDM. Mathematics Education, 41(4), 481-492.         [ Links ]

Villa-Ochoa, J. A. (2008). El concepto de función. Una mirada desde las matemáticas escolares. En Leston, P. (Ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 21, pp. 245-254. México D.F: Colegio Mexicano de Matemática Educativa- Comité Latinoamericano de Matemática Educativa        [ Links ]

Yin, R. K. (2009). Case study research: design and methods. Thousand Oaks, CA: Sage Publications, Inc.         [ Links ]

Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivate. En Dubinsky, E., Schoenfeld, A. J. & Kaput, J. (Eds.). Research in Collegiate Mathematics Education IV CBMS (Vol. 8, pp. 103-127). Providence, USA: American Mathematical Society.         [ Links ]