DOI: http://dx.doi.org/10.14483/udistrital.jour.reving.2016.3.a06

Métrica de Hausdorff en el ambiente difuso

Hauddsorf Metric in the Fuzzy Environment

Carlos Orlando Ochoa Castillo
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. oochoac@udistrital.edu.co

Laura Victoria Forero Vega
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. lau_forero85@hotmail.com

Recibido: 28-04-2015. Modificado: 01-09-2015. Aceptado: 26-07-2016

Resumen

Contexto: De manera intuitiva, se ha establecido el concepto de conjunto como una colección distinta de elementos, esto es, un conjunto se determina vía la relación de pertenencia de un elemento de un universo al conjunto. La situación, por supuesto, es si pertenece o no pertenece; en un subconjunto difuso a cada elemento del universo se le asocia con un grado de pertenencia, que es un número entre 0 y 1. Los subconjuntos difusos se establecen como una correspondencia entre cada elemento del universo y un grado de pertenencia.

Método: El estudio fue basado en trabajos anteriores como artículos o libros, en donde autores exponen ideas sobre la importancia de los subconjuntos difusos y la necesidad de crear con ellos nuevas teorías y espacios.

Resultados: Al combinar dos teorías, se genera un nuevo ambiente de estudio que permite afirmar que la distancia de Hausdorff corresponde, extiende y ajusta la noción de distancia entre subconjuntos no vacíos compactos en el ambiente de los espacios métricos, mas exactamente en .

Conclusiones: La construcción realizada permite obtener un espacio métrico con varias cualidades, en donde se puede afirmar que son consequencia del objeto de estudio inicial.

Palabras claves: Conjuntos compactos, conjuntos difusos, métrica de Hausdorff.

Idioma: Español.

Abstract

Context: Intuitively, the concept the set has been established as a collection of different elements, that is, a set is determined via the relationship of membership of an element of a universe as a whole. The situation, of course, is whether or does not belong; in a diffuse to each element subset of the universe it is associated with a degree of membership, which is a number between 0 and 1. The fuzzy subsets are established as a correspondence between each element of the universe and a degree of membership.

Method: The study was based on previous work as articles or books, where authors present ideas about the importance of fuzzy subsets and the need to create with them new theories and spaces.

Results: By combining two theories, a new study environment that allows state that corresponds Hausdorff distance, extends and adjusts the notion of distance between nonempty compact subsets in the environment of metrics spaces, more accurately generated in .

Conclusions: The construction carried out allows a metric space with several qualities, where we can say that are the object consequence initial study.

Keywords: Compact sets, fuzzy sets, Hausdorff metric.

1. Introduction

En 1965 Zadeh introdujo la noción de conjunto difuso (ver [12]) debido a que la mayoria de la veces, las clases de cosas encontradas en el mundo fisico real no tienen precisamente un criterio de pertenencia. Esta observación pone en conexión la existencia de las representaciones mentales de la realidad y representaciones matematicas habituales de los mismos y fue el punto de partida hacia el desarrollo de los conjuntos difusos.

En 1980 Dubois y Prade definieron las distancia entre dos conjuntos difusos (ver [4]); luego Puri y Ralescu en 1983 expusieron una introducción de utilizar la distancia de Hausdorff entre conjuntos difusos; aunque la mayor referencia fue expuesta por Diamond y Kloeden [3] en 1994. Lo anterior condujo a que más adelante y mientras se investigaba problemas de sistemas dinamicos sin solución, Laksmikanthan y R.N Mohapatra [8] en 2003 publicaron lo hecho por Diamond y Kloeden para como medio de resolver dichos problemas.

Este artículo tiene como finalidad el estudio de la métrica de Hausdorff, construída inicialmente en el ambiente y luego extendida a una clase particular de subconjuntos difusos de , obteniendo un nuevo espacio métrico. Se parte de una definición de distancia entre un punto y un conjunto, con ello se edifica paso a paso la métrica de Hausdorff, igualmente se exhibe para el ambiente difuso.

En la primera sección, Métrica de Hausdorff, se muestra la construcción del espacio métrico (K_n, d_H), de los subconjuntos compactos de con la métrica de Hausdorff y se exponen algunas de sus propiedades; en la sección. El espacio Eⁿ, se describe un espacio particular de conjuntos difusos de y algunas características; en la tercera sección. El espacio métrico ( Eⁿ, d ) , se muestra el espacio resultante al relacionar la teoría de las dos secciones anteriores; en la ultima sección, Comparación con otros espacios métricos, se exponen otras distancias definidas en subconjuntos difusos y se realiza una comparación con el trabajo realizado anteriormente.

2. Métrica de Hausdorff

A partir del espacio métrico , es decir para y elementos de ,[7], [8]; se inicia la construcción de la métrica de Hausdorff.

Definición 2.1 Sea x un punto de y A un subconjunto no vacío de , la distancia d(x, A) del punto x a A es

En los espacios métricos, se tienen diferentes tipos de colecciones de sus elementos de acuerdo a unas condiciones, estos son, entre otros, los conceptos de vecindad, bola abierta, bola cerrada y adherencia, que son como en [1].

Proposición 2.1 Sea x un punto en y A un subconjunto no vacío de entonces:

1. d ( x , A ) ≤ 0,

2. d ( x , A ) = 0 si y solo si x ∈ Ā

Prueba.

1. Por ser , un espacio métrico para todo , luego por propiedades del ínfinito, ínf ,así .

2. Sea y se supone que , esto es, existe tal que lo que indica que , lo cuál es una contradicción.

Recíprocamente , esto es , para todo se tiene , en particular, para todo se tiene . Lo que indica que, y

entonces .

Definició 2.2 Sean A y B dos subconjuntos acotados y no vacíos de , la separación de Hassdorff de B a A es:

.

Este concepto tiene una definición equivalente, , aparece [2] su demostración donde es la bola cerrada de centro 0 y radio 1 de .

Proposición 2.2 Sean no vacíos y acotados,entonces

1.

2. si y solo si

3.

Prueba.

1. Como para todo , por propiedades del supremo ([1]),

.

en consecuencia .

2. Se supone que , esto es , para todo ; por la proposición 2.1 y como es para todo elemento de B, se obtiene quue .

Recíprocamente , si , por la proposició 2.1,

.

en general, , luego .

3. Sean , entonces , esto es,

.

así

con lo cual,

.

En consecuencia,.

La separación de Hausdorff se constituye en un instrumento eficaz en la consecución de una métrica, claro está con algunas propiedades adicionales en el contexto.

Definición 2.3 Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y acotados de , la distancia de Hausdorff entre A y B es

.

Con esta definición, la distancia Hausdorff satisface la simetría, pero aun falta agregar condiciones adicionales al ambiente para obtener la estructura de espacio métrico; así, se restringe, aun más, la naturaleza de los subconjuntos de en consideración. El resultado que sigue, se aplica a un universo específico con alguna incidencia en los demás.

Proposición 2.3: , la colección de subconjuntos compactos de con la distancia de Hausdorff, es un espacio métrico.

Prueba. Sean no vacíos.

1. Se afirma que , entonces máx , luego

2. Sea , por propiedades de máximo , se tiene, , dado que A y B son cerrados de entonces , es decir, A = B.

   Recíprocamente, sea A = B, dado que A , B son subconjuntos cerrados de , , de modo que , esto es, , se tiene y , luego .

3. Se tiene que

.

4. Como , entonces

.

De modo que la distancia de Hausdorff mide cuan lejos están uno de otro dos subconjuntos compactos de . Además, ( Kⁿ , d_H ) cuenta con las propiedades de la completitud y , la colección de subconjuntos compactos y convexos de , es un subconjunto cerrado en él; para ver esto, es necesario el resultado que sigue,

Proposición 2.4. Sean A , B subconjuntos no vacios de K ⁿ , si , existe tal que

Prueba. Sean , supongamos que para todo se tiene , en consecuencia ínf , es decir, . Por otro lado, , con lo cual , por tanto, . Así, para todo , se tiene que , lo que contradice el supuesto.

La prueba del siguiente teorema aparece en [2]

Teorema 2.1 es un espacio métrico completo¹, además si es una sucesión de Cauchy en K ⁿ , su límite es

Teorema 2.2 , la colección de todos los conjuntos convexos compactos de , es un subconjunto cerrado del espacio métrico ( K ⁿ , d_H ).

Prueba. Sea , así A es compacto no convexo, luego existen tales que . Como es A compacto, es cerrado, con lo cual existe tal que

Sea , entonces, y como , existen con . Luego:

Ahora sea y se supone que , como , existe tal que . Entonces . Lo que contradice que . Luego A' es no convexo y por tanto A es un conjunto abierto de .

Con esto es también un espacio métrico completo [1]. El siguiente resultado aparece en [8], está dado para elementos de , sin embargo en [6], se observa que para elementos de K ⁿ funciona igualmente.

Proposición 2.5. Sea una sucesión en que converge a K, además, sea

,

entonces,

Prueba. Sea , entonces existe tal que , por la proposición 2.4, existe un punto tal que .Por consiguiente para cada .

Sea entonces para cada existe tal que . Así si , se tiene que:

,

entonces para n, esto prueba que

Sea , de que la sucesión converge a K , se tiene que

,

además sea p tal que para implique . Del hecho que se sigue que existe tal que , luego si

,

con lo cual y luego .

3. El espacio Eⁿ

Definición 3.1. Un subconjunto difuso u de X, está determinado por una función , que indica el grado de pertenencia o membresía de un elemento x en el conjunto u.

Es de aclarar, que en la teoría difusa se utilizan diferentes tipos de notaciones, en este caso, se siguen las ideas de [12], pero dado a las modificaciones que con el tiempo se han venido utilizando, se sigue la notación de [5].

Observése que u generaliza la noción de función característica de un conjunto. Además, de acuerdo con [5], si no pertenece al conjunto; si pertenece al conjunto y si , se tiene que x pertenece de manera parcial, su grado de membresíaes justamente .

Un subconjunto de A de B, se caracteriza, por tanto, por la función de pertenencia A : B → [0 , 1] , es preciso fijar el conjunto B para definir la función A,que a su vez define A. Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto difuso, (otros detalles en [12 ]); Ahora se presta atención a una colección particular de subconjuntos difusos de

Sea Eⁿ la colección de todos los subconjuntos difusos de que satisfacen:

1. El soporte y los α- cortes de u son conjuntos compactos de , para todo .
2. u es convexo difuso,esto es, para x, y , ∈

,

para todo .

Lema 3.1. Si u ∈ E ⁿ , entonces se satisface

,

y si es una sucesión creciente que converge , entonces

,

Recíprocamente, si es la colección de subconjuntos de que satisface (1) (2) y (3), entonces existe un tal que

y

Prueba. Sea , por la definició de es compacto para , resta entonces ver es convexo. Para , sean , esto es, , entonces al ser u convexo difuso se tiene

,

luego . Con lo cual satisface (1).

Sean , se sabe que

con lo que satisface (2).

Ahora sea ,una sucesión creciente que converge a ,luego por (2) se tiene que

,

por otro lado ,ahora aplicando la proposición 2,9 , se tiene que esta sucesión converge a , con lo cual , y (3) se sigue.

Recíprocamente, sea la colección de subconjuntos de que satisface (1),(2) y (3); dado , se define , y sea , de donde se obtiene que . En efecto, si , de inmediato , entonces se supone que y sea ; luego existe , tal que así, dado que implica por (2) por definición y se obtiene que ; ahora sea una sucesión monotona en I _x que converge a , entonces para cada y por (3) .Igualmente,dado , implica que ,luego .

Se define como para todo , por consiguiente, sea , si entonces ; por consiguiente, y por 2, , esto es , .Si ,entonces y . Por tanto .

Construido lo anterior, se verifica que , en efecto, u es un conjunto difuso de , por su definición, ahora , entonces es compacto para todo . Finalmente, sean con , entonces , que es convexo y así para cualquier . Por consiguiente

,

lo que prueba que u es convexo difuso.

Al espacio E ⁿ se le puede dotar una estructura para sus α-cortes, es expuesto con el siguiente concepto, cabe resaltar que los dos anteriores resultados son tomados de [8].:

Lema 3.2 Sean entonces la adición y multiplicación por un escalar difusa pertenece a E ⁿ donde los α-cortes son definidos como:

,

y

,

para .

Prueba. Dado que , se satisface (1) ,(2) y (3), entonces ; sean , entonces

;

sea una sucesión creciente que converge a entonces

de donde , luego, por la proposición 2.5, . De modo que satisface (1) , (2) y (3) por el teorema 3.1,

Similarmente ; sean , entonces

;

sean una sucesión creciente que converge a entonces

;

de donde , luego por la proposición 2.5, . De modo que satisface (1), (2) y (3), por el teorema 3.1, .

4. El espacio métrico ( E ⁿ , d )

Se procede al intersectar las dos teorías expuestas, se tiene el siguiente resultado, que ha sido difundido por variados autores, entre ellos V. Lakshmikantham em [8].

Lema 4.1. El par ( E ⁿ , d ) con la métrica del supremo d en E ⁿ definida como

;

donde u , v ∈ E ⁿ , es un espacio métrico.

Prueba. Sean u , v , w ∈ E ⁿ , entonces

1. Para cada α ∈ [ 0 , 1 ], dado que , luego por propiedades del supremo se obtiene que:



2. Sea , entonces , por propiedades del supremo,



para todo α ∈ [ 0 , 1 ], luego , entonces

Recíprocamente si entonces , luego



así por propiedades del supremo, , luego .

3. La simetría se satisface, en efecto,



4. Ahora se verifica la desigualdad triangular,



Finalmente, se prueba:

Teorema 4.1. ( E ⁿ , d ) es un espacio métrico completo

Sea. una sucesión de Cauchy en ( E ⁿ , d ) entonces para cada α ∈ [ 0 , 1 ], es una sucesión de Cuachy in , que es un espacio métrico completo, así existe un para cada α ∈ [ 0 , 1 ] tal que

Se considera la colección , y cada lo que satisface (1); sea , entonces

con lo cual

y esto indica, segun la proposición 2.2, que , liego se satisface (2); sea una sucesión decreciente en [ 0 , 1 ] que converge a con lo cual para luego,

ahora sea , así para todo , entonces

de modo que por la proposición 2.2 y por consiguiente

.

Por tanto, se satisface la condición (3) de que

.

Entonces al satisfacer (1), (2) y (3), se aplica el teorema 3.1, con lo cual, existe un tal que para todo . Además,

.

para todo , debido a que es una suceción de Cauchy en ( E ⁿ , d ). Tomando el límnite cuando , se obtiene

.

para todo , por tanto para todo es un espacio métrico completo .

Los conceptos arriba expuestos, se extienden y profundizan en [ 8 ], [9] y [ 10] en donde el horizonte se amplía y abre lejanas perspectivas.

5. Comparación con otros espacios métricos

De las secciones anterior resulto un nuevo espacio métrico, la idea ahora es realizar una comparación con otros espacios métricos [11] relacionados con subconjuntos difusos.

Sean A, B subconjuntos difusos del universo X cualquiera, la distancia de Hamming se define como

,

la distancia euclídea como

,

y la distancia de Tchebyschev como

.

Se resaltar que dichas distancias se encuentran entre dos subconjuntos difusos con el mismo universo X y se puede afirmar que cuanto mayor sea la similitud de los subconjuntos difusos, la distancia es menor.

En el espacio ( E ⁿ , d ) solo intervienen subconjuntos difusos de con restricciones particulares ya expuestas, para estas tres distancias, no hay restricción alguna, así que se obtiene una bifurcación de los subconjuntos difusos, y por consiguiente no estan muy relacionadas. Además la información obtenida de las tres distancias es muy débil, mostrando una cualidad muy general, que es grado de similaridad de dos subconjuntos dados. Mientras que en el espacio ( E ⁿ , d ) , se comparan los α-cortes con la métrica de Hausdorff, es decir, se le está dando analisis a cada .

Se presenta una situación en donde se calculan las cuatro distancias. Sean u , v ∈ E¹, como las Figuras 1 y 2, y matemáticamente definidos de la siguiente forma:

.

y

.

De esta forma podemos decir que los α - cortes son

.

y

.

.

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