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Revista Integración
versión impresa ISSN 0120-419X
Integración - UIS vol.31 no.2 Bucaramanga jul./dic. 2013
Funciones inducidas conexas
SERGIO A. PÉREZ*
Universidad Industrial de Santander, Escuela Matemáticas, Bucaramanga, Colombia.
Resumen. Se dice que una función f : X → Y definida entre espacios topológicos es conexa si la gráfica Γ(f ) = {(x, f (x)) : x Є X} es conexa. Dado un continuo X, se consideran los hiperespacios: 2X, la colección de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de X; C(X), el conjunto de todos los subcontinuos de X; y Fn(X), los subconjuntos no vacíos de a lo más n puntos de X. Además, dada una función f : X → Y entre continuos, consideramos las funciones inducidas 2f; : 2X → 2Y definidas por para cada A Є 2X; Fn(f) : Fn(X) → Fn(Y), la función restricción Fn(f) = 2f |Fn(X); y si f es una función de Darboux débil, definimos C(f) : C(X) → C(Y) por C(f) = 2f |C(X). En este artículo estudiamos las relaciones entre las siguientes cinco afirmaciones: 1) f es conexa; 2) C(f) es conexa; 3) Fn(f) es conexa, para algún n ≥ 2; 4) Fn(f) es conexa, para todo n ≥ 2; 5) 2f es conexa.
Palabras claves: Continuo, funciones inducidas, funciones conexas, funció Darboux débil, funciones casicontinuas.
MSC2010: 54E40, 54B20, 54C10.
Induced connected functions
Abstract. A function between topological spaces f : X → Y is said to be connected provided that the graph Γ(f) = {(x, f(x)) : x 2X} is connected. Given a continuum X, some hyperspaces are considered: 2X, the collection of all non-empty closed subsets of X; C(X), the set of all subcontinua of X, and Fn(X) the set of nonempty subsets of at most n points of X. Moreover, given f : X → Y a function between continua, consider the induced functions: 2f : 2X → 2Y , defined by for each A Є 2X; Fn(f) : Fn(X) → Fn(Y), the restriction function Fn(f) = 2f |Fn(X); and, if f is a weak Darboux function, we define C(f) : C(X) → C(Y) by C(f) = 2f |C(X). In this paper we study the relationships between the following five statements: 1) f is connected; 2) C(f) is connected; 3) Fn(f ) is connected, for some n ≥ 2; 4) Fn(f) is connected, for all n ≥ 2; 5) 2f is connected.
Keywords: Continuum, induced functions, connected functions, weak Darboux function, almost continuous functions.
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*E-mail :sergio.2060@hotmail.com.
Recibido: 24 de julio de 2013, Aceptado: 20 de agosto de 2013.