Intervención en la comprensión del valor de posición en estudiantes de preescolar y primer grado

Los estudios que se interesan por abordar la comprensión del valor de posición y la escritura de numerales arábigos en estudiantes de preescolar o primer grado, no son frecuentes. Esto se debe a que la comprensión de dicho principio propone exigencias y demandas cognitivas para las cuales los estudiantes en estos grados parecen no estar preparados (^{Kamii, 1985}; ^{Thompson, 2000}). De hecho, en la literatura son más frecuentes las investigaciones de este tipo en estudiantes de segundo grado de básica primaria en adelante (^{Angulo et al., 2017}; ^{Avalos, 2016}; ^{Bloomfield, 2003}; ^{Ceballos, 2012}; ^{Dinc & Tarim, 2006}; Donlan & Gourlay, 1999; ^{Gallego & Uzuriaga, 2015}; ^{Herzog & Fritz, 2022}; ^{MacDonald & Moyer-Packenham, 2018}; ^{Price, 2001}; ^{Ross, 1990}, ²⁰⁰²). No obstante, algunos autores plantean que al identificar una línea base de conocimiento en los estudiantes y proponerles actividades de intervención que les facilite establecer relaciones entre las invariantes del SNBD, pueden acceder a una comprensión de este principio y de los numerales arábigos desde edades tempranas (^{Bailey, 2015}; ^{Byrge et al., 2014}; ^{Disney & Eisenreich, 2018}; ^{Kim & Park, 2018}; ^{Mix et al., 2022}; ^{Ramírez & De Castro, 2014}). A continuación, se describen algunas investigaciones interesadas en abordar la compresión del valor de posición en este tipo de población infantil.

^{Kamii (1985)} realizó un estudio para explorar el nivel de comprensión que estudiantes de 4 a 9 años poseían sobre el valor de posición y los dígitos en un numeral. Utilizó una tarea que consiste en establecer correspondencias entre colecciones de fichas y los dígitos de un numeral. Los resultados señalaron que los estudiantes consideran a los dígitos como elementos unitarios. Por ejemplo, cuando se les proporcionaba una colección de dieciséis fichas y se solicitaba distribuir los objetos que la conformaban entre los dígitos del numeral arábigo “16”, para ellos el “1” significaba un objeto y el “6” correspondía a otros seis objetos. Para los estudiantes no tenía importancia que sobraran nueve objetos. La autora concluye que los niños y niñas antes de ser introducidos al aprendizaje del valor de posición, deben construir la noción de unidad simple y compuesta.

^{Sinclair et al. (1992)} realizaron una investigación para indagar el significado que un grupo de 30 estudiantes entre 5 a 9 años otorgaban a los dígitos en la posición de las decenas. El objetivo fue explorar cómo ocurre la construcción de la comprensión del valor de posición. A través de un cuestionario y de observar las estrategias que utilizaban para resolver tareas de correspondencia de dígitos, los investigadores identificaron seis tipos de estudiantes. Los estudiantes tipo “uno” y “dos” se caracterizan por realizar conteos infructuosos para establecer la totalidad de los elementos de una colección. A su vez, los estudiantes tipo “uno” evidenciaban dificultades para establecer que un dígito puede ser asociado con una colección de ítems específicos, y el tipo “dos” podían identificar correctamente numerales como el “16”, pero asignaban valores nominales a todos los dígitos. Los estudiantes que conformaban el tipo “tres” y “cuatro” lograron identificar que existía una correspondencia entre los dígitos y las colecciones que se les presentaba, pero los tipo “cuatro” no identificaban la cantidad adecuada de elementos a ser asignados a un dígito. Los estudiantes tipo “cinco” y “seis” podían realizar descomposiciones correctas, pero los del tipo “cinco” reconocían las cantidades exactas que deben asignar a cada dígito, y los del tipo “seis” realizaban intuiciones relativas al uso de grupos de diez y el valor posicional de los dígitos. A partir de estos hallazgos, los autores concluyen que la comprensión de que los dígitos corresponden a colecciones de elementos excluyentes entre sí se construye lentamente, y que estas se consolidan a través del uso de conocimientos relacionados con el sistema de numeración verbal.

^{Young y Bicknell (2014)} llevaron a cabo una investigación con 34 estudiantes entre 5 y 6 años de edad, en primer y segundo grado, para explorar la comprensión del valor de posición a partir de la resolución de multiplicaciones y divisiones de dos dígitos. Problemas aritméticos con diferentes contextos y objetos manipulables fueron propuestos a los estudiantes. Así mismo, se les instó a usar dispositivos denominados marcos de diez, para representar los grupos de diez como unidades compuestas y llevar un registro de sus soluciones. Los hallazgos obtenidos evidencian que la introducción de problemas aritméticos multiplicativos antes de la enseñanza formal del valor de posición, no solo es beneficiosa para la comprensión de la multiplicación y la división, sino también para la comprensión del valor de posición. Además, proponen que la enseñanza de este principio no debe fundamentarse en un enfoque centrado en el uso de estrategias de conteo, sino en la comprensión de las unidades compuestas a partir de la conformación de colecciones, porque esto facilita a los estudiantes reconocer de manera temprana los patrones parte/todo, y la estructura de los grupos de diez en los numerales de dos dígitos.

^{Mix et al. (2022)} plantearon un estudio longitudinal con 279 estudiantes, inicialmente evaluados en preescolar y posteriormente cuando estaban en primer grado. El objetivo del análisis consistió en examinar si los conocimientos generales relativos al valor de posición que poseían los estudiantes en preescolar sobre el valor de posición, predecían el éxito inicial del aprendizaje y la comprensión de este principio en primer grado. En total, se aplicaron seis tareas en los dos momentos escolares evaluados: (1) comparación de magnitud, (2) transcodificación de números del formato verbal hablado al formato arábigo y viceversa, (3) estimación sobre la recta numérica, (4) conteo con cubos tridimensionales en base diez, (5) notación expandida. Por ejemplo, se presenta un numeral como el “12” y se propone identificar entre las opciones “10+2”, “10+10+2” o “1+2”, cuál es la versión expandida correcta a la que corresponde, (6) ¿Qué numeral tiene _ _? De esta manera, se mostró a los estudiantes tres numerales: “3”, “30” y “10” y se les preguntó, ¿qué numeral tiene tres dieces? Las primeras tres tareas evalúan el conocimiento general relacionado con el valor de posición. Las tareas restantes, evalúan el valor de posición sintáctico. Los resultados evidencian un mayor rendimiento -en las dos evaluaciones realizadas- para las tareas relacionadas con el conocimiento general del valor de posición intuitivo de los estudiantes. Sin embargo, el conocimiento general solo fue un predictor de desempeño para los estudiantes de preescolar. Estos hallazgos sugieren que la comprensión explícita del valor de posición se desarrolla desde el conocimiento parcial e implícito que los estudiantes poseen res- pecto a los numerales multidígitos. Además, los autores proponen que el conocimiento general que los estudiantes tienen, podría ser utilizado por los docentes para la enseñanza del valor de posición desde el preescolar.

Valor de posición, invariantes del SNBD y escritura de numerales arábigos, ¿cuál es la relación?

Las investigaciones sobre el valor de posición en la escritura de numerales arábigos, se caracteriza por explorar -generalmente a partir de tareas de correspondencia-, la relación entre el valor nominal de un dígito y el valor que este adquiere en una posición específica del numeral, es decir, valor total (^{Ross, 2002}; ^{Varelas & Becker, 1997}). Diferentes estudios sugieren que los niños y niñas desde edades tempranas y procesos de escolarización iniciales, deberían tener aproximaciones a este principio para poder construir una comprensión más adecuada del mismo y de los numerales arábigos en grados superiores (^{Mix et al., 2022}; ^{Sinclair et al., 1992}; ^{Young & Bicknell, 2014}).

La literatura reporta diversas nociones relacionadas con la comprensión del valor de posición y la escritura de numerales arábigos. Por ejemplo, ^{Bedoya y Orozco (1991)} proponen que el SNBD exige a los estudiantes la construcción progresiva de unidades compuestas en órdenes numéricos diferentes, y concluir que el valor de un dígito se modifica en función de la sucesión de unidades, lo cual ocurre mediante el uso de las operaciones de composición y descomposición, así como del establecimiento de relaciones de inclusión, equivalencia y recurrencia. De la misma forma, ^{Cawley et al. (2007)} plantean que la comprensión del valor de posición se vincula con representaciones alternativas construidas en el uso de formas simbólicas numéricas convencionales (dígitos), y el establecimiento de relaciones de equivalencia entre unidades de diferente valor. Además, ^{Varelas y Becker (1997)} exponen que las tareas fundamentadas únicamente en manipulativos que expresan propiedades del SNDB, no son suficientes para lograr este propósito -la comprensión del valor de posición-, porque para modelar, por ejemplo, la idea que un símbolo numérico o dígito (ej., “5”) pueda ser utilizado para representar diferentes va- lores, es necesario que los estudiantes identifiquen simultáneamente en las tareas propuestas, la multiplicidad del valor expresado en el valor nominal y la composición de los valores que identifica al valor total. Por esta razón, los autores sugieren la utilización de materiales que posean características semióticas específicas intermedias entre el valor de posición y los manipulativos en base diez para lograr esta finalidad.

Por otra parte, la literatura referencia diversas invariantes del SNBD relacionadas con la comprensión del valor de posición que parecen ser predictores del desempeño de los estudiantes en la escritura de numerales arábigos. Por ejemplo, ^{Krebs et al. (2003)} , así como ^{Bedoya (2013)} , proponen que la composición aditiva del número a partir de unidades de diferente valor es un concepto básico para la comprensión del SNBD. ^{Bloomfield (2003)} explica que esta particularidad del sistema es precisamente la que establece que las cantidades expresadas por los numerales sean el resultado de la suma de los valores representados por sus dígitos individuales. Por ejemplo, un numeral como “374” se puede componer de manera aditiva, según el valor posicional de sus dígitos, al resolver la adición: 300 + 70 + 4 = 3 unidades con valor de cien + 7 unidades con valor de diez + 4 unidades con valor de 1. De igual manera, ^{Bedoya y Orozco (1991)} señalan que la comprensión de la propiedad aditiva del SNBD, fundamenta la construcción de las unidades en órdenes consecutivos e incluyentes. Así mismo, ^{Nunes y Bryant (1997)} exponen que la composición aditiva es un predictor de logro en la escritura de numerales arábigos, porque al realizar un análisis con estudiantes de primer y segundo grado, no identificaron que estos pudieran escribir numerales arábigos correctamente y que no dominaran la composición aditiva.

^{Saxton y Cakir (2006)} indican que el conteo a partir de, la composición aditiva y la equivalencia numérica, son predictores del desempeño matemático de estudiantes de preescolar y de primer grado en la resolución de tareas relativas al SNBD. En el primer caso, estos autores explican que el conteo a partir de, involucra tomar un grupo de elementos como punto de partida y sumar una cierta cantidad de unidades a dicho grupo. El dominio de esta estructura de secuencia de conteo, propone un paralelo de cómo los estudiantes desde los cardinales que ya conocen, organizan el conocimiento que tienen de los dígitos en un numeral. Por ejemplo, el “16” puede ser conceptualizado como un grupo de diez elementos al que se agregan seis unidades. De esta manera, podría decirse que a la resolución de un problema en base diez como “10+ 6”, subyace la utilización de un procedimiento de conteo. En otras palabras, el conocimiento sobre la estructura de la secuencia de conteo que ha sido aprendido por los estudiantes, es transferible para la resolución de tareas relativas al SNBD, y por ello, se considera como un predictor de rendimiento. En el segundo caso de la composición aditiva ocurre de manera similar, los dígitos en los numerales pueden ser entendidos como una combinación de subconjuntos que son unidades múltiplos de diez y un subconjunto que agrupa unidades simples. Así, los estudiantes estarían dotados de un procedimiento de partición que les facilitaría resolver tareas en base diez.

En el tercer caso, la equivalencia numérica facilitaría comprender la diferencia entre la noción de valor y cantidad. En los numerales arábigos, los dígitos representan colecciones de unidades que son equivalentes entre sí (ej., el dígito “1” en el numeral “10”, representa diez unidades con valor de uno que pueden ser intercambiadas por una unidad con valor de 10), cuando los estudiantes comprenden este funcionamiento, adquieren un modelo -al igual que en el caso de la secuencia de conteo-, de cómo agrupar colecciones de unidades como lo propone el SNBD, y por ello, estaría provisto de un procedimiento que puede considerarse como un predictor para resolver tareas relativas al SNBD.

Si bien algunas investigaciones proponen la existencia de una relación entre el logro de la escritura de numerales arábigos y la comprensión del valor de posición u de otras invariantes del SNBD, la literatura revisada también muestra estudios con argumentos en contra. ^{Muñoz et al. (2015)} indagan en estudiantes de primer grado si es posible establecer correlaciones entre la producción de numerales arábigos y la comprensión del valor de posición. Los resultados del estudio plantean que los estudiantes pueden generar un desempeño exitoso en la escritura de numerales, a pesar de no comprender las invariantes del sistema (tales como la equivalencia numérica, la base del sistema y el valor de posición) como principios que fundamentan el SNBD. De igual modo, ^{Otálora et al. (2011)} realizan un estudio con el fin de correlacionar los desempeños de estudiantes de primer a tercer grado en tareas de escritura de numerales arábigos, composición aditiva y multiplicativa, y de equivalencia numérica. Los resultados evidencian que la composición aditiva y la equivalencia numérica no son predictores de logro en la escritura numérica en primer grado, pero sí en segundo grado. En tercer grado, los autores encontraron que la composición aditiva es un predictor de la escritura numérica de los estudiantes. Los autores explican estos resultados y muestran que la comprensión de las invariantes del SNBD no son inicialmente necesarias para la producción correcta de numerales de dos y tres dígitos, pero que dicha comprensión se vuelve más relevante para los estudiantes, a medida que se vuelven más complejas las estructuras de los numerales que se les proponen (cuatro y cinco dígitos).

Tal como lo evidencia la literatura, analizar los diferentes elementos y factores que participan, dificultan o promueven la comprensión del valor de posición en el aprendizaje de la escritura de numerales en niños y niñas, es de gran relevancia en la medida que su reconocimiento facilita entender el origen de estas dificultades, generar estrategias pedagógicas de apoyo más eficaces, o comprender la participación-relación que tienen en los procesos de comprensión de este principio.

En este sentido, el presente estudio intenta identificar si la comprensión de algunas invariantes del SNBD -la composición aditiva y equivalencia numérica-, facilitan la comprensión del valor de posición y la escritura de numerales arábigos. La selección de estas invariantes se fundamenta en los hallazgos identificados en la literatura, los cuales plantean que estas invariantes pueden o no estar relacionadas con los desempeños que los estudiantes evidencian en tareas que exigen la escritura de numerales. Además, en el caso de la equivalencia numérica, su relación con la escritura numérica no se encuentra suficientemente explorada, lo cual muestra como relevante un acercamiento con el objetivo de identificar posibles elementos adicionales que aporten al esclarecimiento de su vínculo con la producción de numerales arábigos de estudiantes y la comprensión del valor de posición. La hipótesis alternativa (H1) que se maneja en este estudio, propone que las dos invariantes seleccionadas pueden ser un predictor del desempeño de los participantes, en cuanto a la escritura de numerales arábigos se refiere -tal y como lo sugiere la literatura revisada- y que, además, potencializan igualmente la comprensión del valor de posición (^{Nunes & Bryant, 1997}; ^{Saxton & Cakir, 2006}). Suponemos esto último, porque estudios teóricos y empíricos señalan que estas invariantes guardan una relación directa con la comprensión de este principio. La hipótesis nula (H0) que se intenta refutar, es que la producción de numerales es un proceso automático y que no requiere la mediación de la comprensión de las invariantes del SNBD (^{Muñoz et al., 2015}; ^{Otálora et al., 2011}).

Si la H1 es acertada, debería evidenciarse un cambio significativo en el desempeño de un grupo de estudiantes para la comprensión y producción de numerales arábigos, cuando se les propone participar de un proceso de intervención centrado en la composición aditiva y equivalencia numérica, como facilitadores de la comprensión del valor de posición. Estas diferencias en el desempeño, podrían ser captadas si se evalúa a los estudiantes con tareas específicas, relacionadas con la comprensión y producción, entre dos puntos temporales diferentes -antes y después del proceso de intervención-. Así mismo, es posible proponer que el desempeño observado en este grupo de estudiantes, evidenciará un mayor nivel de éxito en las tareas propuestas, si se le compara con el desempeño de un grupo de estudiantes con similares características, que no participen del mismo proceso. Por esta razón, el diseño de la presente investigación incluye una intervención con grupos experimentales y un grupo de control, además de una evaluación pre y posprueba con tareas relativas a la comprensión y producción de numerales.

Por otro lado, si se demuestra un efecto positivo de la intervención para los grupos experimentales, podría suponerse -en cuanto se plantea un proceso de intervención diferente para cada grupo experimental en la presente investigación-, que el efecto de ambos tratamientos también fuese distinto; por ejemplo, la composición aditiva facilitaría la comprensión de las relaciones aditivas entre dígitos, y la equivalencia numérica favorecería el entendimiento de las relaciones multiplicativas (^{Bedoya & Orozco, 1991}; ^{Chang & Tang, 2014}; ^{Saxton & Cakir, 2006}). En relación con lo mencionado, si el efecto de las dos invariantes seleccionadas -composición aditiva y equivalencia numérica- es diferente para la producción y comprensión de numerales arábigos, dichas diferencias podrían ser identificadas en el desempeño que los estudiantes evidencien en las tareas de la pre y posprueba. Así, el diseño incluye una evaluación pre y posprueba con una intervención distinta para cada predictor y, tareas que evalúan de manera diferenciada los procesos de comprensión y producción de numerales arábigos.

Finalmente, si se logra corroborar que la composición aditiva y la equivalencia numérica generan un efecto distinto sobre la comprensión del valor de posición y la producción de numerales arábigos, es válido intentar establecer en qué consisten esas posibles diferencias. En este caso, se espera que el desempeño observado en el logro de los tipos de numerales que se consideran en las tareas durante la evaluación pre y posprueba, permitan reconocer en qué consisten tales diferencias.

Diseño y participantes

Para la presente investigación se propuso un diseño cuasi experimental pre y posprueba que incluye un análisis comparativo entre dos grupos experimentales y uno de control. En la pre y posprueba se aplica una tarea de escritura de numerales arábigos y dos tareas que indagan sobre la comprensión del valor de posición: (a) tarea con tarjetas y barras de colores y (b) tarea con tarjetas y fichas. El proceso de intervención involucró la aplicación de un protocolo diferente para cada grupo experimental: composición aditiva y equivalencia numérica.

En total participaron 96 estudiantes de primer grado: 42 niñas (44 %) y 54 niños (56 %), con un promedio de 7 años de edad, adscritos a colegios públicos de la ciudad de Cali, Colombia. Los participantes fueron escogidos según el logro alcanzado en una tarea de escritura de numerales arábigos al dictado, aquellos estudiantes que obtuvieron entre un 75 % y 100 % de acierto, no fueron elegidos, pues se consideró que ya tenían un dominio en la escritura de los numerales propuestos. Los estudiantes seleccionados se distribuyeron al azar en tres grupos de 32 estudiantes. A cada grupo se le asignó aleatoriamente una condición experimental diferente: (a) proceso de intervención en equivalencia numérica; (b) proceso de intervención en composición aditiva; (c) sin proceso de intervención, que correspondió a los estudiantes del grupo de control.

Esta investigación consideró los requisitos exigidos por el Comité de Ética de la universidad que proporcionó el aval para su desarrollo. Se solicitaron los documentos de autorización escrita de las instituciones escolares, así como los consentimientos informados de los padres de familia y acudientes de cada participante, debido a que eran menores de edad, así como la aceptación de inclusión en el estudio por parte de cada estudiante.

Instrumentos

Tareas de evaluación

Antes y después del proceso de intervención, en sesiones individuales se aplicaron tres tareas que proponían evaluar en los participantes, la comprensión del valor de posición y su habilidad para escribir numerales arábigos. A continuación, se describe cada una de ellas.

Tarea de escritura de numerales. Esta prueba propone dictar a los estudiantes numerales arábigos en el rango de las unidades de diez y cien, para que los escriban sobre una hoja de papel. Esta tarea evalúa la habilidad de los estudiantes para escribir numerales que responden a diferentes tipos de estructuras numéricas (ej., numerales arábigos con o sin cero intermedio).

Tarea de valor de posición con tarjetas y barras de colores. A los participantes se les presenta una tarjeta con un numeral arábigo, escrito en una de sus caras, y dos fichas rectangulares o barras de colores que se encuentran subdivididas en cuadrados (figura 1). Cada barra de color puede representar cantidades (del 1 al 9) y expresar un valor específico derivado del número de unidades que la componen y del valor de la unidad decimal con la cual se encuentra asociada. Durante cada presentación, las barras de colores tienen igual cantidad de subdivisiones, pero difieren en su color (cada orden numérico se expresa con un color diferente). Así, los estudiantes deben identificar el valor total de cada barra y ubicarla bajo el dígito que le corresponde en un numeral. Esta tarea evalúa si los estudiantes identifican la relación entre valor, cantidad y posición relativa que expresan los dígitos en un numeral.

Figura 1 Tarea de valor de posición con tarjetas y barras de colores 

Tarea de valor de posición con tarjetas y fichas. Esta tarea involucra presentar una tarjeta con un numeral de dos o tres dígitos, y adicionalmente, dos o tres fichas -dependiendo del número de dígitos del numeral en la tarjeta-, las cuales indican con un numeral arábigo escrito sobre ellas el valor total de uno de los dígitos que comprende el numeral que se presenta a los participantes (figura 2). Así, cada niño debe seleccionar entre las fichas, aquella que cree corresponde con el valor posicional específico del dígito que se le ha indicado y que pertenece al numeral inicialmente presentado. Esta tarea evalúa el conocimiento formal que los estudiantes poseen sobre el valor de posición.

Tareas del proceso de intervención

El proceso de intervención consiste en aplicar un protocolo predeterminado y flexible que se fundamenta en una actividad denominada tarea de los vasos, el cual orienta el proceso de trabajo en equivalencia numérica y composición aditiva. En la siguiente sección se describen las dos versiones aplicadas a cada grupo experimental.

Nota. Las figuras presentan los materiales utilizados en las tareas de la pre y posprueba. Todas las tareas de comprensión -incluyendo las aplicadas en las tareas usadas durante el proceso de intervención- son tomadas de ^{Medina (2012)}. La tarea de escritura al dictado tiene un uso tradicional en las investigaciones que involucran procesos de transcodificación numérica y no es posible atribuírsele a un autor en específico.

Figura 2 Tarea de valor de posición con tarjetas y fichas 

Tarea de los vasos para la composición aditiva de números. En este protocolo, se presenta un grupo de fichas (tarjetas que expresan en una de sus caras, el valor de las unidades del sistema: 1, 10 y 100) para ser introducidas de acuerdo a su valor en contenedores que representan diferentes órdenes numéricos. Así, en el primer contenedor deben introducirse fichas que valen 1, en el segundo contenedor fichas que valen 10, y en el tercero fichas que valen 100. En cada contenedor solo pueden ser introducidas un máximo de 9 fichas de un mismo valor; el tamaño de las fichas está diseñado para que espacialmente se genere esta restricción. De modo que a un niño se le puede proporcionar en desorden tres fichas que valen 1, seis fichas que valen 10 y dos fichas que valen 100. El niño debe organizar las fichas por su valor en cada contenedor, establecer el valor de cada colección formada, así como el valor total de todas las colecciones.

En un segundo momento de la tarea, se propone a los estudiantes seleccionar de un grupo de tarjetas que representan los operadores del SNBD (dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0), aquellas que corresponden al valor de las colecciones dentro de los contenedores (ej., si en el primer contenedor hay tres fichas, debería elegir una tarjeta con el dígito “3”) y ubicar cada tarjeta en un tablero con tres posiciones demarcadas, cada una con una línea horizontal (las cuales representan los órdenes numéricos del sistema). Además, los estudiantes pueden generar concordancia entre el valor total del dígito representado por cada tarjeta y el valor de cada colección, así como entre el valor nominal de los dígitos y la cantidad de fichas en cada contenedor, estableciendo correspondencias entre el valor total del numeral y el valor total de las colecciones.

Tarea de los vasos para el establecimiento de relaciones de equivalencia. En la tarea de equivalencia numérica se proporcionan dos colecciones con tipos de fichas diferentes (ej., fichas que representen unidades de 10 y de 1), de la cuales una de ellas siempre supera la cantidad de diez elementos (ej., doce fichas que valen 1 y diez que valen 10), de tal manera que los estudiantes deban realizar intercambios -equivalencias- entre las colecciones de fichas de diferente valor, para poder resolver la tarea, que exige introducir en los vasos o contenedores la totalidad de las fichas intercambiadas (ej., una ficha que vale 10, por diez fichas que valen 1).

Variables de los numerales

En cada tarea aplicada en la pre y posprueba, así como durante el proceso de intervención, se consideran cuatro tipos de numerales para su aplicación:

(a)bidígitos o teens (ej., 16 o 19); (b) bidígitos sin cero (ej., 42); (c) tridígitos con cero en las decena.s (ej., 302); (d) tridígitos sin cero (ej., 764).

En total se aplicaron 16 numerales en cada tarea: 8 ítems de dos dígitos y 8 de tres dígitos, exceptuando la tarea de valor de posición con tarjetas y barras de colores, en la cual solo se aplicaron 12 ítems. Esto se debe a que esta tarea es la única que exige que los dígitos de los numerales presentados sean idénticos, lo que restringe el número de combinaciones a utilizar. No se incluyen expresiones numéricas tipo nudos (ej., 40), porque la literatura sugiere que son numerales muy fáciles para los estudiantes, que no involucran la composición aditiva y que son de uso frecuente (^{Nunes & Bryant, 1997}). Tampoco se utilizan numerales de tres dígitos con cero en las unidades, porque la literatura plantea que se comportan igual que los numerales de tres dígitos sin cero (^{Barrouillet et al., 2004}; ^{Orozco et al., 2007}).

Procedimiento

La aplicación de las tareas de evaluación en la pre y posprueba, así como los dos protocolos de intervención, se realizaron en sesiones de trabajo individual de aproximadamente 45 minutos. La preprueba se administró a los estudiantes dos días antes de iniciar el proceso de intervención, y la posprueba, dos días después de finalizarlo. El período de observación corresponde a 15 días, tiempo durante el cual se realizan tres sesiones de intervención individuales con los estudiantes que conforman los grupos experimentales.

Análisis de datos

En un primer nivel de análisis se evalúa el acierto y error observado en cada una de las tareas de evaluación propuestas, las cuales permiten valorar por separado dos tipos de procesos: comprensión y producción de numerales arábigos. En un segundo nivel de análisis, se caracteriza el logro obtenido en función de los diferentes tipos de numerales considerados en cada una de las tareas. Ambos niveles, se fundamentan en el análisis de las medias y de la desviación estándar del logro observado en función de cada uno de los grupos experimentales y de control, así como de las evaluaciones aplicadas antes y después del proceso de intervención, pre y posprueba.

En un tercer nivel de análisis -complementario a los niveles 1 y 2-, se realizó un análisis de covarianza a través de puntos temporales (pre y posprueba), para investigar las diferencias de los tratamientos (X₁) aplicados, a partir de las medidas de comprensión y producción -tareas (X2) y tipos de numerales (X3)-, sobre la comprensión del valor de posición (Y₁) y la escritura de numerales arábigos (Y₂). Se utiliza la técnica de covarianza para eliminar las posibles diferencias en los grupos, generadas por el nivel de conocimiento en cuanto a la escritura de numerales arábigos y la posible influencia de la preprueba (X₄) sobre los resultados de la posprueba (Y₃). En este caso, se toma como referencia los puntajes de acierto obtenidos por los participantes en la prueba inicial de escritura de numerales -aplicada para el pareamiento y distribución de los estudiantes en los grupos experimentales y de control-. Para examinar las diferencias entre aplicaciones, grupos y tipos de numeral, se utilizan como referencia los puntajes de acierto obtenidos por los participantes en cada una de las tareas y tipo de numeral aplicados. Por último, se incluye una prueba post hoc para la comparación de medias. Todos los análisis fueron realizados mediante el software Statistical Package for the Social Science (SPSS), versión 18.0.

¿La composición aditiva y la equivalencia numérica afectan la comprensión y producción de numerales arábigos? ¿Ambos tratamientos tienen el mismo efecto?

Los análisis proponen que en la preprueba (véase tabla 1), todos los grupos obtienen la puntuación media más alta en la tarea de escritura; 6.3 el grupo de equivalencia, 6.6 el grupo de composición y 6.7 el grupo de control. Las tareas de comprensión presentan las medias más bajas, especialmente la tarea de tarjetas y fichas; 4.9 el grupo de equivalencia, 3.9 el grupo de composición y 6.1 el grupo de control. Además, los datos plantean que en la preprueba el grupo de control obtiene las puntuaciones medias más altas en todas las tareas aplicadas en comparación con los grupos experimentales. Estos resultados indican que los estudiantes presentan un mejor desempeño en tareas de producción numérica que de comprensión, lo cual sugiere, inicialmente, que el logro en la escritura de numerales no estaría correlacionado con un dominio de las invariantes del sistema decimal. Los datos también proponen que la tarea de tarjetas y fichas -la cual evalúa el dominio formal del valor de posición- es la que presenta mayor dificultad para los estudiantes.

En la posprueba (tabla 1), las medias más altas se observan en el grupo de equivalencia (11.6 en la tarea de escritura, 9.7 en la tarea de barras de colores y 11.4 en la tarea de tarjetas y fichas), y en el grupo de composición (10.8 en la tarea de escritura, 10.7 en la tarea de tarjetas y barras de colores y 11.5 en la tarea de tarjetas y fichas). De igual forma, el grupo de composición obtiene un puntaje medio más alto que el grupo de equivalencia en la tarea tarjetas y barras de colores (lo cual implica que la comprensión del valor de posición parece facilitarse de forma más efectiva a través de tareas que implican operar con cantidades y valores, que aquellas que operan solo sobre valores. Además, indican también que los estudiantes del grupo de composición aditiva evidencian una mejor comprensión para los numerales con dígitos idénticos que los estudiantes del grupo de equivalencia). De manera adicional, el grupo de control presenta las puntuaciones medias más bajas. Estos resultados muestran un incremento significativo del éxito en el desempeño de los grupos experimentales durante la posprueba, y propone que los tratamientos aplicados generan un efecto positivo en el logro observado en las tareas de comprensión y producción. Los datos también sugieren que los tratamientos aplicados generan efectos diferentes en la comprensión y producción de numerales arábigos; el proceso de intervención en composición aditiva parece facilitar la comprensión de la lógica operatoria del valor de posición en el reconocimiento de los numerales, y la equivalencia facilitaría la escritura de numerales arábigos. De manera general, los resultados en la tarea de tarjetas y fichas proponen que los grupos experimentales acceden -a diferencia del grupo de control- a una mejor comprensión del valor de posición y un mayor dominio en la escritura de numerales arábigos.

En un análisis posterior, se realizó una prueba de covarianza (ANCOVA) para identificar el efecto de los procesos de intervención en el desempeño de los grupos en cada tarea durante la pre y posprueba. En la tarea de tarjetas y fichas se encontraron diferencias significativas entre grupos (F(2, 96) = 8.656, p < 0.001), y entre aplicaciones (F(1, 96) = 34.063, p < 0.001). En la tarea de tarjetas y barras de colores también se identificó efecto entre grupos (F(2, 96) = 7.628, p < 0.001 y entre aplicaciones (F(1, 96) = 3.779, p < 0.055). En la tarea de escritura, el análisis de covarianza plantea efecto entre grupos (F(2, 96) = 14.440, p < 0.001), y entre aplicaciones (F(1, 96) = 69.389, p < 0.001). Estos datos confirman el efecto positivo de los tratamientos aplicados en el logro observado en los grupos experimentales durante la posprueba.

El análisis post hoc para la preprueba no señala diferencias entre los grupos de equivalencia numérica, composición aditiva y control, para ninguna de las tareas aplicadas; p > 0.05, lo cual plantea que la línea base de conocimiento de los grupos experimentales y de control, es inicialmente similar.

En la posprueba, el análisis post hoc estable- ce diferencias entre los grupos de equivalencia y control, así como entre los grupos de composición y control (p < 0.05) para las tareas de tarjetas y fichas, y de escritura. En la tarea de tarjetas y barras de colores, los grupos de equivalencia y control no presentan diferencias significativas (p > 0.05), pero sí entre los grupos de composición aditiva y control (p < 0.05). No se identificaron diferencias entre los grupos de equivalencia y composición (p > 0.05), en ninguna de las tareas señaladas. Estos datos proponen un avance significativo en el nivel de logro entre la pre y posprueba (a nivel de la comprensión y producción de numerales) en los grupos experimentales, pero no para el grupo de control.

¿Qué diferencias entre tratamientos pueden identificarse en función del tipo de numeral?

La distribución del logro por tipo de numeral en la pre y posprueba en cada grupo (tabla 2) plantea que los puntajes más altos en la preprueba corresponden a las medias en los bidígitos o teens (3.3 el grupo de equivalencia, 3.6 el grupo de composición y 3.5 el grupo de control) y los bidígitos sin cero (3.5 el grupo de equivalencia, 3.5 el grupo de composición y 3.2 el grupo de control). Estos datos señalan que los estudiantes ya poseen un dominio de la escritura de numerales en el rango de las unidades de diez, pero no en el rango de las unidades de cien, algo esperado para el nivel y momento del proceso de escolarización en el que se encuentran.

Durante la posprueba, los resultados indican que el logro en la comprensión y producción de numerales se incrementa de manera general, en especial para los numerales de tres dígitos. Además, la puntuación media obtenida por el grupo de composición y de equivalencia en los numerales tridígitos sin cero, describe un incremento importante en el logro (2.5 el grupo de equivalencia, 2.6 el grupo de composición y 2.0 el grupo de control). Estos resultados señalan que los procesos de intervención aplicados generan que los estudiantes puedan -a nivel de comprensión y producción- operar con mayor éxito con numerales más complejos al rango numérico que dominaban inicialmente, especialmente los numerales de tres dígitos sin cero.

Para identificar diferencias significativas entre tareas y tipos de numeral utilizados, se realizó un análisis ANCOVA, cuyos resultados se presentan en la tabla 3. Estos datos expresan un incremento del acierto en todos los tipos de numerales en los grupos para las tareas de tarjetas y fichas, y tarjetas y barras de colores. El tipo de numeral tridígitos con cero, evidencia diferencias significativas en la tarea de tarjetas y fichas (F(2, 96) = 9.672, p < 0.001). De igual manera ocurre con los tridígitos con cero en decenas en la tarea de escritura; (F(2, 96) = 10.957, p < 0.001). No se identifican diferencias significativas para los bidígitos o teens en la tarea de escritura (F(2, 96) = 0.658, p < 0.520). Estos datos plantean que los estudiantes mejoran significativamente en la comprensión y producción de numerales de dos y tres dígitos, especialmente en aquellos numerales que no involucran el cero.

De forma complementaria a los análisis descritos, se realizó un análisis post hoc de la posprueba en función de grupo, tarea y tipo de numeral. Así, se identificaron diferencias para la tarea de tarjetas y fichas entre los grupos de equivalencia y control para los cuatro tipos de numerales aplicados, como para los grupos de composición aditiva y control para los bidígitos o teens, bidígitos sin cero y tridígitos sin cero (p < 0.05). No se identifican diferencias entre los grupos de equivalencia y composición en ninguno de los numerales presentados (p > 0.05). Los datos en esta tarea establecen que el incremento del logro en los grupos experimentales entre aplicaciones, para los diferentes tipos de numerales presentados, es significativo, contrario al desempeño del grupo control. Así mismo, se identifica que -a diferencia del tratamiento en composición aditiva- el proceso de intervención en equivalencia parece generar un efecto específico en los numerales que implican un cero.

El análisis post hoc de la posprueba revela diferencias entre los grupos de equivalencia y control en la tarea de barras de colores para los bidígitos sin cero, y tridígitos sin cero, así como entre el grupo de composición y control para los bidígitos sin cero, tridígitos con cero en decenas y tridígitos sin cero (p < 0.05). No se establecen diferencias significativas entre los grupos de equivalencia y composición en ninguno de los tipos de numerales presentados (p > 0.05). Los resultados indican que el grupo de equivalencia obtiene un mejor desempeño en la comprensión de numera- les de dos y tres dígitos sin cero, mientras que el grupo de composición en la comprensión de ítems con dos y tres dígitos, con y sin cero. No obstante, los datos señalan que el desempeño de los grupos experimentales en esta tarea es similar. A su vez, se establece que para los teens o bidígitos, ambos grupos no presentan cambios significativos, esto indica que los estudiantes ya poseen un dominio sobre este tipo de estructura.

Los análisis del post hoc en la posprueba identifican diferencias significativas entre los grupos de equivalencia y control en la tarea de escritura para los bidígitos sin cero y tridígitos con cero en decenas, y entre el grupo de composición y control para los tridígitos con cero en decenas (p < 0.05). De igual manera, se identifican diferencias entre los grupos de equivalencia y composición para los bidígitos sin cero (p < 0.05). Los datos en esta tarea proponen que el tratamiento en equivalencia genera un aumento en el éxito para la producción de numerales de dos o tres dígitos, indistintamente si estas estructuras involucran cero o no (p < 0.05). En el grupo de composición el aumento en el logro es significativo para los numerales con tres dígitos que poseen un cero intermedio. Además, ambos grupos parecen producir efecto en la producción de numerales de dos dígitos sin cero, pero ninguno para la producción de bidígitos o teens.