3.1. Enfoque del NSGA-II

La concepción general bajo la cual opera un GA, se fundamenta en el concepto de supervivencia del más apto. Partiendo de una población inicial, las nuevas generaciones surgen mediante el uso iterativo de operadores genéticos (selección combinación y mutación), que actúan sobre los individuos presentes en cada generación (^{Katoch, Chauhan y Kumar, 2021}). En la Figura 2 se resume el modo de operación de un GA típico.

Fuente: Modificado de ^{Nicklow et al., 2010}.

Figura 2 Modo de operación de un GA convencional 

^{Deb et al. (2002)} propusieron un GA, al cual denominaron algoritmo genético de clasificación no dominada (nondominated sorting genetic algorithm NSGA-II). Este algoritmo difiere de los métodos clásicos de optimización, los cuales sugieren convertir un problema multi-objetivo en un problema de optimización de un solo objetivo. El NSGA-II tiene tres características principales: (1) es un algoritmo elitista, lo cual le permite conservar hasta el final las mejores soluciones encontradas en iteraciones anteriores; (2) los individuos de la población se clasifican de acuerdo con su nivel de no dominancia, a través de un procedimiento rápido de ordenación y (3) el NSGA-II no requiere un parámetro de ajuste, lo que hace que el algoritmo sea independiente del usuario.

El procedimiento de optimización del NSGA, se puede resumir en 6 pasos. Pasol: se genera una población P de posibles soluciones del problema multi-objetivo (MOP), la cual está conformada por N individuos y se evalúa la aptitud de estos elementos a través de las funciones objetivo, definidas por el usuario. Paso 2: clasificar los individuos en diferentes frentes de Pareto Fi, según el enfoque de no dominancia característico del algoritmo. Paso 3: generar una población descendiente P' de tamaño N, mediante operadores genéticos de combinación y mutación. Paso 4: se evalúa la aptitud de la población P' mediante las funciones objetivo. Paso 5: combinar las poblaciones P y P', generando una población de tamaño 2N y se ordenan sus elementos en diferentes rangos mediante el enfoque de no dominancia. Paso 6: finalmente, se seleccionan los individuos contenidos en los frentes Fi de mejor rango, los cuales pasarán al siguiente proceso iterativo hasta cumplir el criterio de parada.

Se debe garantizar que el tamaño de la población final de los frentes seleccionados no supere el valor de N. En caso de que esto no suceda, se deben eliminar las soluciones con Jla menor distancia de hacinamiento. Esta condición genera que cada individuo de la población cuente con dos características principales: el rango y la distancia de hacinamiento.

El concepto de no dominancia hace referencia al conjunto de soluciones del MOP, que no se encuentran dominados entre sí, pero que son superiores al resto de soluciones en el espacio de búsqueda. Este conjunto de soluciones recibe el nombre particular de frente de Pareto (^{Emmerich y Deutz, 2018}). Para el caso del NSGA-II, entre dos soluciones de diferentes rangos de no dominancia, se prefiere la solución con menor rango y entre dos individuos del mismo frente, se prefiere la solución con mayor distancia de hacinamiento. La Figura 3 presenta el diagrama de flujo mediante el cual opera el NSGA-II.

Fuente: Modificado de (^{Kim y Kang, 2012})

Figura 3 Diagrama de flujo del NSGA-II 

3.2. Enfoque de la lógica difusa

Genéricamente la lógica difusa se define como un conjunto de reglas de control lingüístico, que relaciona los conceptos duales de implicación difusa y reglas de inferencia composicional, mediante un controlador de lógica difusa FLC. Esta meI todología de control fue desarrollada en 1975 por Zadeh (^{Lara, 2011}).

El uso de esta herramienta permite desarrollar estrategias de control automático, trabajando con información que es interpretada cualitativamente o que contiene algún grado de incertidumbre (^{Mittal, Jain, Vaisla, Castillo y Kacprzyk, 2020}).

Un FLC genérico está compuesto por 4 elementos principales. El conocimiento base (1), en el cual se almacena las reglas de control lingüístico. La interfaz de fuzzificación (2), que se usa para trasformar los datos reales en datos difusos. El sistema de inferencia (3), en el cual se toman las decisiones tomando como referencia el conocimiento base. La interfaz de desfuzzificación (4), en la cual se traslada la acción de control difuso a una acción de control real (^Lee,1990).

El funcionamiento de los sistemas difusos se rige con la caracterización de las funciones de membresía y las reglas de control difuso. Las funciones de membresía pueden adquirir diferentes formas geométricas y generan el grado de pertinencia del elemento. Las reglas de control difuso generan el sistema de inferencia en el controlador y se caracterizan por su configuración condicional (Si...entonces). Si se cumplen un conjunto de condiciones, entonces un conjunto de consecuencias se puede inferir. La Figura 4 presenta la configuración de un FLC convencional.

Fuente: Modificado de (^{Lee, 1990})

Figura 4 Modo de operación de un FLC convencional 

4.1. Diseño del controlador CLF-MR_1

El controlador CLF-MR_l optimiza el número de reglas y los parámetros de las funciones de membresía de un FLC convencional, mediante la implementación de un algoritmo genético tipo NSGA-II. Para conseguir este objetivo se definen dos parámetros de entrada asociados con los desplazamientos y las velocidades del primer piso de la edificación y un único parámetro de salida, el cual corresponde al valor del voltaje requerido por el amortiguador MR para generar las fuerzas de control que buscan reducir la magnitud de la respuesta en la estructura.

Estos parámetros permiten configurar las funciones de membresía del sistema de inferencia, las cuales almacenan las características de una función gaussiana y permiten aproximarse de forma sencilla a otras funciones convencionales, ajustando el valor numérico de estos parámetros. La ecuación (10) presenta la expresión mediante la cual fueron definidas estas funciones:

Donde b es la media y a la desviación estándar para una función de membresía gaussiana. La Figura 5. presenta el diagrama de flujo que describe la configuración del CLF-MR_l.

Fuente: Modificado de (^{Kim y Kang, 2012})

Figura 5 Diagrama de flujo para el CLF-MR_1 

4.2. Definición del entorno difuso

De forma semejante a un FLC convencional, el CLF-MR_l relaciona los parámetros de entrada y de salida utilizando el mecanismo de declaración "si... entonces" (if...then), conocidos con el nombre de reglas difusas (^{Kim y Kang, 2012}). La primera parte de la regla se denomina antecedente (sí) y la segunda se llama consecuente (entonces). Las afirmaciones de estas reglas difusas son resueltas en el antecedente con un grado de pertinencia que varía entre 0 y l.

La Figura 6 se presenta un ejemplo de cómo deben interpretarse estas reglas: si el desplazamiento del primer nivel de la edificación es 12.5 cm (MFl_Rl) y la velocidad es de 20 cm/s (MF2_Rl), entonces el voltaje aplicado es MF3_Rl. Las variables MFl_Rl, MF2_Rl y MF3_Rl son las funciones de membresía para la regla difusa l y sus parámetros son optimizados por el NSGA-II. Para este caso en particular, a la entrada l se le asigna un valor de 0.8 en la regla MFl_Rl, mientras que a la entrada 2 se le asigna un valor de 0.5 en la regla MF2_Rl.

Fuente: Modificado de (^{Kim y Kang, 2012})

Figura 6 Enfoque de interpretación de una regla difusa para el CLF-MR_I 

Luego de introducir los valores de entrada y fuzzificarlos, se aplica el operador difuso al antecedente y los dos resultados que se obtuvieron (0.5 y 0.8) se convierten en un único valor numérico en el parámetro de salida (0.5), mediante la función del "mínimo (Min.)" para el operador difuso " y".

Cuando al antecedente se le asigna un valor inferior a l, entonces el conjunto difuso de salida se limita de acuerdo con el método de implicación empleado para la función "mínimo". Este conjunto difuso posteriormente será desfuzzificado asignándole un valor al voltaje de salida. Por lo general, en una entrada puede estar involucrada más de una regla y esto es una característica del razonamiento difuso (^{Kim y Kang, 2012}).

En resumen, el procedimiento de evaluación de todas las reglas puede simplificarse en cinco pasos: Paso 1: Entradas difusas. Paso 2: Aplicar el operador difuso. Paso 3: Aplicar el método de implicación. Paso 4: Agregar todas las salidas. Paso 5: Defuzzificación. La Figura 7 presenta un ejemplo numérico mediante el cual se describe este procedimiento.

Fuente: Modificado de (^{Kim y Kang, 2012})

Figura 7 Ejemplo de funcionamiento general del controlador CLF-MR_I 

4.3. Funciones objetivo y sistema de codificación

Se definieron tres funciones objetivo, mediante las cuales se evaluó el desempeño del controlador: la respuesta pico de aceleraciones J ₁ , el máximo valor RMS de desplazamientos J ₂ y la respuesta pico de desplazamientos J ₃ . Las ecuaciones que se indican en la Tabla 2 presentan la definición de estas funciones:

Tabla 2 Funciones objetivo a optimizar. 

Fuente: Los autores

x ^max y Ẍ ^max corresponden al valor máximo de desplazamiento y aceleración de la estructura no controlada respectivamente, evaluados en el tiempo t y en el nivel de piso i. Las variables x(t)yẌ(t) son los valores de desplazamiento y aceleración del sistema controlado, evaluados en el tiempo t y en el nivel de piso i.

Para la operación del CLF-MR_I se definió una población inicial de 50 individuos, los cuales fueron optimizados durante un ciclo de 100 generaciones. En cada iteración se empleó un radio de convergencia para el operador de combinación ρ =0.80, con el objeto de mejorar la aptitud de cada individuo y para el operador de mutación ρ =0.10, con el propósito de evitar ciclos de convergencia temprana.

Los elementos que definen las características genéticas de cada individuo fueron estructurados en un cromosoma compuesto por los siguientes elementos: 20 reglas difusas constituidas por funciones de membresía gaussianas que fueron evaluadas en paralelo, los valores de aptitud para cada función objetivo, el rango y la distancia de hacinamiento asociada a cada cromosoma.

La Figura 8 presenta la configuración estándar empleada en esta investigación, para un cromosoma convencional empleado en el proceso de optimización del CLF-MR_I. Las variables α _p b ₁ , indican los parámetros para las funciones de membresía de desplazamiento, a _y b ₂ , los parámetros para las funciones de membresía de velocidad y a ₃ , b ₃ los parámetros para las funciones de membresía del voltaje.

Fuente: Modificado de (^{Kim y Kang, 2012})

Figura 8 Estructura de codificación para un cromosoma de CLF-MR_1 

4.4. Controlador CLF-MR_2

El CLF-MR_2 es un controlador de lógica difusa tradicional, que se encuentra conformado por un conjunto de 49 funciones de membresía triangulares. La configuración de estas funciones obedece al planteamiento desarrollado por ^{Liu et al. (2001)}. De forma semejante al CLF-MR_I, se emplearon como parámetros de entrada para el CLF-MR_2 los desplazamientos y velocidades del primer piso de la edificación y como único parámetro de salida, se definió el voltaje requerido por el amortiguador para generar las fuerzas de control. Este controlador busca mantener la estructura en una posición de equilibrio bajo la siguiente premisa: si la edificación se encuentra por fuera de su posición de equilibrio y tiende a alejarse de esta posición, entonces será necesario incrementar el voltaje. Por otro lado, si la estructura tiende a acercarse a la posición de equilibrio, será necesario disminuir la magnitud del voltaje, e incluso no aplicarse.

Para fuzzificar los parámetros de entrada del controlador, el desplazamiento y la velocidad fueron definidos en el intervalo [-1 1] y se emplearon los factores de escala η _d y η _v que se indican en las ecuaciones (11) y (12), respectivamente:

Donde k _d y k _v son los factores de escala para el desplazamiento y la velocidad respectivamente, X y Ẋ son los valores de entrada para el desplazamiento y la velocidad en el primer piso de la edificación, respectivamente.

La función de salida para el voltaje fue definida en el rango [0 1] y los resultados fueron desfuzzificados empleando la ecuación (13)

Donde V _max es el voltaje máximo que puede proporcionar el dispositivo MR y es el valor numérico de salida obtenido al evaluar los parámetros de entrada en el controlador.

En el sistema de inferencia para el controlador fueron empleados los siguientes parámetros lingüísticos: NG (negativo grande), NM (negativo mediano), NP (negativo pequeño), ZO (cero), PP (positivo pequeño), PM (positivo mediano), PG (positivo grande). La Tabla 3 presentan el sistema de inferencia definido para el CLF-MR_2. (^{Liu et al., 2001} ).

Tabla 3 Sistema de inferencia para el CLF-MR_2. 

Fuente: Modificado de (^{Liu et al., 2001})

4.5. Definición del modelo estructural

El modelo estructural empleado en esta investigación es un pórtico plano de 32 niveles, el cual forma parte de una edificación real localizada en la ciudad de Medellín, Colombia. La estructura tiene una altura aproximada de 97 m, el sistema principal de resistencia sísmica está compuesto por vigas en reforzado de 21 MPa y columnas en concreto reforzado con una resistencia a la compresión variable entre 21 MPa y 49 MPa. En el análisis estructural se utilizó la hipótesis de diafragma rígido reduciendo la matriz de rigidez a un solo grado de libertad por piso. La matriz de amortiguamiento se calculó empleando el amortiguamiento de Rayleigh, asumiendo un 5,0% del amortiguamiento crítico (Ç) para el primer y último modo de la edificación. La matriz de masa diagonal considera el peso propio de la estructura y la carga muerta sobreimpuesta debida al uso.

Mediante un procedimiento de análisis de tanteo y error se realizaron diferentes simulaciones variando la posición y cantidad de amortiguadores MR en la estructura para distintas aceleraciones de suelo. Se concluyó que la respuesta estructural de la edificación presenta un mejor comportamiento, cuando en el sistema se incluyen 6 dispositivos MR localizados en los niveles 1, 6, 12, 18, 24 y 30 de la edificación. La Figura 9 se presenta la localización de los amortiguadores MR utilizados, y la configuración en elevación de la estructura.

4.6. Registros sísmicos empleados

Fueron definidas ocho aceleraciones de suelo, las cuales se caracterizan por presentar diferentes registros frecuenciales y generan un grado de afectación relevante en el sistema principal de resistencia sísmica de la estructura. La Figura 10 presenta los espectros de aceleraciones de estos registros en el domino de la frecuencia, los cuales se obtuvieron empleando la Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform-FFT). La Tabla 4 provee la características generales de estos sismos, obtenidos de la base de datos del Center for Engineering Strong Motion Data-CESMD (The Center for Engineering Strong Motion Data (CESMD), n.d.).

Fuente: Elaboración propia

Figura 9 Alzado general de la edificación y localización de los amortiguadores MR 

Fuente: Elaboraciñon propia

Figura 10 Espectros de aceleraciones en el dominio de la frecuencia 

Tabla 4 Caracterización de las aceleraciones de suelo utilizadas 

Fuente: Elaboraciñon propia

5.1. Resultados generales de desempeño

Las Tablas 5 y 6 presentan los valores máximos de las respuestas RMS de aceleraciones y RMS de desplazamientos para los registros sísmicos analizados, respectivamente. Esta información permite establecer que el desempeño promedio de la respuesta máxima RMS de aceleraciones del CLF-MR_I, supera en un 24.6% a los resultados obtenidos con el CLF-MR_2. En relación con la respuesta máxima RMS de desplazamientos, el CLF-MR_I supera al FCL-2 en un 26.8 % Respecto al sistema no controlado el CLF-MR_I mejora en promedio un 54.5% la respuesta máxima RMS de desplazamientos y en un 33.0% la respuesta RMS de aceleraciones.

Tabla 5 Valores máximos para el parámetro RMS de aceleraciones 

Fuente: Elaboraciñon propia

Tabla 6 Valores máximos para el parámetro RMS de desplazamientos 

Fuente: Elaboraciñon propia

Se realizó un análisis de los índices de desempeño obtenidos con la implementación del NSGA-II en el controlador CLF-MR_I. El mejor índice desempeño que se obtuvo para la respuesta pico de aceleraciones, corresponde para el sismo de Kobe con un valor J = 0.480. En relación con la respuesta RMS de desplazamientos, el mejor resultado se obtuvo para el sismo de Nueva Zelanda con un valor J ₁ = 0.348. Para la función objetivo de la respuesta pico de desplazamientos, el valor con mejor desempeño corresponde al sismo El Centro con J ₃ = 0.319. La Tabla 7 presenta los valores obtenidos en las simulaciones realizadas, para cada una de las funciones objetivo.

Tabla 7 Resultados obtenidos de los índices de desempeño del NSGA-II para el controlador CLF-MR_1 

Fuente: Los autores

La Tabla 8 presenta las derivas máximas de piso que se obtuvieron en el análisis. Se observa que el mejor desempeño para el CLF-MR_I y el CLF-MR_2 se obtienen en el sismo El centro, en el cual hay una reducción en comparación con el sistema no controlado de 60.2% y el 44.0%, respectivamente.

Tabla 8 Derivas máximas de piso obtenidas en cada controlador 

Fuente: Los autores

La Figura 11 y la Figura 12 presenta los esquemas de las derivas máximas de piso, en cada una de las simulaciones realizadas, para los controladores CLF-MR_I, CLF-MR_2 y el sistema no controlado. En todos los casos los resultados obtenidos por el CLF-MR_I para este indicador de daño, son mejores en relación con el CLF-MR_2 y al sistema no controlado

Fuente: Elaboración propia

Figura 11 Derivas máximas de piso 

Fuente: Elaboración propia

Figura 12 Derivas máximas de piso 

5.2. Análisis particular del sismo de Kobe

En esta sección se analizará con un mayor detalle, los resultados de optimización generados con el CLF-MR_I a través del NSGA-II para el sismo de Kobe. Se ha seleccionado este registro de aceleraciones en particular, ya que fue la simulación en la cual se obtuvieron los mejores resultados de optimización, para las funciones objetivo propuestas en el análisis.

De forma similar a los demás registros de aceleraciones seleccionados, en este caso fueron optimizados 50 controladores de lógica difusa durante 100 generaciones. El procedimiento de optimización de estos controladores fue desarrollado empleando la metodología de control propuesta para el CLF-MR_I, a través del NSGA-II.

Se definieron 20 reglas difusas compuestas por funciones de membresía gaussianas caracterizadas por los parámetros a _p b _p según lo indicado en la ecuación 10. Se emplearon las variables de desplazamiento y velocidad del primer piso de la edificación como parámetros de entrada del sistema de inferencia y el voltaje como único parámetro de salida.

La Tabla 9 presenta los resultados de los parámetros para el controlador con mejor desempeño, caracterizado por tener el menor valor del rango y el mayor valor para la distancia de hacinamiento. En este caso a _p b¡ son los parámetros del desplazamiento a ₂ , b ₂ son los parámetros de la velocidad y a ₃ , b ₃ son los parámetros del voltaje. Las Figuras 13. 14 y 15 indican la representación gráfica de las funciones de membresía para el desplazamiento, la velocidad y el voltaje, respectivamente. La Figura 16 indica el gráfico de superficie generado por las funciones de membresía del controlador seleccionado.

Tabla 9 Para optimizados por el NSGA-II para el controlador CLF-MR_1 

Fuente: Los autores

Fuente: Los autores

Figura 13 Funciones de membresía para el desplazamiento del CLF-MR_I 

Fuente: Los autores

Figura 14 Funciones de membresía para la velocidad del CLF-MR_1 

Fuente: Los autores

Figura 15 Funciones de membresía para la aceleración del CLF-MR_1 

Fuente: Los autores

Figura 16 Diagrama de superficie difusa para el CLF-MR_1 seleccionado 

La Figura 17 presenta la evolución de la aptitud de control de las funciones objetivo (j _p J ₂ y J ₃ ), para los controladores generados por el NSGA-II en las generaciones 01, 25, 50 y 100, respectivamente. En este esquema se observa que los individuos de las primeras generaciones se encuentran dispersos entre ellos y en la medida que aumenta el número de generaciones, los individuos convergen a un espacio del conjunto de soluciones más puntualizado.

Fuente: Los autores

Figura 17 Evolución de la aptitud de control optimizados por el NSGA-II 

La Figura 18 realiza una comparación del desempeño de los individuos de la última generación, de acuerdo con las funciones objetivo-propuestas en análisis. Los resultados generados por el controlador que presenta un mejor desempeño fueron diferenciados mediante una marcación de color rojo en las gráficas.

Fuente: Los autores

Figura 18 Comparación de las funciones objetivos para los individuos de la última generación 

La Figuras 19 y 20 presentan las curvas características del comportamiento histerético generadas por el amortiguador MR. Teóricamente, la superposición de las áreas generadas por estas curvas, representan la cantidad de energía que disipa el amortiguador MR durante la simulación.

Fuente: Los autores

Figura 19 Curva de histéresis para el ciclo de velocidad del amortiguador MR 

Fuente: Los autores

Figura 20 Curva de histéresis para el ciclo de desplazamiento del amortiguador MR 

Fuente: Los autores

Figura 21 Variación de la curva de voltaje en el tiempo del amortiguador 

La Figura 21 indica la curva de voltaje en función del tiempo para los amortiguadores MR empelados en el caso de estudio. Una de las características más destacables en el comportamiento de este amortiguador, se asocia con las condiciones de variación del voltaje. El controlador asigna valores altos de voltaje, cuando el desplazamiento del último nivel de la edificación aumenta considerablemente. Esta tendencia permite ejercer un mejor control en la función de respuesta de la edificación.

5.3. Discusión

El enfoque principal de la metodología de control propuesta con el CLF-MR_1, busca evaluar la capacidad que tiene este controlador para optimizar fuerzas de control en estructuras sometidas a cargas sísmicas. De forma alterna se elaboró un segundo controlador llamado CLF-MR_2 que operan con lógica difusa tradicional, con el fin de contar con una metodología de control alterna que permita comparar el grado de desempeño del CLF-MR_1.

En términos generales se observa los dos sistemas de control propuestos presentaron un nivel de desempeño superior durante las simulaciones realizadas. Respecto a los resultados obtenidos para el sistema no controlado se alcanzaron reducciones de hasta un 57.2% en los valores máximos de la respuesta RMS de aceleraciones y una reducción de hasta un 65,2% para los valores máximos de la respuesta RMS de desplazamientos.

Adicionalmente, se evidencia que los resultados de estas reducciones para el CLF-MR_1 son significativamente mejores en comparación con los resultados obtenidos con el CLF-MR_2. El CLF-MR_1 supera al CLF-MR_2 hasta en un 9,8% para el caso de la respuesta máxima RMS de aceleraciones y hasta en un 21,8% para el caso de la máxima RMS de desplazamientos. De otro lado se pudo verificar que al ejercer un control sobre los parámetros de desplazamiento y aceleración empleando las funciones objetivo en el controlador CLF-MR_1, se realiza de forma indirecta un control para reducir las derivas máximas de piso de la edificación, en las cuales se alcanzaron reducciones no inferiores a un 20.3%, respecto al sistema no controlado.