Abstract

By using an argument based on the structure of the locally compact scattered spaces, we prove in a direct way the following result shown by Jech and Shelah: there is a family {B_α: α < ω₁} of subsets of ω₁ such that the following conditions are satisfied:

(a) max B _α - α,

(b) if α ∈ B _β then B_α ⊆ B _β,

(c) if δ ≤ α and δ is a limit ordinal then B_α ∩ δ is not in the ideal generated by the sets B_β, β < α, and by the bounded subsets of δ,

(d) there is a partition {A_n: n ∈ ω} of ω₁ such that for every α and every n, B _α ∩ A _n is finite.

Keywords: PCF theory; locally compact scattered space

Resumen

Utilizando un argumento basado en la estructura de los espacios localmente compactos dispersos, demostramos de una manera directa el siguiente resultado de Jech y Shelah: existe una familia {B_α: α < ω₁} de subconjuntos de ω₁ que verifica las siguientes condiciones:

(a) max B _α - α,

(b) si α ∈ B _β entonces B _α ⊆ B _β,

(c) si δ ≤ α y δ es un ordinal límite, entonces B_α ∩ δ no pertenece al ideal generado por los conjuntos B_β, β < α, y por los subconjuntos acotados de δ,

(d) existe una partición {A_n: n ∈ ω} de ω₁ tal que para todo α y para todo n, B _α ∩ A_n es finito.

Palabras clave: teoría PCF; espacio localmente compacto disperso