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1 Introducción
El sistema de transporte público es un componente básico en la estructura social, económica y física de un área urbana, y debe ser efectivo, confinable y sostenible. En América Latina, el estado de las redes de transporte y sus componentes es heterogéneo, no podría afirmarse que todos los países latinoamericanos tienen las mismas condiciones de movilidad. Sin embargo, las problemáticas se podrían generalizar en rutas superpuestas, frecuencias inadecuadas, flotas mal calculadas, tiempos de espera excesivos y desconexión de las estrategias con la demanda real de los sistemas1) . Esto explica la pérdida progresiva de participación de los sistemas de transporte público que, debido al crecimiento económico, la apertura de mercados y una clara inconformidad de los usuarios, ha aumentado las tasas de uso de automóviles2, que en el largo plazo empeoran el problema de movilidad3. La problemática generalizada del transporte público se presenta desde los años 70 sin tener cambios reales que apalanquen un transporte sostenible económica y socialmente, capaz de discernir una nueva movilidad para una nueva sociedad4) . Esto incluye tomar en consideración el entorno económico de los países latinoamericanos y aspectos claves como los costos, traducidos en las tarifas de acceso al sistema, tiempos de viaje y el volumen de pasajes consumidos entre zonas, que varía en el tiempo e implica finalmente una demanda cambiante del sistema. Estas características son contempladas en el Transit Network Design Problem, un problema multiobjetivo5, de optimización combinatoria, que ha sido abordado desde la década de los 60. La mayoría de los casos mencionados han asumido demanda constante, alejando de la realidad los modelos y métodos de solución empleados. Con base en lo anterior y evidenciando las oportunidades de contribución que presenta el problema descrito, se busca articular las estrategias relativas al transporte público con el entorno real que requiere el sistema, en términos de demanda, necesidades de tiempo, confiabilidad y con las restricciones económicas, que de ignorarse pueden hacer el sistema menos eficiente. Para lograrlo, se plantea solucionar el Transit Network Design Problem (TNDP) mediante la metaheurística6 de Búsqueda en Vecindades Variables (VNS por sus siglas en inglés)7. El TNDP abordado tiene en cuenta demanda multiperiodo, ya que ha sido poco estudiada hasta el momento. Por su parte la metaheurística VNS presenta características apropiadas para solucionar este tipo de problemas, tales como simplicidad, coherencia por los pasos que la componen, eficiencia en sus soluciones, fácil aplicabilidad y robustez, ya que da buenas soluciones en diferentes instancias8.
El presente trabajo se estructura de la siguiente manera: En la sección 1 se realiza un resumen de cómo ha sido abordada la problemática hasta el momento en la literatura, en la sección 2 se formula matemáticamente el problema, en la sección 3 se describe el método de solución utilizado, basado en el VNS, en la sección 4 se presentan los resultados obtenidos tanto para el caso práctico aplicado (Red de Mandl), como para la variación del problema basado en la demanda multiperiodo, con sus respectivos análisis y en la sección 5 se presentan las conclusiones y trabajos futuros.
2 Estado del arte
El TNDP ha sido definido como el problema del diseño óptimo de recorridos y frecuencias para transporte público, y puede ser encontrado en la literatura también como Urban Transit Network Design Problem (UTNDP), Transit Route Network Design (TRND) o Bus Transit Route Network Design Problem (BTRNDP) 9.
Es un problema con objetivos en conflicto, ya que para los usuarios se trata de la minimización de tiempos de viaje, de espera y de trasbordo, mientras que los operadores buscan la minimización de sus costos representados generalmente en el tamaño de la flota requerida. Las decisiones son el conjunto de recorridos de transporte urbano y sus frecuencias asociadas, bajo restricciones de demanda, nivel de servicio y disponibilidad de flota. Respecto a la restricción de demanda los únicos autores que han trabajado la demanda multiperiodo en el tiempo son 10 y 11. La naturaleza multiobjetivo es resumida en la mayoría de la literatura consultada en una sola formulación, lo que requiere la estimación de coeficientes de conversión para cada función objetivo con el fin de unificarlo, como presentan autores como 12),(13),(14),(10),(15 y 16. Las formulaciones presentadas por 17),(18),(19),(20),(21 y 22 separan la función objetivo de usuarios y operadores en dos ecuaciones independientes. Esta tendencia, adoptada en los estudios desarrollados en los últimos años, será acogida en el presente trabajo.
Respecto a las restricciones, son comúnmente encontradas las cotas mínimas de las frecuencias, el tamaño de la flota, la duración máxima de los recorridos y el factor de ocupación de los buses, con pocas diferencias en la formulación. Las restricciones establecen los elementos que definen el diseño del sistema de transporte público que se quiere modelar 23.
Por otro lado, la dificultad del problema ya ha sido analizada, especialmente, por 24. Por ser clasificado como un problema NP-Hard 25 se conocen solo dos estudios que formulen el problema de manera exacta 26 y 27. Los algoritmos encontrados son aproximados y pueden dividirse en heurísticas puras o metaheurísticas. Las heurísticas operan normalmente construyendo una solución y agregando de a un componente (nodo o arco) y verificando óptimos locales; se detienen al encontrar la primera solución factible 28.
Las metaheurísticas son utilizadas en los trabajos más recientes para este problema en particular. Se han implementado mayoritariamente Algoritmos Genéticos 29 por autores como 30),(31),(32),(33),(34 y 11. Sin embargo, en los últimos años, se han presentado otras metaheurísticas tanto de trayectoria como de población, como Búsqueda Tabú 35, Algoritmos Ávidos Aleatorios 36, Algoritmo de Recocido Simulado 15, Optimización de Colonia de Abeja 20, Algoritmo Hub and Spoke 21 y más recientemente Algoritmo Genético con Elitismo 22.
La metaheurística seleccionada (VNS) no ha sido empleada para resolver este el TNDP. Sin embargo ha sido utilizada exitosamente de manera individual o híbrida con otras metahurísticas para resolver problemas de localización como los descritos en 37),(38) y (39; el Problema de la mochila y sus variantes 40; los problemas de carga de contenedores como Bin Packing 41 y Strip Packing 42; la programación de horarios y organización de Operarios 43),(44),(45); los problemas de programación de la producción 46),(47),(48),(49),(50),(51; y ruteo de vehículos con sus diferentes extensiones descritos en 52),(53),(54),(55.
Respecto a las medidas de desempeño de las soluciones multiobjetivo, se utilizó para este problema el hipervolumen, que calcula el volumen en el espacio de las funciones objetivo, cubierto por las soluciones de un frente de Pareto aproximado P, para problemas de minimización en todos los objetivos. Se define en 34 como:
donde vi es el área que generan las soluciones de cada frente. Para su cálculo, es necesaria la definición de un punto de referencia W, que toma
los mayores valores de los objetivos en las soluciones del frente.
3 Formulación del problema
A continuación se detalla el modelo matemático propuesto de Programación No Lineal Entera Mixta.
Notación:
Conjuntos:
l: Nodos
L: Jornada{1: mañana, 2: tarde, 3: noche}
R: Recorridos posibles entre la red
Parámetros:
tijr : Tiempo de ir del nodo i al j en el tipo de recorrido r. ∀ i,j ∈
I, ∀ r ∈ R.
dijl : Demanda del nodo i al j en la jornada l. ∀ i,j ∈ I, ∀ l ∈ L.
C:Capacidad en cada bus incluyendo pasajeros sentados y de pie.
Domin : Demanda mínima a cubrir con viajes directos ( %).
vmin : Frecuencia mínima.
vmax : Frecuencia máxima.
bir : 1 si el recorrido tipo r pasa por el nodo i, 0 sino. ∀ i ∈ I, ∀ y ∈ R.
tt: Tiempo de trasbordo.
tl : Duración de la jornada l, ∀ l ∈ L.
W: Número muy grande.
Variables de decisión:
● Xrl : Cantidad pasadas (viajes)de tipo r que se hacen en la jornada
● L(s). ∀ r ∈ R, ∀ l ∈ L.
● P dijsrl : Cantidad de personas que van con viaje directo del nodo i al nodo j en el recorrido s del tipo de recorrido r que se hacen en la jornada l. ∀i, j ∈ I, ∀ r ∈ R, ∀ l ∈ L, ∀s = 1 , ...Xrl .
P timjs 1r1s2r2l: Cantidad de personas que hacen transbordo en el nodo m, es decir, cantidad de personas que van del nodo i al nodo m en el número de recorrido s 1 del tipo de recorrido r 1 y del nodo m al nodo j en el número de recorrido s 2 del tipo de recorrido r 2 que se hacen en
la jornada l. ∀ ijm ∈ I, i Xr 2k , ∀ l ∈ L. j ƒ= m, ∀ r 1,r2 ∈ R, r 1 ƒ= r 2, ∀ s 1 = 1,... Xr 1k ,
teijrl : Tiempo de espera promedio del nodo i al nodo j en el tipo recorrido r en la jornada l. ∀ i,j ∈ I, ∀ r ∈ R, l ∈ L.
Funciones objetivo:
(1)
(2)
Sujeto a:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Supuestos:
No se modela la congestión. El costo del arco ij es el mismo sin importar el flujo de personas.
Demanda inelástica (igual para todas las soluciones).
Demanda multiperiodo en el horizonte horario. Típicamente las primeras horas de la mañana implican un alto flujo de movimiento hacia zonas céntricas y comerciales, y ese patrón de movimientos se invierte en las últimas horas de la tarde. Requiere varias matrices de demanda, dependiendo del horario.
Sólo se permite un trasbordo.
Descripción de las ecuaciones:
La Ecuación (1) corresponde a la primera función objetivo, la cual mide la totalidad del tiempo que demoran todos los pasajeros atendidos tanto por viajes directos como por trasbordo, tiendo en cuenta tiempo de viaje, tiempo en espera y tiempo de trasbordo.
La Ecuación (2) corresponde a la segunda función objetivo, que mide la totalidad de buses que se requieren para atender la totalidad de la demanda. Esta cantidad está dada por el tiempo total de todos los recorridos dividido en el tiempo de las tres jornadas.
El conjunto de restricciones (3) permite que se satisfaga toda la demanda, la primera parte de la ecuación relaciona los viajes directos. La segunda parte de la ecuación mide la cantidad de personas que van del nodo i al nodo j mediante un nodo de trasbordo m. Dado que solo se permite un trasbordo se contemplan los recorridos s 1 que va de i al nodo m y un recorrido s 2 que va de j al nodo m. La suma de ambas ecuaciones debe ser igual a la demanda total requerida.
La restricción (4) permite que se cumpla la cantidad mínima de demanda (en personas) cubierta por viajes directos. Permite altos porcentajes de cubrimiento con viajes directos en una jornada, y bajos en otra, mientras en total se respete el límite definido.
El conjunto de restricciones (5) asegura que no se supera la capacidad de los buses en cada recorrido s del tipo de recorrido r saliendo del nodo i.
El conjunto de restricciones (6) relaciona de las pasadas de cada tipo de recorrido r con la demanda, la cantidad de pasadas para un tipo de recorrido r está dada por la demanda de los nodos i y j que utilizan ese recorrido, y limitado por la capacidad de los buses.
El conjunto de restricciones (7) asegura que se cumplan los límites de las pasadas (frecuencias). Los parámetros de frecuencia mínima y máxima restringen los valores de las pasadas en cada recorrido y jornada. Se manejan los mismos valores para todo el día. Esto se restringe dado que valores de frecuencia muy bajos implican tiempos de espera altos y frecuencias muy altas mejora la percepción de los usuarios sin embargo requieren una gran cantidad de buses.
El conjunto de restricciones (8) calcula el tiempo de espera promedio para ir del nodo i al nodo j. El tiempo entre pasadas entre un bus y otro para un tipo de recorrido r en la jornada l será el tiempo que dura cada jornada dividido en el número de pasadas que se hacen en dicha jornada para un tipo de recorrido. Así, el tiempo promedio de espera de una persona para ir del nodo i al nodo j es el tiempo entre pasadas dividido en dos.
El conjunto de restricciones (9) asegura que las variables de cantidad de pasajeros que van por viaje directo Pdijsrl puedan solo tomar valores cuando el tipo de recorrido r pasa por los nodos i y j.
El conjunto de restricciones (10) Asegura que las variables de cantidad de pasajeros que van por viaje indirecto Pt ( imjs 1 s 2 r 1 r 2 l ) puedan solo tomar valores cuando el tipo de recorrido r 1 pasa por los nodos i y m, y el recorrido tipo r 2 pasa por los nodos m y j.
El conjunto de restricciones (11) corresponde a la condición de no negatividad y valores enteros que deben tomar las variables de la cantidad de pasadas que debe hacer un tipo de recorrido r en una jornada l.
El conjunto de restricciones (12) asegura que los valores de tiempos de espera sean mayores que cero.
El conjunto de restricciones (13) corresponde a la condición de no negatividad y valores enteros que deben tomar las variables de la cantidad de personas que van por viajes directos
El conjunto de restricciones (14) corresponde a la condición de no negatividad y valores enteros que deben tomar las variables de la cantidad de personas que van por viajes indirectos.
4 Métodos de solución
La metaheurística VNS consta de tres fases 56:
De construcción, en la cual se genera una solución inicial. Esta solución inicial será reemplazada posteriormente dada una determinada estructura de vecindario. Esto conducirá a una búsqueda desde una nueva solución inicial a otras soluciones de manera estocástica.
De evaluación, que evalúa la función objetivo mediante el modelo de asignación descrito a continuación.
De mejora, donde se realiza una búsqueda local sobre la solución inicial y se genera un movimiento, al comparar el valor de la función objetivo de la nueva solución con la mejor solución hasta el momento.
Si existe mejora se buscará una nueva solución desde un vecindario más pequeño. Si no mejora, se buscará una nueva solución desde un vecindario más grande.
Para detallar el método de solución se utilizará la misma notación de la formulación matemática. Sin embargo, existen términos adicionales que requiere la metaheurística, los cuales se describen a continuación:
tcij : Tiempo del camino más corto (según los tiempos de sus arcos en la red) entre los nodos i y j utilizando exclusivamente recorridos de la solución S.
ϕijr : Conjunto de flujos para ir de i a j mediante el tipo de recorrido r, que representan la carga del recorrido en términos de la demanda. Los flujos se representan por la cantidad de personas que se carga a un bus en cada recorrido.
b: Filtro de recorridos candidatos en la selección de líneas competentes para un mismo par de nodos (i, j). No se consideran recorridos cuyo largo exceda el recorrido más corto que une a i con j multiplicado por b.
g: Igual que b pero con trasbordos.
NH : Número total de líneas.
4.1 Fase de construcción
La solución inicial se basa en el algoritmo propuesto en 20, el cual considera una línea de bus H, cuyas terminales son i y j. Se basa en encontrar el camino más corto entre los terminales definidos (i y j) y el algoritmo se describe a continuación:
Datos de entrada:
Matriz cuadrada de demandas entre los nodos del problema. U nidades: Pasajeros/Minutos.
Matriz cuadrada de tiempos entre los nodos del problema. U nidades: Minutos.
Cantidad de líneas deseadas, típicamente se utilizan 4, 6 y 8 líneas de buses para configurar las rutas.
4.1.1 Algoritmo de construcción de la solución inicial
Paso 1. Considerar la línea H, que contiene los nodos de la ruta más corta para ir de i a j. NH es el conjunto de nodos en la línea. La pareja i, j es la combinación de todos los nodos de la red.
Paso 2. Empezar a conectar con servicio directo los pares de nodos que tienen los valores más grandes de dijl , (∀ i,j ∈ NH , l ∈ L).
Introducir el número total de líneas de buses NH en la red. Iniciar
cont = 1.
Encontrar el par de nodos que tienen los valores más altos de dijl . Fijar estos nodos como a y b. Los nodos a y b son las terminales de la nueva línea de bus H.
Encontrar el camino más corto entre esos dos nodos utilizando la matriz de tiempos dada. Los nodos que pertenecen al camino más corto entre a y b representan las paradas en la línea de buses. Agregar la línea H en el conjunto de líneas.
Actualizar la matriz dijl , sin tener en cuenta las demandas de pasajeros que ya ha sido satisfecha.
Si cont es igual a NH parar, sino cont = cont + 1 y regresar a 2.
Datos de salida:
Configuración de las rutas: lista de rutas indicando nodos terminales (A y B).
Cantidad de viajes de cada ruta: En función de las demandas de los arcos que lo componen y la capacidad de los buses para cada jornada. Se utiliza este criterio asumido como válido para horas de alta afluencia.
4.2 Fase de evaluación
Para evaluar tanto la solución inicial construida en la fase de construcción como las soluciones que se generan en la Fase de Mejora se utiliza un Modelo de Asignación, basado en el modelo utilizado por 12, mediante el cual, cada solución S, se conoce para cada par de nodos (i, j), de la red el conjunto de recorridos de R que pueden ser utilizados para transportar la demanda dijl .
El Modelo de Asignación considera la posibilidad de transbordos para pares origen-destino que no comparten recorridos y tiene como criterio principal la minimización de transbordos, lo cual significa que siempre que un pasajero tenga la posibilidad de hacer un viaje directo, lo hará incluso si implica más tiempo que un viaje con transbordo factible.
Para implementar la fase de evaluación se requiere como dato de entrada la Solución S: Conjunto de Rutas y Frecuencias y los parámetros definidos hasta el momento.
Como resultado del Modelo de Asignación se tendrán las dos funciones objetivo definidos en el m modelo matemático (Z1 y Z2) y se calcularán cuatro medidas de desempeño adicionales:
Z 1: Corresponde al mismo Z 1 explicado y detallado en la formulación matemática.
Z 2: Corresponde al mismo Z 2 explicado y detallado en la formulación matemática.
dol : Es la proporción de viajes directos satisfechos por la solución S, de la jornada l.
do 1 l : Es la proporción del total de la demanda satisfecha con viajes directos o con al menos un transbordo por los recorridos de la solución S de la jornada l.
dnsl : Demanda no satisfecha de la jornada l.
AT T: (Average Travel Time) Tiempo promedio de viaje en minutos (Incluyendo tiempos de transferencia), de la jornada l.
Algoritmo de Asignación
Considerando los costos (tiempos de los arcos) y la capacidad de los buses, toma como entrada el conjunto de rutas y sus respectivos recorridos para determinar los flujos de personas en cada arco, los tiempos de viaje, en espera y de transbordo y finalmente las funciones objetivo descritas. A continuación se especifica el pseudocódigo, donde n es el tamaño de la red:
Considerando los costos (tiempos de los arcos) y la capacidad de los buses, toma como entrada el conjunto de rutas y sus respectivos recorridos para determinar los flujos de personas en cada arco, los tiempos de viaje, en espera y de transbordo y finalmente las funciones objetivo descritas. Acontinuación se especifica el pseudocódigo, donde n es el tamaño de la red:
4.3 Fase de mejora
En esta fase se utiliza en mayor medida la metaheuristica definida: VNS, la cual no sigue una trayectoria sino que explora vecindarios distantes de la solución actual y salta de esta solución a una nueva si y solo si una mejora ha sido realizada.
Por estas características favorables de la solución actual son guardadas y usadas para obtener vecindarios con soluciones promisorias. En esta fase se realiza una búsqueda local sobre la solución inicial, aplicada sobre los recorridos completos y se genera un movimiento, al comparar el valor de la función objetivo de la nueva solución con la mejor solución hasta el momento. Si no mejora, se buscará una nueva solución desde otro vecindario.
A continuación se presentan las descripciones y los macroalgoritmos de los vecindarios definidos:
Inserción de nodos:
Seleccionar un nodo de manera aleatorio (primero entre los nodos que no se encuentran en la solución, posteriormente de todos los nodos) que tenga más de dos conexiones y escoger la mejor posición factible. Previamente validar si se puede incluir como extremo de la ruta, de no ser posible valida si se puede incluir en el medio, es decir en cualquier posición que no sea extrema.
Cruce de rutas:
Seleccionar un nodo de manera aleatoria (primero entre los nodos que no se encuentran en la solución, posteriormente de todos los nodos) que se encuentre en mínimo dos rutas. El nodo seleccionado será el punto de quiebre de ambas rutas y los extremos opuestos se intercambian para formar tres nuevas rutas (o las que sean factibles de acuerdo al grafo inicial).
Movimiento de arcos:
Un arco es removido de una ruta e insertado en un lugar mejor (factible) de la misma ruta o de otra ruta. Se selecciona el arco en orden de mayor a menor peso. El peso se calcula de acuerdo a la cantidad de cambios factibles (con conexiones existentes) dentro de las rutas actuales. Si el arco con mayor peso solo está presente en un arco, se descarta dado que no se puede realizar el movimiento.
Duplicación de arcos:
Se efectúa de manera similar al vecindario de Movimiento de Arcos. Sin embargo, el arco no es eliminado de su ruta original. Se mantiene la priorización de arcos de acuerdo a los pesos dados por los cambios factibles, de igual manera se descartan los arcos que no pueden ser duplicados por encontrarse solo en una ruta.
Equilibrio de rutas:
En este vecindario se itera para lograr que todas las rutas tengan la misma cantidad de arcos, tomando como referencia la ruta más larga de la configuración dada. Esto con el fin de balancear las cargas de los flujos entre rutas, dado que las configuraciones iniciales de la fase de construcción tienden a cargar en mayor medida las primeras rutas elaboradas. Cuando se logran rutas más largas se favorecen ambas funciones objetivo, minimizando los tiempos de transbordo y frecuencias requeridas.
Verificar cual es la ruta más larga de la configuración actual de rutas
Identificar las rutas que tiene una cantidad menor de nodos
Para cada ruta hacer:
Calcular el GAP entre el máximo y la cantidad de nodos de la ruta
Agregar la mayor cantidad de nodos posibles hasta alcanzar el máximo o aproximarse lo que más se sea posible
Actualizar la nueva configuración de la ruta
5 Resultados obtenidos
El modelo fue probado en primera medida para el caso con demanda estática, utilizando como datos de entrada el problema de la Red de Mandl. Lo anterior con el fin de referenciar los resultados con otros autores que previamente la han utilizado. Posteriormente se solucionó el problema con demanda multiperiodo, para lo cual se desarrollaron 12 instancias, de 3 tamaños diferentes (15, 30 y 45 nodos). Las demandas cambian de acuerdo al momento del día en que se encuentra (Mañana, tarde o noche) mediante la variación de las matrices por instancia.
5.1 Red de Mandl - caso práctico
Existen pocos casos de estudio para probar el TNDP en la literatura existente, cuya descripción sea completa y con los datos detallados. Tampoco es sencillo encontrar resultados numéricos existentes para realizar comparaciones, dado que las implementaciones se realizan sobre casos particulares con hipótesis no especificadas. Para este trabajo se seleccionó la Red más utilizada entre investigadores previos del TNDP, la cual fue creada por Mandl 57, como un caso de estudio de una ciudad no especificada de Suiza. Consiste en 15 nodos y 21 arcos, y un matriz origen destino simétrica. En la Figura 1 se muestra la red de Mandl gráficamente
5.2 Resultados con demanda constante
El modelo es probado inicialmente con demanda constante con el fin de compararlo con autores que anteriormente han solucionado el TNDP. Se presentan todos los resultados para 4 rutas.
5.2.1 Solución inicial En la Tabla 2 se detalla la solución inicial para 4 rutas
5.3 Solución ftnal
A continuación, se describen las soluciones encontradas mediante ciertas combinaciones de vecindarios, llamadas configuraciones. El algoritmo VNS propuesto fue implementado en RStudio en un procesador 
i5 CPU M460 2.53 GHz.
Las configuraciones realizadas fueron:
Equilibrio de Rutas - Inserción de Nodos - Cruce de Rutas.
Inserción de Nodos - Movimiento de arcos - Cruce de Rutas.
Inserción de Nodos - Duplicación de arcos - Movimiento de arcos.
Cruce de Rutas - Inserción de Nodos - Duplicación de arcos - Movimiento de arcos.
Inserción de Nodos - Cruce de Rutas - Equilibrio de Rutas - Movimiento de arcos.
Duplicación de Rutas - Movimiento de arcos - Cruce de Rutas.
Inserción de Nodos - Cruce de Rutas - Equilibrio de Rutas - Movimiento de arcos - Duplicación de Arcos.
A continuación se presentan los resultados de la configuración 2 (Inserción de Nodos - Movimiento de arcos - Cruce de Rutas) y configuración 5 (Inserción de Nodos - Cruce de Rutas - Equilibrio de Rutas - Movimiento de arcos), por las buenas medidas de desempeño que presentaron. En las Figuras 1 y 2 se presentan las Fronteras de Pareto respectivas y en las Tablas 4 y 5 se presentan las rutas con mejor desempeño de acuerdo a su ATTl para cada configuración. Las medidas de desempeño de las demás configuraciones se presentan en la Tabla 6.
Conftguración 2: Inserción de nodos - Movimiento de arcos - Cruce de rutas:
Conftguración 5: Inserción de nodos - Cruce de rutas - Equilibrio de rutas - Movimiento de arcos:
Medidas de desempeño obtenidas En la Tabla 5 se resumen las medidas de desempeño de la mejor solución de las configuraciones planteados (de acuerdo a su ATT )
Medidas de desempeño autores
En la Tabla 6 se resumen las medidas de desempeño obtenidas por otros autores que han estudiado el problema previamente.
5.3.1 Análisis de resultados En términos generales los resultados obtenidos con la metaheurística de VNS fueron positivos, comparados con los autores citados. Su comportamiento se resume en las siguientes afirmaciones:
En todas las configuraciones se mantiene la demanda no satisfecha en 0 %, lo cual mantiene el nivel de servicio de los trabajos realizados en los últimos años.
Respecto a la demanda atendida con viajes directos la configuración 4 presenta un comportamiento inferior a las demás configuraciones (86 %), muy cercano al promedio de los autores citados (84 %). Las demás configuraciones tienen un comportamiento similar superior al 93 % de cobertura directa.
El tiempo promedio de viaje (ATT ) es muy sobresaliente en las configuraciones 2, 4 y 5. Sin embargo los configuraciones 2 y 5 tiene buenos tiempos promedio manteniendo porcentajes de demanda atendida directamente de 94 %, superior a la configuración 4 que obtiene 86 %. En general, todas las configuraciones obtienen mejores tiempos que el mejor encontrado hasta ahora, excepto la configuración 3, cuyo valor es muy similar.
La configuración 3 presenta el hipervolumen más alto, lo que permite concluir que tiene soluciones cercanas al valor de referencia. Por el contrario, las configuraciones 1 y 6 presentan un hipervolumen por debajo de 0.5. Respecto a otras medidas de desempeño como el ATT , las configuraciones 2 y 5 tienen los valores más bajos, lo que presenta una relación positiva entre ambas funciones objetivo.
5.4 Resultados con demanda variable
Para ejecutar el modelo con Demanda Variable, se modifican las demandas de manera que se ejecuta a la vez con demanda de mañana, tarde y noche. Las demandas de la tarde son las del problema original y se hacen modificaciones para la mañana y noche, tratando de simular el movimiento de las personas hacia ciertos sectores “laborales” y en la noche de regreso a los puntos “residenciales”.
La configuración del grafo y los costos asociados a sus arcos se mantiene respecto del problema original.
5.4.1 Soluciones iniciales En las Tablas 7, 8 y 9 se detallan las configuraciones de las soluciones iniciales para mañana, tarde y noche respectivamente:
5.4.2 Soluciones ftnales Para hacer comparable el desempeño del modelo cuando se tiene demanda variable, se mantienen las configuraciones definidas anteriormente. Se muestra a continuación el desempeño del modelo al ingresar las 3 demandas de manera simultánea y la configuración de las rutas para atender de manera multiperiodo la demanda a lo largo del día.
De manera similar a demanda constante, se presentan en detalle los resultados de las configuraciones 2 y 5. En las Figuras 3 y 4 se encuentran las Fronteras de Pareto de cada configuración y en las Tablas 10 y 11 se detallan las rutas con mejor desempeño de acuerdo a su ATT para cada configuración.
Para las demás configuraciones se presenta la Tabla 12 con las medidas de desempeño comparadas con demanda constante y multiperiodo.
Conftguración 2: Inserción de Nodos - Movimiento de arcos - Cruce de Rutas
5.4.3 Análisis de soluciones En la Tabla 12 se presentan las medidas de desempeño del modelo de acuerdo a las configuraciones propuestos tanto en demanda estática como multiperiodo. Se analiza de la siguiente manera:
La configuración número 1. Equilibrio de Rutas - Inserción de Nodos - Cruce de Rutas presenta la mayor variación en la cantidad de buses entre las 3 jornadas propuestas, respecto a los resultados con la demanda estática, de acuerdo a los resultados de la primera función objetivo. Cómo opción es posible mantener en 7 la cantidad de buses, lo que aumentaría el tiempo promedio por pasajero en 4 % ya que algunos pasajeros tendrían que esperar más por el siguiente servicio (disminución de la frecuencia).
En las configuraciones como la 2, 5 y 6 se requieren menos buses (Z2) cuando la demanda se toma variable que cuando se mantiene estática en toda la jornada. Lo anterior aumentando en 8 % el tiempo que esperan los pasajeros en total y 1 % el tiempo promedio por pasajero.
La configuración 3. Inserción de Nodos - Duplicación de arcos - Movimiento de arcos, presenta los mayores valores para los costos de los operadores, tanto en demanda estática como variable, alcanzando en este último el valor de 12 buses para la mañana. De manera similar, en esta misma comparación, los tiempos para los usuarios promedio (ATT ) también son los más altos, alcanzado 13.49 minutos/pasajero para la tarde.
En las configuraciones 4 y 7, se encuentra una mejora en los tiempos que utilizan los pasajeros para ir de un nodo a otro cuando se cambia de demanda estática a demanda variable, especialmente en la 7. Inserción de Nodos - Cruce de Rutas - Equilibrio de rutas - Movimiento de Arcos - Duplicación de Arcos. Esta mejora en los tiempos no impacta la cantidad de buses que requieren en cada jornada, ya que se mantienen en 4 y 5 buses respectivamente.
Las soluciones encontradas por la configuración 1 representan los mejores valores de la función objetivo 1, es decir, los mejores tiempos de los usuarios medidos en minutos. Sin embargo, existen otras combinaciones con mejores valores en la función objetivo 2.
Tiempos de ejecución: Se realizó un análisis de los tiempos de ejecución para cada configuración con 100 iteraciones tanto en demanda variable como en demanda constante. En promedio se tiene un tiempo para demanda constante de 51 segundos, tiempo máximo de 62 segundos. La desviación obtenida de 4.6 segundos se considera razonable. Para demanda variable, se obtuvieron tiempos de 2 minutos 45 segundos en promedio, tiempo máximo de 2 minutos 59 segundos y desviación de 10 segundos. Se consideran estos resultados razonables y similares a los presentados en trabajos anteriores que oscilan entre 47 y 101 segundos para demanda constante con métodos y herramientas de diferentes características a las presentadas en este trabajo.
Comparación de soluciones multiobjetivo: Se utiliza la medida de desempeño del Hipervolumen para comparar las soluciones entre ellas. Se encuentra que aunque el valor máximo se encuentra en la demanda estática (0,91) en general los valores de los hipervolumenes en cada periodo son mayores, con promedios de 0.66, 0.78 y 0.67 para mañana, tarde y noche respectivamente, comparado con 0.61 para demanda estática.
5.5 Generación de instancias
Para probar la pertinencia del modelo implementado en este problema se generaron 12 instancias para demanda multiperiodo de la siguiente manera: 3 variaciones al problema original de 15 nodos. La generación de una instancia de 30 nodos y 40 arcos y 3 variaciones a la misma y una nueva instancia de 45 nodos y 59 arcos y de nuevo 3 variaciones. Lo anterior se realizó principalmente para medir los tiempos de ejecución y pertinencia de las Fronteras de Pareto en casos de duplicación y triplicación de los nodos del problema original.
En la Tabla 13. se resumen los resultados de las 12 instancias, probadas para las configuraciones 2 y 5: Inserción de Nodos - Movimiento de arcos
- Cruce de Rutas y el de Inserción de Nodos - Cruce de Rutas - Equilibrio de Rutas - Movimiento de Arcos.
Los resultados fueron:
Se genera un total de 12 instancias y se comparan entre sí con el fin principal de verificar tiempos de ejecución y pertinencia de las Fronteras de Pareto. Se encuentra que los tiempos de ejecución no aumentan de manera exponencial cuando se duplican y triplican la cantidad de nodos en el grafo. Para una misma cantidad de nodos los tiempos son estables, en sus valores máximo promedio y desviación.
Cuando aumenta la cantidad de nodos, duplicándolos se tiene un aumento máximo de 42 segundos, que representa el 24 % del tiempo original. Cuando aumenta la cantidad de nodos, triplicándose se tiene un aumento máximo de 118 segundos, que representa el 67 % del tiempo del problema original.
Se encuentran valores del hipervolumen muy similares en cada tamaño de grafo, con promedios de 0.63, 0.68 y 0.68 respectivamente para 15, 30 y 45 nodos. El valor más alto se encuentra en la frontera de la mañana de la configuración 2 con un valor 0.91 con 30 nodos, muy cercado al idea. El valor más bajo es de 0.41 para la configuración 5 con 0.41 para 15 nodos.
Se consideran rangos aceptables para tiempos de ejecución al comprobar que el modelo permite aumentar la cantidad de nodos y arcos sin afectar exponencialmente los tiempos, sino con aumentos razonables. Los hipervolúmenes son variados, la desviación más alta es de 0.11 para instancias de 15 nodos; sin embargo, se encuentra que el modelo está en capacidad de generar fronteras muy promisoras, con valores mayores a 0.7 en el hipervolumen. Cuando los hipervolumenes son altos, significa que el área de soluciones generadas mayor, por lo que los escenarios donde los hipervolumenes son mayores han sido resaltadas a lo largo del trabajo.
6 Conclusiones
En el presente trabajo se propone solucionar el TNDP mediante la metaheurística VNS, y se prueba el modelo con el caso de Mandl 57, obteniendo resultados positivos respecto a las investigaciones anteriores (para el caso de demanda estática en una jornada). Posteriormente, se modifica el problema para cambiar la demanda a lo largo del día y acercar un poco el modelo a cómo funciona la realidad. El modelo arroja resultados muy positivos cuando se incluyen matrices diferentes de demanda, las cuales se comparan entre sí y con los resultados con demanda única. Lo anterior se consigue defendiendo siete configuraciones de los posibles vecindarios descritos. Se obtienen entonces varias configuraciones de rutas y flotas, que componen el abanico de opciones que tiene el tomador de decisiones a la hora de implementar su sistema de transporte público, dado un grafo y sus demandas. Para cada caso se resalta la ruta considerada mejor o más sobresaliente para los autores, con los datos asociados a la misma. Pese a lo anterior, las demás soluciones también se encuentran disponibles y representadas conjuntamente en la Frontera de Pareto de cada combinación, con el fin de representar las tendencias en cada una de las funciones objetivo. Se deben tener en cuenta factores adicionales a los estudiados en este modelo para determinar la conveniencia de elegir una u otra opción, como subsidios, incorporación de tecnologías que disminuyan costos, entre otros. Este modelo resulta ser conveniente de acuerdo a los resultados obtenidos, teniendo en cuenta en su modelo de asignación variables importantes como la frecuencia de los buses, la ocupación de los mismos (Flujos de pasajeros), y la posibilidad de realizar solo un trasbordo, para mejorar la satisfacción de los usuarios. Estas variables favorecen la variedad de soluciones en las Fronteras de Pareto, cuya conveniencia varía de acuerdo a las percepciones que el tomador de decisiones tiene respecto a las prioridades en el sistema de transporte público.
Es importante resaltar que la escogencia de los vecindarios y con ellos, de las configuraciones es determinante en los resultados obtenidos. En este trabajo se encontraron configuraciones, como el número 1 (Equilibrio de Rutas - Inserción de Nodos - Cruce de Rutas) que generan tiempos muy favorables para los usuarios sin aumentar de manera significativa los costos de los operadores, que es el fin último definido. De igual manera, configuraciones como el número 3 (Inserción de Nodos - Duplicación de arcos
- Movimiento de arcos) presentó tiempos largos para los usuarios sin que esto favorezca los costos, dado que presenta rutas muy largas pero la misma cantidad de buses.
Respecto a los resultados de tiempos de ejecución, se probó el modelo con mayores instancias y se obtuvieron resultados favorables, al comprobar que los aumentos son razonables a medida que aumenta la cantidad de nodos.
Los resultados de las soluciones multiobjetivo resultantes se evaluaron mediante la medida de desempeño del Hipervolumen, en la que se encontró que el modelo está en capacidad de generar fronteras de Pareto con valores muy altos, (cercanos a 1) lo que permite asumir que son buenas tanto en convergencia como en diversidad. Las fronteras de Pareto con menores valores estaban por debajo de 0.5 pero sin superar la barrera de 0.4. Así mismo, queda para más adelante la implementación del modelo en una ciudad como Bogotá, ya que la consecución y análisis de sus datos en sí mismo representan un trabajo complejo, para su posterior inclusión en el modelo. Este nuevo proyecto podría realizarse por fases, dado que las demandas en una ciudad como Bogotá se presentan generalmente en bucles.
En segundo lugar, se propone incorporar un aspecto de congestión en el Modelo de Asignación, que permita acercarlo más a la realidad, ya que es posible que los usuarios no utilicen un servicio que llega por su congestión, y decidan esperar uno en el que vayan más cómodos, lo que genera una cola que no es considerada en el modelo actual. Este aspecto implicaría un análisis probabilístico de las decisiones que toman los usuarios y requerirían un estudio en campo para determinar dichas probabilidades.
Por último, se propone utilizar los resultados que arroja el modelo y continuar con el análisis mediante el uso de técnicas de toma de decisiones multicriterio, que permitan incluir factores externos, inclusive cualitativos que no están contemplados por este modelo, para contribuir a la elección de la mejor opción en todos los casos, de acuerdo a las prioridades que el tomador de decisiones considere previamente.
