El problema en cuestión se obtiene por la confluencia simultánea de tres problemas: el problema del transporte, la ubicación de almacenes y la determinación del volumen óptimo de inventarios. Se presenta a continuación una descripción de ellos.

El problema del transporte consiste en determinar, dados un grupo de m sitios de oferta, que en adelante se denominarán almacenes, y n sitios de demanda, que también se denominarán plantas, la cantidad de artículos que deben ser enviados desde cada almacén hasta cada sitio de demanda, minimizando los costos totales de transporte.

Este problema puede expresarse como el siguiente modelo de programación lineal:

donde cij es el costo unitario de enviar el artículo del almacén i al sitio de demanda j; x_ij es la cantidad de artículos enviados del almacén i al sitio de demanda j; si es la existencia u oferta de artículos del almacén i; y dj es la demanda del sitio j.

El primer conjunto de restricciones obliga a que el despacho total de artículos desde el almacén i sea igual a sus existencias, mientras que el segundo conjunto indica que el total de artículos que llegan al sitio de demanda j sea igual a sus requerimientos.

Este es un problema bastante sencillo que puede resolverse por el algoritmo Simplex de programación lineal, o por algoritmos especializados más eficientes para el problema del transporte.

El problema de la ubicación de almacenes es una extensión del problema anterior. Consiste en determinar no solamente cuanto se debe enviar de cada almacén a cada sitio de demanda sino también cuales son los almacenes que deben seleccionarse para atender una demanda de artículos, minimizando los costos fijos de operación de los almacenes y los de transporte. La diferencia con el problema anterior consiste en que en este nuevo problema, los almacenes deben justificar su existencia y por ello se involucran los costos fijos necesarios para mantenerlos seleccionados. Este problema puede plantearse de forma general como el modelo de programación lineal entera:

donde cij son los costos unitarios de transporte y fi los costos fijos de operación de los almacenes (que pueden incluir sus costos de construcción diferidos en el tiempo). Nótese que yi es una variable binaria que indica si el almacén debe ser seleccionado o no, mientras que x_ij indica la cantidad de artículos que debe enviarse de cada almacén a cada sitio de demanda.

Este es un problema de programación entera, también clásico en la Investigación de Operaciones. La diferencia principal con el problema del transporte radica en la ineficiencia computacional de los algoritmos de programación entera en comparación con los problemas puramente lineales.

El problema del volumen óptimo de inventarios
El siguiente nivel de complejidad que puede obtenerse a partir del problema anterior, consiste en considerar adicionalmente a las variables anteriores, el nivel óptimo de inventario de cada uno de los repuestos en cada uno de los almacenes.

Además de las dos categorías de costos descritas anteriormente: fijos (de operación de los almacenes) y de transporte, aparecen otras dos categorías adicionales relacionadas con el manejo de inventarios que corresponden al costo de tener inventarios muy altos o muy bajos. Altos niveles de inventario podrían ocasionar grandes costos de almacenamiento y de oportunidad del capital. Por el contrario, inventarios demasiados bajos ocasionarían pérdidas, debido a un posible déficit en el momento de atender la demanda de artículos, ocasionando la interrupción de la producción o pérdida de ventas, según el caso. Al igual que en el problema de ubicación de almacenes, este algoritmo determina cuáles almacenes deben ser seleccionados, y cuánto debe mantenerse en inventario de cada repuesto en cada uno de ellos, para atender los sitios de demanda con un nivel de confianza dado.

Este es un problema más complejo que el de ubicación de almacenes, ya que aparecen conceptos estadísticos no lineales como el nivel de confianza (o probabilidad de encontrar un repuesto en el almacén cuando sea solicitado) y la distribución estadística que modela la demanda,

Por facilidad, los costos en pesos por año ($/año) se denotarán como se muestra a continuación. ­ C1: costos fijos de operación de los almacenes. ­ C2: costos de transporte de los repuestos de los almacenes a las plantas de producción. ­ C3: costos de falla de los repuestos. ­ C4: costos de conservación de los inventarios.

El costo de transporte de los repuestos, C2, se obtiene como el producto del costo en pesos de transportar un artículo desde un sitio de oferta hasta un sitio de demanda, por la frecuencia de falla anual del repuesto en el sitio de demanda (medido en veces/año)

El costo de falla de los repuestos ocurre cuando la máquina falla, aunque el repuesto se encuentre disponible en el almacén, causando una interrupción de la producción. Este costo, C3, puede calcularse de la siguiente manera: Llámese p la pérdida monetaria de no tener operativa la maquinaria cuando se presenta una falla y FNO la frecuencia de no operación o número promedio de veces que falla la máquina por unidad de tiempo. Si cuando se presenta la falla, el repuesto se encuentra en un almacén de la empresa su expresión es:

donde p es el producto de dos factores: la duración de no operación (en horas)?y el costo por unidad de tiempo de no operación (en $/hora). FNO está dado en número de veces/año.

Los distintos ítems se calculan de la siguiente forma: la duración de la no operación producida por la falla de un repuesto es igual a la duración del transporte más la duración del montaje; la duración del transporte es función de la ubicación del almacén y del sitio de demanda; la duración del montaje es función del repuesto y del tipo de máquina. El costo por unidad de tiempo de no operación es la utilidad dejada de percibir que puede ser una multa o la contribución marginal de la máquina, entre otros.

En la formulación de este problema, se considera que el consumo de los repuestos es unitario. No se considera el problema del lote económico (ya que se trata de resolver un problema entre el almacén de la empresa y la planta, no entre el proveedor y este almacén).

El costo de conservación de los inventarios, C4, es el costo en que se incurre por tener los artículos almacenados. Dicho costo corresponde al volumen de inventario de cada repuesto, VIR (en número de respuestos), por su costo unitario, CUR (en $/repuesto), por una tasa de conservación TC (en %/año, tal como se indica en (5), donde R es el conjunto de repuestos.

La tasa de conservación, por unidad de tiempo, es un porcentaje del costo de adquisición y representa el costo de oportunidad del dinero invertido en inventario más algunos costos adicionales causados por tener el repuesto almacenado, tales como vigilancia, seguros y obsolescencia, entre otros. Para encontrar el volumen óptimo de inventarios de cada repuesto, es necesario suponer una distribución de probabilidades de la demanda. Para las simulaciones realizadas se supuso que la probabilidad de falla de los repuestos permanece constante en el tiempo, tal como ocurre por ejemplo, en la mayoría de los repuestos eléctricos. Tal situación se representa matemáticamente por la distribución de Poisson.

Aunque se utilizó esta distribución, en casos más generales podrían utilizarse otras distribuciones como la Normal, o la de Weibull donde la tasa de fallas de los repuestos no es constante durante su vida, o algunas más complejas según las características de los repuestos.

La demanda promedio de un repuesto en una planta j, puede obtenerse dividiendo la cantidad de ese tipo de repuestos instalados en la máquina, NR, por su vida útil promedio, VUR, tal como se indica en (6). La vida útil del repuesto puede ser diferente en cada sitio.

El problema de la ubicación de almacenes y los volúmenes de inventario
Al combinar de forma simultánea los problemas de ubicación de almacenes y del volumen de inventario, se obtiene un problema mucho más complejo que los presentados. En este último se pretende obtener tanto la ubicación de almacenes como los volúmenes asociados de inventarios, de tal forma que se minimice la suma de los cuatro tipos de costos enunciados. Para este problema no se conoce solución analítica directa y es necesario recurrir a métodos heurísticos para su solución. A continuación se realiza un análisis comparativo de dos técnicas de solución. La primera, propuesta por los autores y llamada Búsqueda Exhaustiva con Poda, BEP, donde se ejecuta una búsqueda exhaustiva del espacio de soluciones, utilizando heurísticas para evitar regiones de soluciones dominadas donde no puede ocurrir el mínimo. La segunda explora la técnica de optimización conocida como Búsqueda Tabú (Glover & Laguna, 1997).

Para ambas estrategias de solución, se asume que todos los repuestos suministrados a una planta van desde un solo almacén, es decir, se asigna a cada planta un almacén. No se considera la posibilidad de suministrar diferentes repuestos a una planta desde almacenes diferentes, ya que, aunque podría obtenerse una solución mejor, el algoritmo requiere una cantidad mayor de recursos computacionales, al aumentarse el tamaño el espacio de soluciones.

El planteamiento general del problema.
En resumen, el problema a resolver es:

Minimizar C1 + C2 + C3 + C4 Sujeto a:

Para mostrar la viabilidad del modelo y del método de solución, se utilizó un conjunto de problemas de prueba correspondientes a varios casos, así: 10 almacenes y 10 plantas de producción, 11 almacenes y 11 plantas de producción, y así sucesivamente hasta alcanzar un total de 30 almacenes y 30 plantas de producción.

Cada uno de los problemas fue solucionado por el método de BEP y por el método de Búsqueda Tabú, en la misma máquina. Se registraron los tiempos requeridos (en horas: minutos: segundos) para alcanzar la solución, así como los valores óptimos encontrados. Los costos óptimos y los tiempos requeridos para alcanzar la solución se presentan en la Tabla 1 y en la Figura 1.

Tabla 1. Tiempo total requerido para encontrar la solución y costo óptimo asociado para diferentes tamaños del problema
Table 1. Total time required to final the solution and associated optimal cost from different problem sizes

Figura 1. Tiempos requeridos para alcanzar una solución por cada uno de los métodos.
Figure 1. Time required to achieve a solution of the each one methods

Para un número inferior a 10 almacenes, la BEP es más rápida que la BT aunque la diferencia es de unos pocos segundos. A partir de 12 almacenes, la BT muestra su eficiencia en el recorrido del espacio de soluciones, siendo siempre más eficiente que la BEP.

Para un número de 17 almacenes, la BE requiere más de una hora de procesamiento, mientras que la BT converge en menos de tres minutos. Para un número superior a 20 almacenes se hace inviable la solución usando BEP debido a los tiempos de procesamiento requeridos.

Desde el punto de vista de calidad de la solución, ambos métodos convergen para una cantidad de almacenes igual o inferior a 16. A partir de este punto, la BT encuentra subóptimos, que en términos prácticos no son muy distantes del óptimo global encontrado usando la BEP.

Ya que la BT no garantiza encontrar el óptimo global, el proceso de reinicio en el espacio de soluciones se realiza de la siguiente forma: en la fase inicial, se parte de un vector binario de ceros con un costo infinito, para lograr que el algoritmo de BT considere todas las soluciones con un único almacén seleccionado, y continúe su recorrido del espacio de soluciones a partir de aquella que minimiza el costo total. En el primer reinicio, se parte de un vector solución de unos, indicando que se inicia con todos los almacenes seleccionados. Los siguientes N reinicios se realizan seleccionando un punto de la memoria de largo plazo. Finalmente, los últimos N reinicios se realizan de puntos generados aleatoriamente.

En este artículo se ha explorado el problema real de la ubicación de almacenes, determinación de niveles de inventarios, y transporte de forma simultanea, mostrando como el problema real puede ser planteado como un modelo matemático. Igualmente se ha propuesto una metodología de solución que combina, simulación y optimización. La metodología propuesta fue implementada en un programa de computador, y ha permitido encontrar soluciones a varios problemas de prueba. Para un problema con diez almacenes y diez sitios de demanda, con veinte repuestos en cada sitio de demanda, el modelo encuentra una solución en unos dos minutos, usando un procesador Pentium III de 550 MHz, mientras que para quince almacenes y quince sitios de demanda, se requieren unos diez minutos de procesamiento. Cuando la cantidad de sitios de demanda y almacenes se aumenta a veinte, se requieren dos horas de procesamiento. Para problemas mayores no es práctico usar la técnica BEP, considerando que todos los almacenes pueden ser seleccionados. En este punto, la heurística para reducción del espacio de soluciones se hace muy valiosa para reducir el tamaño del problema, pudiendo obtenerse soluciones cercanas al óptimo global en tiempos inferiores.

REFERENCIAS

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[2] Dantzing, G. 1963. Linear Programming and Extensions. Princenton University Press, Princenton, N.J.         [ Links ]
[3] Davis, K. R. & McKeown, P. G. 1986. Modelos Cuantitativos para Administración. Grupo Editorial Iberoamericana.         [ Links ]
[4] Glover, F. & Laguna, M. 1997. Tabú Search. Kluwer Academic Publishers. London         [ Links ]
[5] Murty, K. 1992. Network Programming. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J.         [ Links ]
[6] Nemhauser, G. & Wolsey, L. 1988. Integer and Combinatorial Optimization. Wiley, Nueva York.
[7] Taha, H.. 1978. Programming. Capítulo II-1 Handbook of Operations Research. J. Moder y S. Elmaghraby (editores). Van Nostrand Reinhold. Nueva York.        [ Links ]