2.1. Fibras para refuerzo de UHPFRC

Los concretos de ultra alto desempeño tienen un comportamiento eminentemente frágil, por lo que para que para poder conseguir un adecuado comportamiento es necesaria la adición de fibras [¹²,²⁰]. En general, las fibras incrementan la resistencia a tracción y a flexión del UHPFRC [¹²,²⁰]. Sin embargo, y más importante que la resistencia alcanzada, las fibras mejoran el comportamiento de los UHPFRC, permitiendo que el material sea capaz de soportar incrementos de carga después de la aparición de la primera fisura, lo que se conoce como tenacidad [²⁰].

Tal y como se puede observar en la Fig. 1, existe gran diversidad de fibras en función del material y forma.

Fuente: El Autor.

Figura 1 Algunos de los diferentes tipos de fibras para UHPFRC: a) metálica acabada en ganchos (hook-end); b) metálica lisa, c) metálica retorcida (twisted), d) monofilamento de polivinilo de alcohol; e) fibra de polipropileno; f) fibra de polietileno. 

En la caracterización de las fibras es importante considerar los siguientes factores [²⁵-²⁹]: contenido de fibra en volumen expresado en porcentaje (V _f %), longitud de la fibra en mm (l _f ), diámetro equivalente de la fibra en mm (d _f ), relación de aspecto o esbeltez (l _f /d _f ), factor fibra (χ_f) definido como el sumatorio de los productos V _f ×l _f /f _d por cada tipo de fibra en el concreto, forma de la fibra (lisa, acabada en ganchos, retorcida, corrugada, etc.), material de la fibra y su resistencia a tracción expresada en MPa.

2.2. Disposiciones de ensayo para determinar el comportamiento a flexión

Existen diferentes disposiciones de ensayos para medir el comportamiento a flexión de los UHPFRC en función de las dimensiones del prisma y la disposición de las cargas. A conocimiento del autor, el más utilizado es el ensayo a tres puntos sobre vigas de 40×40×160 mm de acuerdo con EN-196-1 [³⁰-³²]. Sin embargo, otras dimensiones de prisma y disposiciones se han reportado en la literatura científica consultada [³³,³⁴].

Los parámetros recogidos en la base de datos relacionados con la disposición del ensayo a flexión son: disposición de la carga a (tres o cuatro puntos); distancia entre apoyos en mm; espesor del prisma en mm; altura del prisma en mm; y longitud del prisma en mm.

2.3. Comportamiento a flexión de los concretos reforzados con fibras

El comportamiento a flexión de los concretos reforzados con fibras podría categorizarse en los niveles de rotura frágil, reblandecimiento por deflexión y endurecimiento por deflexión [²³,²⁶], tal como se observa en la Fig. 2.

Fuente: El Autor.

Figura 2 Diferentes comportamientos a flexión de los UHPFRC. 

La Fig. 2a representa el comportamiento típico de los concretos sin fibras o con escaso contenido de fibras, en los que no hay contribución de éstas al comportamiento a flexión. Por otro lado, las ^{Figs. 2b} y ^2c representan el comportamiento de reblandecimiento por deformación, en el que tras la primera fisura existe cierta contribución de las fibras al comportamiento por flexión. Esta contribución puede no llevar a ningún incremento de la carga desde la caída de tensión tras la fisuración (como se muestra en la Fig. 2b) o llevar a un pequeño incremento de la carga manteniendo la relación MOR<LOP (Fig. 2c). En ambos casos se desarrolla una única fisura y el comportamiento posterior a la formación de ésta se debe a la adherencia de las fibras que cosen la fisura. Finalmente, en la Fig. 2d se puede observar el comportamiento de endurecimiento por deflexión. En este caso se cumple la relación MOR>LOP, lo que es posible gracias a la aparición de nuevas fisuras tras la que produce la tensión LOP [²³,²⁶]. A este fenómeno, fundamental para el comportamiento dúctil del material, se le conoce como multifisuración [²³,²⁶].

3.1. Recopilación de datos

Para el entrenamiento de los modelos se usaron 590 datos de dosificaciones de UHPFRC con información sobre el comportamiento a flexión. Es importante destacar que en esta base de datos se contemplan tanto dosificaciones con un solo tipo de fibra (denominada en la base de datos como fibra 1), como dosificaciones con mezclas binarias de fibra (fibra 1y fibra 2).

Otro aspecto para resaltar es la presencia de variables cualitativas en la base de datos, como sería el caso de la disposición del ensayo y el tipo de fibra. Para poder incorporar estas variables en los modelos matemáticos se han dispuesto variables tipo dummy o dicotómicas.

Las variables independientes recogidas en la base de datos, así como su codificación se pueden observar en la Tabla 1.

Las variables respuesta se explican en la Tabla 2.

Tabla 2 Variables respuesta. 

Fuente: El Autor

3.2. Normalización de datos

Es necesario normalizar la base de datos para que la magnitud de las diferentes variables se equipare y no tengan más influencia unas que otras [³⁵,³⁶]. El preprocesamiento o la normalización de los datos elimina la posibilidad de sesgo de los modelos matemáticos hacia las diferentes identidades transformando todos los datos de entrada y salida [³⁵,³⁶]. En la presente investigación se ha utilizado la escala lineal en el rango [0, 1] para la normalización de datos, como se muestra en la Ecuación (1):

donde x _norm es el valor normalizado de la variable x, mientras que x _max y x _min representan los valores máximos y mínimos de este valor en la base de datos.

3.3. División de datos: datos de entrenamiento y datos de testeo

Para el entrenamiento y el testeo de los modelos matemáticos de predicción, la base de datos fue dividida al azar en conjuntos de datos de entrenamiento (75% de los datos) y testeo (25%). Ambos subconjuntos contenían todos los componentes/propiedades posibles en el concreto.

Además, para evaluar la red neuronal mientras se ajustan sus parámetros (como el número de neuronas en las capas ocultas en los modelos de redes neuronales o el factor λ en la regresión tipo LASSO), los datos de entrenamiento se pueden dividir a su vez en un conjunto de entrenamiento y validación. Sin embargo, existe el riesgo de que los puntajes de validación puedan cambiar mucho dependiendo de qué puntos de datos se seleccionen para la validación y cuáles se seleccionan para el entrenamiento de los modelos. Es decir, los puntajes de validación pueden tener una gran variación con respecto a la división de validación. Esto llevaría a una evaluación poco confiable de los modelos [³⁶].

La mejor práctica en tales situaciones es utilizar la validación cruzada tipo k-fold (ver Fig. 3), basada en la división de las observaciones disponibles en k particiones, entrenando cada modelo en k - 1 particiones mientras se verifica la partición restante. El puntaje de validación para el modelo empleado es entonces el promedio de los k puntajes de validación obtenidos [³⁶]. En esta investigación se consideró k = 10 en la validación cruzada. Además, para el puntaje de validación se utilizó la raíz cuadrada del error cuadrático medio (RMSE por sus siglas en inglés) promedio de las k modelaciones, conforme se observa en la Fig. 3.

Fuente: El Autor.

Figura 3 Esquema de la validación cruzada tipo k-fold utilizada en el entrenamiento de los modelos matemáticos. 

4. Investigación analítica

4.1. Introducción

Algunas de las aplicaciones de la inteligencia artificial en el campo de la ingeniería civil en los últimos años incluyen la detección de daños estructurales, la detección y cuantificación de recursos hídricos subterráneos y la ingeniería de tráfico, entre otros [³⁸,³⁹]. Siendo además, la predicción de las propiedades del concreto en función de sus componentes una de las áreas de mayor producción científica [⁷,⁴⁰-⁴³].

La presente investigación emplea técnicas de regresión basadas en la regularización tipo LASSO [⁴⁴] y las redes neuronales del tipo feed-forward. Para el desarrollo de los citados modelos matemáticos se utilizó el lenguaje de programación estadístico R versión 3.6.0 [⁴⁵]. Específicamente, se utilizaron las funciones glmnet [⁴⁶] para el desarrollo de las regresiones tipo LASSO y neuralnet [⁴⁷] para el desarrollo de los modelos de redes neuronales.

4.2. Regresión tipo LASSO

La inclusión en un modelo de un gran número de predictores puede suponer un desafío a la hora de su interpretación. La regresión tipo LASSO es un método de análisis de regresión que realiza selección de variables y regularización para mejorar la exactitud e interpretabilidad de modelos estadísticos [⁴⁶,⁴⁸]. Fue introducida por Robert Tibshirani en 1996 y sus aplicaciones abarcan desde las regresiones polinómicas hasta la inteligencia artificial y el aprendizaje automático [⁴⁶,⁴⁸]. Este procedimiento matemático se basa los métodos de regularización en los que se ajusta un modelo de regresión con todos los predictores, “contrayendo” los coeficientes estimados o disminuyendo sus valores hacia 0, lo cual puede reducir de manera significativa su varianza [⁴⁶].

En una regresión polinómica se seleccionan los parámetros β0, β1, …, βp que minimizan la suma de cuadrados de los residuos (RSS) de acuerdo con la Ecuación (2):

Por otro lado, los coeficientes estimados en la regresión tipo LASSO minimizan la expresión expuesta en la Ecuación (3):

donde λ ≥ 0 es el parámetro de penalización. Si λ es lo suficiente elevado, algunos de los coeficientes pueden llegar a reducirse hasta exactamente 0, por lo que el método actúa como selector de variables, y la interpretación del modelo se facilita al crear modelos más simples [⁴⁴]. Seleccionar un valor apropiado para λ es muy importante, ya que de él depende la eficiencia del modelo [476], por lo que es necesario un método para seleccionar el valor del parámetro de penalización λ. Una opción simple es utilizar validación cruzada tipo k-fold, expuesta con anterioridad. Durante el entramiento del modelo con validación cruzada k-fold se eligen un conjunto de valores para λ y se calcula el RMSE de validación para cada valor. Se selecciona el valor de λ para el que el error ha sido menor, y finalmente se reajusta el modelo con todas las observaciones disponibles con el valor de λ escogido [⁴⁶].

4.3. Redes neuronales artificiales (ANN)

Las redes neuronales artificiales son paradigmas de procesamiento de datos que están compuestas de un gran número de elementos procesadores, llamados neuronas, interconectados y trabajando recibiendo y enviando información [⁴⁹].

La arquitectura más simple de una ANN, llamada perceptrón, fue presentada por primera vez por Rosenblatt [⁵⁰]. El perceptrón consiste en una neurona con dos entradas y una salida conforme se aprecia en la Fig. 4. Se distinguen cuatro componentes fundamentales en el perceptrón: sensores que reciben los valores de entrada, pesos que afectan la magnitud de los valores de entrada, una función que recolecta los datos afectados por sus pesos para producir una medida propia del impacto del fenómeno observado, y una función de activación que aporta la transformación no lineal final para producir la salida [⁴⁹,⁵⁰].

Para aplicaciones más complejas se usan las arquitecturas de perceptrón multicapa feed-forward [²,³].

Fuente: El Autor.

Figura 4 Esquema del perceptrón. 

Tal y como se observa en la Fig. 4, el conjunto x _i = (x ₁ , x ₂ ) contiene los valores de entrada que son aplicados a cada neurona. Un bias b es añadido a la neurona junto a las entradas. El conjunto w _ik = (w _1k , w _2k ) corresponde a los pesos que cada neurona le ha asignado a la neurona de la capa que le precede. La función de suma calcula la entrada neta que recibe la neurona mediante la expresión expuesta en la Ecuación (4):

donde v _k representa la regla de propagación, que es la suma que recibe la k-ésima neurona de la capa precedente; w _ik es el peso asignado por la k-ésima neurona al vínculo formado con la i-ésima neurona; x _i es el valor de entrada que la i-ésima neurona transmite; y b es un valor ajustado [⁵¹].

La función de activación es una expresión que procesa el input neto obtenido de la función de suma anterior, y determina el valor de salida que la j-ésima neurona entregará a las de la capa siguiente con las cuales esté conectada. Para arquitecturas sencillas la función de activación más usada es la sigmoide binaria [⁵²]. Otras usadas comúnmente son la función rectilínea uniforme (ReLu), lineal y tangente hiperbólica [³⁶]. La presente investigación utilizó la función de activación sigmoide binaria [⁵³], descrita en la Ecuación (5):

donde C es una constante usada para controlar la pendiente de la región semi lineal.

Por otro lado, el proceso por el cual se ajustan los pesos de la red para producir una determinada salida es lo que se conoce como entrenar la red neuronal. Este entrenamiento realizado a través de los algoritmos de aprendizaje consiste en dos pasos principales: en el primero se asignan pesos aleatorios a todas las conexiones entre las neuronas y se genera un flujo hacia delante de la señal desde la capa de entrada hasta la de salida. El resultado de esta última capa es comparado con los valores reales de la variable respuesta. En el siguiente paso, los pesos y bias en las capas ocultas se modifican en un flujo hacia atrás con el objetivo de reducir el error. El algoritmo de aprendizaje más utilizado en redes perceptrón multicapa feed-forward es el conocido como algoritmo de propagación hacia atrás o retropropagación (BP por sus siglas en inglés) desarrollado por Rumelhart et al. [⁵⁴]. En los últimos años se han desarrollado otros algoritmos de aprendizaje, como la retropropagación resiliente (Rprop). Rprop tiene dos ventajas principales sobre la propagación hacia atrás: primero, el entrenamiento con Rprop suele ser más rápido que el entrenamiento con propagación hacia atrás. En segundo lugar, Rprop elimina la influencia negativa del tamaño de la derivada de error parcial en el ajuste de los pesos, en oposición al algoritmo de BP que necesita valores para la tasa de aprendizaje. En consecuencia, solo se tiene en cuenta el signo de la derivada para indicar la dirección de la actualización del peso [⁵⁵,⁵⁶]. Para obtener más información sobre Rprop se recomienda consultar las referencias [⁵⁶] y [⁵⁶]. En este trabajo, los modelos de perceptrón multicapa se entrenaron utilizando la retropropagación resiliente como algoritmo de aprendizaje.

Para definir las variables de entrada de cada modelo, se aprovechó la selección previa realizada por el método LASSO.

Finalmente, la selección del número de neuronas en la capa oculta de la red se realizó mediante validación cruzada tipo k-fold [³⁶].

4.4. Evaluación del desempeño de los modelos matemáticos

Los modelos matemáticos, ajustados con los datos de entrenamiento a través de la validación cruzada k-fold, fueron evaluados en el subconjunto de testeo. En el presente trabajo, se han utilizado cuatro parámetros estadísticos diferentes para medir la precisión predictiva del modelo, a saber, error absoluto medio (MAE), raíz del error cuadrático medio (RMSE), error de sesgo medio normalizado (NMBE) y coeficiente de determinación múltiple (R²), cuya formulación se expone en las Ecuaciones. (6) - (9) respectivamente.

donde: a es el objetivo o valor experimental; ā representa la media del objetivo, â es la salida del modelo y n es el número total de observaciones.

El MAE se basa en las diferencias absolutas entre lo medido y lo estimado. Para un sistema predictivo perfecto, cero es el valor óptimo de MAE [³⁹]; El RMSE es una de las estadísticas de índice de error más utilizadas [⁵⁷]. El RMSE compara los valores observados con los valores objetivo y calcula la raíz cuadrada del error residual promedio, señalando el error en las unidades del componente de interés. El valor óptimo de RMSE es cero, lo que indica un ajuste perfecto. Sin embargo, RMSE proporciona más peso a los errores grandes [³⁵]; El NMBE proporciona información sobre el sesgo medio en las estimaciones de un modelo. Un NMBE negativo indica una predicción excesiva y un NMBE positivo indica una predicción insuficiente del modelo [⁵⁸]; El coeficiente de determinación (R²) compara la precisión del modelo con la precisión de un modelo de referencia superficial en el que la predicción es la media de todas las muestras [⁵⁹]. Las estadísticas de R² dependen de las relaciones lineales entre los valores observados y objetivo y, en ocasiones, pueden proporcionar resultados sesgados cuando esta relación no es lineal o cuando los valores contienen muchos valores atípicos. Para una asociación perfecta entre los valores observados y predichos, el valor de R² es la unidad. Un uso combinado de las métricas de puntaje narradas anteriormente puede proporcionar una estimación imparcial de la capacidad de predicción de los modelos matemáticos [³⁵].

5.1. Regresión tipo LASSO

5.1.1. Modelos

Los modelos obtenidos mediante el entrenamiento con validación cruzada tipo k-fold se observan en la Tabla 3.

Tabla 3 Modelos de regresión tipo LASSO para el comportamiento a flexión de los UHPFRC. 

Fuente: El Autor.

5.1.2. Evaluación de los modelos

Los valores btenidos de los parámetros estadísticos utilizados para la evaluación de los modelos tipo LASSO se presentan en la Tabla 4.

Tabla 4 Evaluación de los modelos LASSO sobre los conjuntos de entrenamiento y testeo 

Fuente: El Autor.

La Fig. 5 muestra la comparativa entra los valores reales y los predichos por los modelos tipo LASSO. Las líneas rojas punteadas señalan el intervalo del error estándar de la predicción para cada conjunto de datos a ambos lados de la recta principal a 45º.

Fuente: El Autor.

Figura 5 Gráficos de valores reales ( δ _LOP ) versus predichos por el modelo δ _LOP en los conjuntos de datos de entrenamiento (a) y testeo (b); valores reales (LOP) versus predichos por el modelo (LOP) en los conjuntos de datos de entrenamiento (c) y testeo (d); valores reales ( δ _MOR ).versus predichos por el modelo δ _MOR en los conjuntos de datos de entrenamiento (e) y testeo (f); valores reales ( MOR ) versus predichos por el modelo MOR en los conjuntos de datos de entrenamiento (g) y testeo (h). 

5.2. Redes neuronales artificiales

5.2.1. Modelos

En la Fig. 6 se pueden observar los resultados de la validación cruzada para diferentes números de neuronas en la capa oculta de los diferentes modelos.

Fuente: El Autor.

Figura 6 Promedio de la raíz del error cuadrático medio (RMSE) versus el número de neuronas en la capa oculta en los conjuntos de datos de entrenamiento (E) y validación (V) durante el entrenamiento con validación cruzada tipo k-fold: (a) Modelo ANN LOP ;(b) Modelo ANN LOP ; (c) Modelo ANN δ _LOP ; y (c) Modelo ANN (MOR)  

Tal y como se aprecia en la Fig. 7 el desempeño óptimo de todas las redes neuronales salvo la ANN se alcanza en la séptima neurona en la capa oculta. En el caso de la red ANN esto se produce con la duodécima neurona. Como consecuencia de esto último todos los modelos a excepción de ANN cuentan con siete neuronas en la capa oculta de los modelos, mientras que el modelo ANN cuenta con doce.

Fuente: El Autor.

Figura 7 (a) Gráficos de valores reales (δ _LOP ) versus predichos por el modelo (δ _LOP )en los conjuntos de datos de entrenamiento (a) y testeo (b); valores reales (LOP) versus predichos por el modelo (LOP)en los conjuntos de datos de entrenamiento (c) y testeo (d); valores reales (δ _MOR ) versus predichos por el modelo (δ _MOR ) en los conjuntos de datos de entrenamiento (e) y testeo (f); valores reales (MOR) versus predichos por el modelo (MOR) en los conjuntos de datos de entrenamiento (g) y testeo (h). 

La Fig. 7 muestran la comparativa entre los valores reales y los predichos por los modelos de redes neuronales.

5.2.2. Evaluación de los modelos

Los valores obtenidos de los parámetros estadísticos utilizados para la evaluación de los modelos de redes neuronales se presentan en las Tabla 5.

Tabla 5 Evaluación de los modelos ANN sobre los conjuntos de entrenamiento y testeo 

Fuente: El Autor.

5.3. Discusión

Los modelos matemáticos planteados constituyen una herramienta precisa para la predicción del comportamiento a flexión de lo UHPFRC. Esta situación es especialmente relevante en el caso de los modelos basados en redes neuronales, los cuales obtienen coeficientes de correlación muy próximos a la unidad en todos los casos (ver Tabla 5). Esto se debe a la naturaleza no lineal de los modelos de redes neuronales y a su gran capacidad de modelar interacciones entre las variables independientes. Asimismo, los gráficos presentados en la Fig. 7 muestran una mejora significativa frente a los presentados en la Fig. 5, no sólo por la mejor alineación de los puntos sobre la recta de 45º, sino también por el hecho del estrechamiento del intervalo correspondiente al error estándar de la predicción.

Los modelos planteados pueden ser de gran utilidad en el desarrollo de dosificaciones de UHPFRC sometidos a flexión, ya que, debido a su precisión, permiten preseleccionar las combinaciones de componentes (materiales cementantes, agregados y fibras) que obtengan los mejores resultados en el modelo al menor costo. De esta forma se puede reducir el tiempo y costo necesarios para la campaña experimental.