1.Introduction

La transferencia de information de manera segura es una prioridad que exige el interns de las comunidades academicas interesadas en el area de la criptograffa para explorar, disenar y proponer esquemas de seguridad eficientes. Desde hace decadas existen diferentes tecnicas de cifrado que se basan principalmente en metodos iterativos y en la factorization de mimeros primos. La seguridad de estos metodos se encuentra soportada en que no existen procedimientos computacionalmente eficientes para factorizar ntimeros de gran cantidad de dfgitos; particularmente se dificulta la factorization cuando el ntimero a factorizar es el producto de dos mimeros primos de aproximadamente la misma cantidad de digitos. Sin embargo, con el desarrollo acelerado de la computation es posible que pronto puedan ser vulnerables este tipo de criptosistemas ^[1].

Motivados por esta posible vulnerabilidad, una alternativa para encriptar imafgenes es utilizar los sistemas dinamicos que generan caos, ya que las propiedades de dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, mezcla y ergodicidad se pueden aprovechar para garantizar la no predictibilidad de los mecanismos de seguridad.

Por lo general, en los esquemas de comunicacion caotica que utilizan sincronizacion se toma un sistema caotico como transmisor y la sefial de information se mezcla con el transmisor para generar una senal de transmision caotica, la cual se transmite al receptor. El mecanismo receptor es basicamente un sistema dinamico caotico construido sobre la base de la estructura del transmisor. Cuando los mecanismos transmisor y receptor se sincronizan la informaciofn es recuperada por el receptor ^[2]. Recientemente, se han publicado diferentes propuestas que utilizan este enfoque, algunas de las cuales se analizan a continuacion.

En ^[3] se propone un esquema de encriptacion de imagenes, utilizando la funcion cat de Arnold para el proceso de permutation y un sistema hipercaotico de Lorenz para el proceso de difusion. Los autores hacen un analisisMarco teorico estadfstico de seguridad que involucra la longitud y la sensibilidad de la clave, lo cual les permite asegurar el buen nivel de seguridad de su propuesta. Ademas, en el artfculo se resalta el potencial de los sistemas hipercaoticos para mejorar la seguridad de los criptosistemas basados en caos; porque comparandolos con sistemas caoticos de un numero menor de dimensiones tienen un comportamiento dinamico mas complejo y manejan un mayor numero de variables. Lo anterior permite inferir que los criptosistemas basados en sistemas hipercaoticos son mas impredecibles y con un espacio de claves mas amplio.

En el ano 2013 se desarrollo un sistema de encriptacion simetrica para imagenes basado en caos, utilizando para el proceso de difusion el atractor caotico de Lorenz y para el proceso de permutation la funcion del panadero. Los autores hacen un analisis estadfstico del desempeno de seguridad del algoritmo propuesto, mostrando una alta seguridad en su esquema ^[4].

En ^[5] se presenta un algoritmo de encriptacion de imagenes utilizando el sistema caotico provisto por la funcion tienda para los procesos de difusion y permutation. Al analizar los histogramas de escala de grises de las imagenes real y cifrada, la distribution uniforme que presenta el histograma de la imagen cifrada permite garantizar una buena seguridad del algoritmo. Ademas, mediante el calculo de los coeficientes de correlation entre pfxeles adyacentes, se evidencia que estos tienden a 1, para los pixeles de la imagen original y a 0 para los pfxeles correspondientes a la imagen cifrada; lo anterior significa que se logra eliminar la correlation entre los pixeles adyacentes durante el proceso de cifrado.

En ^[6] se propone un esquema de encriptacion de imagenes en escala de grises y a color de tipo simetrico utilizando los atractores caoticos provistos por el sistema autonomo de Colpitts y el sistema no autonomo de Duffing, los cuales son resueltos por medio del metodo numerico para la solution de ecuaciones diferenciales Runge Kutta 4 y aprovechados para generar una matriz del tamano de la imagen original. Por medio de esta matriz, se cifra cada uno de los pfxeles de la imagen original; la clave secreta estaf construida por los valores de las condiciones iniciales de los dos sistemas utilizados. Los autores realizan anaflisis de espacio de clave, anaflisis de sensibilidad de la clave e histograma de la imagen cifrada; el espacio de clave utilizado es 2⁴⁴⁸ = 7,26 * 10¹³⁴ y el histograma de escala de grises de la imagen cifrada presenta una distribution uniforme. Tambiefn hacen un anaflisis de correlaciofn entre los coeficientes de pixeles adyacentes en las direcciones horizontal, vertical y diagonal para varias imafgenes encriptadas encontrando que estos tienden a cero. Los resultados experimentales muestran la robustez, eficiencia y el buen nivel de seguridad del algoritmo.

En el trabajo desarrollado en ^[7], se presenta un algoritmo que fusiona un atractor caotico provisto por una funcion senoidal con algunos principios de la codification genetica. Los autores indican que, si utilizan unicamente el atractor caotico, el algoritmo es sencillo pero debil en seguridad y genera distorsion de la imagen. Separan la imagen en tres capas de color: verde, azul y roja; utilizando los principios del caos y de la geneftica, codifican cada capa de manera independiente en base decimal, base binaria y en codigo ADN (codigo generado a partir de principios de la geneti-

ca), obteniendo tres matrices, una por cada color, que luego adicionan segun las reglas del codigo ADN con tres matrices que generan de aplicar la funcion caotica senoidal sobre las matrices anteriores, Como se ejecutan tres procesos independientes utilizan programacion paralela para reducir el tiempo de ejecucion. El algoritmo permite obtener una imagen cifrada con muy baja correlation entre pfixeles adyacentes y demuestra ser eficiente para la encriptaciofn de archivos de gran volumen debido al uso de la programacion paralela.

En el ano 2015 en ^[8], los autores disenan un esquema de codification de imagenes en escala de grises basado en un proceso de permutation vertical y horizontal en forma circular utilizando la funcion de Arnold con parametros positivos e implementan la funcion hash SHA-3 para el proceso de difusion. Realizan un analisis de sensibilidad aplicado a las claves, un analisis estadfstico y analisis de aleatoriedad mediante el test NIST 800-22. Concluyen que el algoritmo tiene un buen rendimiento en procesamiento y una capacidad de resistir a ataques como el ataque de texto elegido.

En ^[9] los autores proponen un metodo adaptable de sincronizacion acoplando tres sistemas caoticos identicos y muestran mediante dos ejemplos que el acoplamiento puede ser unidireccional o bidireccional. Para mostrar la sincronizacion con acoplamiento unidireccional consideran tres sistemas caoticos de Rossler y utilizan tres sistemas caoticos de Lorenz para mostrar la sincronizacion con acoplamiento bidireccional. Basados en esta nueva forma de sincronizacion proponen un metodo de encriptacion caotica diferente a los criptosistemas tradicionales; empleando tres sistemas caoticos para el proceso de la sincronizacion y encriptacion, utilizando dos sistemas caoticos emisores que se encargan de la encriptacion y el tercer sistema caotico como receptor para desencriptar; la idea basica que sustentan es que despues de cifrar dos veces en dos transmisores y un receptor, el receptor puede recuperar de manera fidedigna la senal enviada.

En ^[10] se presenta una alternativa para resolver una vulnerabilidad existente en los sistemas de enmascaramiento caoticos mediante el proceso de sincronizacion de atractores caoticos. El sistema evita la detection de parametros utilizando dos claves de cifrado que se emplean para la modification continua de las condiciones iniciales del atractor de Rossler. El autor destaca su tecnica mostrando resistencia a ataques estadfisticos y evitando que el atacante obtenga los valores iniciales de los atractores.

En el trabajo propuesto en ^[11], se utiliza el sistema de Lorenz hipercaotico de orden fraccional, que es un sistema que maneja cuatro componentes , empleando una de estas para generar una mascara caotica, del tamano de la imagen que se desea cifrar, la cual utilizan para enmascarar la imagen mediante la operation OR, entre cada uno de los valores de las posiciones de la mascara y de la imagen; las demafs componentes las utilizan para generar una sucesiofn caoftica, que permite reordenar la matriz difundida y finalmente obtener la imagen cifrada, como resultados destacan la simpleza del procedimiento de enmascaramiento, tambien la mejora del desempeno en cuanto a seguridad.

En ^[12] se propone una tecnica de cifrado de imagenes, en escala de grises, basada en un sistema caotico multiple que es el resultado de la suma de los sistemas caoticos de Rossler y Lorenz. El esquema de encriptacion propuesto consiste en un algoritmo iterativo que mezcla los valores de los pfxeles mediante operaciones XOR y cambia los valores de la escala de grises usando el sistema

caotico multiple. Mediante los resultados de las pruebas se puede apreciar que las bondades de esta propuesta son: buen nivel de seguridad, gran espacio de clave y un algoritmo con alta velocidad de ejecuciofn.

En el presente artículo se propone el desarrollo de un algoritmo de encriptacion de imagenes en escala de grises aprovechando las caracterfsticas de sincronizacion del sistema caotico de Lorenz. El artfculo esta organizado de la siguiente forma: en la seccion 2, se presentan los fundamentos teoricos sobre sistemas caoticos y la sincronizacion de estos. En la seccion 3, se describe y se implementa el algoritmo propuesto que involucra los procesos de sincronizacion, permutacion y difusion utilizando el atractor caotico de Lorenz y se presentan las pruebas realizadas con diferentes imagenes clasicas. En la seccion 4, se hace el analisis estadfstico de desempeno y se compara con los algoritmos propuestos en ^[5] y ^[8] . Finalmente, se resaltan las conclusiones y se dan algunas indicaciones para trabajos futuros en esta misma direction.

2.Marco teorico

El area de los sistemas dinamicos surge del intento de estudiar el comportamiento de un sistema que evoluciona en el tiempo, tiene aplicacion en diferentes campos del conocimiento tales como biologfa, medicina e ingenierfa. Los sistemas dinamicos de tipo no lineal son los que pueden presentan comportamientos complejos, lo cual los hace atractivos para utilizarlos en sistemas criptograficos, buscando aumentar su seguridad. La seguridad de la information secreta que se transmita a traves de la red es algo imperante en la actualidad, ya que se debe impedir que personas no autorizadas modifiquen o accedan a la information. Se han propuesto varios trabajos en este sentido, inicialmente utilizando sistemas dinamicos caoticos unidimensionales, los cuales posibilitan generar algoritmos sencillos pero un poco lentos y debiles contra ataques, situation que ha hecho fortalecer la linea de trabajo mediante el uso de sistemas dinamicos de mas de una dimension ^[13]

3.Esquema de encriptacion propuesto

Se presenta un algoritmo para encriptacion de imagenes en escala de grises, de tamafio M x N pixeles. El proceso de permutacion se realiza mediante la permutacion de linea de onda y para el proceso de difusion se utilizan sucesiones ergodicas generadas a partir de la solution numerica del atractor caotico de Lorenz, utilizando el metodo Runge Kutta 4. El diagrama de flujo del algoritmo se presenta en la Figura 2.

Las fases del proceso de encriptacion comprenden los siguientes pasos:

1. El atractor de Lorenz se divide en dos subsistemas maestro y esclavo, utilizando como variable sincronizante ”y”, debido a que sus exponentes de Lyapunov son los mas negativos, recordando que entre mas negativos sean estos, mas rapida sera la convergencia.

2. Se inicializan los subsistemas con condiciones iniciales aleatorias que esten cercanas a la region del atractor.

3. Se sincronizan los atractores enviando la componente maestra hacia el esclavo. Se generan los 700 primeros valores del atractor maestro utilizando Runge Kutta 4 con un incremento de tiempo h = 0,01 (centesimas de segundo) y se envlan los resultados de la componente “y” como clave publica K hacia el atractor esclavo en el instante de tiempo t_i, como se indica en la ecuacion (2).

Donde y_i corresponde a la salida del atractor en valor absoluto, considerando solamente una cifra decimal multiplicada por 10 en el instante de tiempo tj definido por la ecuacion (3).

Se debe actualizar t_i a tj, debido a que cada vez que se codifica un mensaje, existe un corrimiento de (M + N) * h unidades de tiempo, con el fin de no perder la sincronia entre los subsistemas maestros y esclavo, como se muestra en la ecuacion (4).

4. Se utiliza el proceso de permutacion de linea de onda [16], primero se construyen dos sucesiones (x_j) y (z_i), i = 1,..., N, y j = 1,... M, a partir de los valores obtenidos para las variables x, z del atractor, mediante metodo numerico Runge Kutta 4; se consideran los ultimos tres digitos de dichos valores y se utiliza una matriz de M x N que tiene en cada una de sus posiciones los valores en escala de gris de la imagen original. El valor xj se asocia con la columna j de la matriz, e indica el numero de posiciones que se deben desplazar las entradas de esa columna “verticalmente”, consiguiendo una nueva matriz, luego, la fila i de esta ultima matriz se asocia con el valor z_i el cual indica las posiciones que se deben desplazar sus entradas “horizontalmente”, obteniendose otra matriz y finalizando un ciclo de permutacion. El desplazamiento horizontal de las entradas de la fila i es hacia la derecha si zi es menor que el umbral (M/2) y el desplazamiento vertical de las entradas de la columna j es hacia abajo si Xj es menor que N/2. El proceso anterior se ejecuta cuatro veces para completar la fase de permutacion que se conoce como permutacion circular ^[8], obteniendo la matriz permutada P.

5. Con los datos obtenidos por Runge Kutta 4, para los componentes z y x del atractor, se genera una matriz de A de tamano M x N, considerando los valores numericos obtenidos de los ultimos tres digitos, la cual se suma con la matriz obtenida en el item 4, luego se aplica la operation modulo 256 a cada entrada de la matriz resultante, como se ilustra en la Figuras 3, 4 y 5.

Siendo P(k, i) el valor que va de 0 a 256 en la position (k, i) de la matriz que resulta del proceso completo de permutation de linea de onda, las matrices D₁ , D₂ ,D₃ se obtienen de acuerdo con las ecuaciones (5), (6) y (7).

Con i = 1; 2,…,N; l = 1; 2;…, ; k = 1, 2;…, , donde representa el mayor numero entero menor o igual que el numero racional y representael menor numero entero mayor o igual que el numero racional .

Como primer paso se toma una parte de la matriz A, de tamaño y tambien unaparte de la matriz permutada P de tamaño , asociando, como se ve en la Figura 1, los colores con la posici´on en la que los valores de ambas matrices se operan, como se muestra en la en la ecuacion (1), generando la matriz D1.

Para el segundo paso se toma la matriz D1 y una segunda parte de la matriz A de tamano , asociando, como se ve en la Figura 2, los colores con la posicion de los valores de ambas matrices, describiendo la forma en que operara la difusion representada en la ecuacion (2), generando la matriz D2.

En el tercer paso, se utiliza una parte de la matriz D2 de tamaño , y una segunda parte de la matriz permutada P de tamaño , cuyo proceso se ilustra en la Figura 3, de manera similar al paso anterior la Figura 3 asocia los colores con la posicion de los valores a los que se les se aplicar´a la difusi´on descrita en la ecuacion (3), generando lamatriz D3.

Por ultimo, se concatenan las matrices D2 y D3 , es decir todas las filas de la matriz D2 se unen a las filas de la matriz D3 en su respectivo orden, dejando una unica matriz C correspondiente a la imagen cifrada.

El proceso descrito anteriormente mejora la aleatoriedad de la imagen cifrada C, es decir, si todos los colores en escala de grises en la imagen cifrada C tienden repetirse un numero igual o cercano a (M x N)/256 veces el grado de incertidumbre aumenta y por ende la impredecibilidad de la imagen cifrada.

En el desarrollo del esquema de encriptacion se tuvo en cuenta la relation existente entre los procesos de permutacion y difusion; por ejemplo, el proceso de difusion descrito en [⁵] destaca por su simpleza, pero su proceso de permutacion es mas complejo, lo cual exige mayores recursos computacionales, pero ofrece resultados interesantes en cuanto a la aleatoriedad en su cifrado; en [⁸] el proceso de difusion utiliza mas recursos y el de permutacion en este caso es el proceso sencillo, sin embargo tiene menor aleatoriedad en las imagenes cifradas que en [⁵]; por lo tanto tener un buen desarrollo en la permutacion contribuye en gran medida al proceso de difusion para aumentar la aleatoriedad de las imagenes cifradas, razon por la cual en este trabajo se realizan mas rondas de permutacion que en [⁸], adicionalmente se busco un mejor desarrollo en la fase de difusion sin utilizar demasiados recursos en ambas fases.

La adicion de una permutacion simple que se le aplica a la matriz ti, utilizada para difundir, permite a la imagen cifrada C no poseer patrones reconocibles, como grupos de pixeles cercanos con colores que tengan similar valor o valores con diferencias muy grandes. Similar estrategia se puede evidenciar en [⁸] con la matriz utilizada para difundir, la cual se construye con valores que se obtienen iterando el mapa de Arnold, consiguiendo completar la matriz en iteraciones si M x N es par o iteraciones si M x N es impar, tomando dichos valores de las componentes del sistema de Arnold e intercalandolos en la matriz, teniendo efectividad en disolver patrones reconocibles en la imagen cifrada ; en ^[11], la estrategia es mas simple ya que utilizan M x N iteraciones para generar una matriz, solo con los valores de una unica componente del sistema caotico, que permite difundir mediante la operation OR, resultando en un desempefio menor a ^[8]; en ^[12] el proceso es mas complejo que en ^[11] para la generation de la matriz, aqui utilizan una matriz de M x N que repetidas veces se opera con la matriz que representa a la imagen original mediante la operation XOR hasta conseguir la imagen cifrada, resultando en un buen desempefio.

Hay que destacar la importancia de realizar tratamiento a la matriz ti, por su implication en la reduction de patrones, es decir, lo que se busca en esta matriz es que sea lo suficientemente aleatoria; por ejemplo, en ^[5] optan por evitar tomar algunos de valores generados por el sistema caotico para obtener dichas matrices, en otros casos como en ^[8], ^[11] y ^[12], iteran muchas veces para obtener dichos valores, esto quiere decir que utilizan bastantes recursos para mejorar la aleatoriedad de la matriz y del sistema en general; en el esquema propuesto no se requieren muchas iteraciones, ya que particularmente el sistema de Lorenz es suficientemente aleatorio; en este caso se utilizan M + N valores para generar la matriz ti y se realizan M iteraciones, una ventaja, ya que si existiesen aproximaciones y un numero alto de iteraciones, la degradation dinamica puede danar el comportamiento caotico del sistema.

Para el proceso de desencriptacion se aplican los pasos 4 y 5 en forma inversa.

Para verificar la funcionalidad del algoritmo se realizaron varias pruebas con diferentes imagenes, tomadas de las referencias consultadas, algunas de estas se muestran en las figuras 6, 7, 8 y 9.

En las figuras 6, 7, 8 y 9, se evidencia el buen funcionamiento del algoritmo para encriptar y desencriptar imagenes; las imagenes decodificadas son iguales a las originales.

4.Analisis estadistico

Para evaluar el desempefio del algoritmo propuesto se analizo la correlation entre los pixeles adyacentes en forma horizontal, vertical y diagonal, tanto para la imagen original como para la cifrada, obteniendo que la correlation tiende a desaparecer en la encriptacion, como se muestra en las figuras 10, 11, 12 y 13.

A continuation, se presenta el analisis de sensibilidad del proceso de encriptacion frente al cambio de un unico bit de la imagen original en las figuras 14 y 15, y el cambio de un unico bit en la condition inicial del sistema de Lorenz en la componente ”x”, es un numero de 15 digitos entre 0 y 1; en las figuras 16 y 17, evidenciando una imagen cifrada totalmente diferente.

En las figuras 18, 19, 20 y 21 se muestran los histogramas de la distribution de la escala de grises en la imagen original comparada con la imagen cifrada encontrando uniformidad en la imagen cifrada; donde se pueden resaltar las distribuciones uniformes presentes en los histogramas de las imagenes cifradas.

Para las cuatro imagenes presentadas se hallaron los coeficientes de correlation agrupados en la Tabla II, las medidas que evaluan la resistencia a ataques diferenciales UACI (promedio unificado de intensidad de cambio, sus siglas en ingles) y NPCR (razon de cambio de pixeles, sus siglas en ingles), ademas de la entropia correspondiente, los cuales se presentan en las tablas III y IV. La expresion matematica para UACI esta dada por la ecuacion (9).

Siendo M x N el tamano de la imagen, E^j el valor del pixel en la position del (i, j) de la imagen cifrada E₁ y E^j el valor del pixel en la position del (i, j) de la imagen cifrada E₂, donde la imagen E₁ corresponde al cifrado de la imagen original sin modificaciones y E₂ corresponde al cifrado de la imagen original modificada en un pixel o tambien en la modification de un bit en la condition inicial y 2ⁿ es el valor maximo que puede tomar cada pixel.

La formula que define NPCR esta dada en la ecuacion (10).

Donde:

Siendo, Po la probabilidad de que un pixel (i, j) en la imagen cifrada C1 , sea igual al pixel (i, j) en la imagen C₂ y p₁ la probabilidad de que un pixel en la imagen cifrada C₁(i, j), sea diferente al pixel (i, j) de la imagen cifrada C₂, es decir son las probabilidades de obtener 0 o 1, respectivamente en la distribution de probabilidad D(i, j).

El valor de la entropia es un indicador muy importante, ya que muestra el nivel de aleatoriedad de los pixeles en las imagenes cifradas, lo cual significa que entre mayor sea el valor de la entropia la aleatoriedad es mejor. Para las imagenes en estudio se logro obtener valores muy proximos a 8 calculado por:

donde N es la cantidad de slmbolos, en este caso la cantidad de valores en escala de grises y P(s_i) la probabilidad de ocurrencia del slmbolo s_i , si la probabilidad de ocurrencia de todos los slmbolos es de 1/256 el valor de la entropia es de 8; luego este es el valor ideal de entropia en los procesos de encriptacion de imagenes cuando se trabaja con 256 tonalidades de grises.

El algoritmo propuesto se ejecuto en un equipo Intel(R) Core(TM) i5-2410M, 2.30GHz CPU; los resultados de su desempeno y la comparacion con los resultados obtenidos en (5), (8) y (15) se resumen en las tablas V y VI; como se puede ver el algoritmo propuesto presenta desempenos muy similares a los presentados en las referencias consideradas en los indicadores UACI, NPCR y la entropia, logra mejores coeficientes de correlation entre pixeles adyacentes y un buen desempeno en velocidad de ejecucion. Sin embargo en cuanto a indicadores como el UACI y NPCR es dificil saber cual trabajo es mas seguro, si bien se busca que el NPCR tienda a 100 %, es decir, que no exista ningun pixel con el mismo valor en la misma position para dos imagenes cifradas, es mas diflcil acercarse a dicho valor ideal a medida que las imagenes son mas grandes; para el UACI que evalua que tan diferente son dos imagenes cifradas, no es logico pensar que este valor tenga que ser muy grande ya que se perderia desempeno en la entropia, o que sea muy pequeno puesto que las imagenes cifradas no senan lo suficientemente diferentes la una de la otra.

En la Tabla V, en los coeficientes de correlation, se puede observar que la referencia (8) presenta un mejor desempeno que la referencia (5), ya que a pesar de presentar correlaciones positivas mayores en las imagenes originales logra menores valores de correlaciones vertical y horizontal de las imagenes cifradas. La razon del mejor desempefio de la referencia (8) se puede atribuir a su buen proceso de permutacion, tener un proceso de difusion iterativo e incorporar mayor aleatoriedad a la mascara que se utilizan para difundir la imagen permutada.

En el caso de la entropia, la referencia (5) posee mejor desempeno que la (8), que seguramente se debe al uso de un proceso de permutacion mas complejo, puesto que en (5) el trabajo para la obtencion de las sucesiones caoticas es bastante exhaustivo.

En este trabajo se busco equilibrio entre seguridad y velocidad de ejecucion, es decir, lograr un algoritmo con buen nivel de seguridad sin perder velocidad de ejecucion.

5.Conclusiones

Con el desarrollo del presente algoritmo se evidencia que gracias a la complejidad en el comportamiento del sistema caotico de Lorenz y su propiedad de sincronizacion, se logra obtener un sistema de encriptacion de imagenes a escala de grises con buen desempeno en cuanto a seguridad y velocidad de ejecucion comparable con los resultados obtenidos en trabajos recientes.

La propiedad de no predictibilidad generada por el sistema de Lorenz fue aprovechada para generar un sistema de encriptamiento eficiente, el cual, como lo demuestra el analisis estadfstico, evidencia una alta resistencia a ataques estadfsticos conservando un alto nivel de entropia, sin la necesidad de mantener un constante cambio de las condiciones iniciales del atractor. Esto significa un uso eficiente de las propiedades de sincronizacion y entropfa del sistema caotico de Lorenz.

El uso inapropiado de los parametros mostrados en este artfculo puede generar una codification no adecuada de la imagen. Al usar un incremento de tiempo muy pequeno del atractor, la variabilidad del estado anterior y siguiente no es significativa, volviendo el sistema vulnerable a ataques estadfsticos; asf, el atractor debe tener incrementos de tiempo grandes para generar mayor entropfa.

Aunque en el presente trabajo se utiliza unicamente el atractor de Lorenz, para trabajos futuros se sugiere explorar con otros atractores caoticos buscando obtener mejores medidas de desempeno y con mayor espacio de clave. Por otra parte, el algoritmo presentado esta disenado para codificar imafgenes en escala de grises, se espera que el trabajo desarrollado en este artficulo pueda contribuir en el desarrollo de algoritmos para codificar imagenes a color.