Algoritmo genético de Chu-Beasley

Esta metaheurística permite un manejo particular tanto de la población objeto de estudio como de la población inicial, la cual debe ser totalmente surtida para evitar la aproximación prematura a soluciones óptimas locales. Este enfoque utiliza una serie de funciones que ayudan a mejorar el rendimiento computacional y a la vez lo hace competitivo con respecto a otras metaheurísticas como tabú o colonia de hormigas (^{Donati et al., 2008}), haciendo uso de la función fitness. Se seleccionan los progenitores por torneo. Cada instancia se analiza en dos aspectos: i) el valor alcanzado por la función objetivo y ii) grado de verosimilitud, el cual se mide mediante una función cuyo valor es proporcional al grado de violación de las condiciones dadas por las restricciones. Esta última consiste en una función que retorna valores positivos proporcionales a la violación de las restricciones, y cero (0) cuando no hay violaciones haciendo la configuración factible.

El algoritmo ^{Chu-Beasley (1997)} y el algoritmo genético (Guasmayan, 2014) tienen la opción de incluir nuevas fases de mejoramiento, mediante sus fases de selección, recombinación y mutación (Solarte, Castillo y Rodríguez, 2015) (ver diagrama de flujo en figura 1).

Fuente: elaboración propia.

Figura 1 El algoritmo genético de Chu-Beasley modificado 

Técnica de barrido

Esta metodología parte de una asignación preliminar que permite crear una ruta preliminar. Usa coordenadas angulares para determinar la posición de los clientes y simultáneamente ejecuta un barrido hasta encontrar el ángulo más cercano asociado con el vecino más cercano. Luego, traza una línea desde el origen-deposito hasta el cliente. Se guardan la información de la ruta si cumple con las restricciones de capacidad del vehículo, en el caso que existan dos clientes con los mismos ángulos de orientación se cataloga según el radio más cercano. En la figura 2 se muestra la heurística de barrido.

Fuente: elaboración propia.

Figura 2 Diagrama de flujo: técnica de barrido 

Metaheurística de búsqueda tabú

El objetivo de este proceso metaheurístico es evitar quedar apresado dentro de un óptimo local. El método tabú (^{Glover, 1987}) adelanta búsquedas en el espacio de configuraciones, analizando de manera apropiada los óptimos locales. Se evita retornar al conjunto de óptimos locales ya evaluados, mediante la una marcación conocida como movimientos tabúes, para impedir que sean visitados de nuevo.

La búsqueda tabú (TS) (Bodas, 2017) hace uso de dos estrategias: intensificación y diversificación. La primera intensifica la búsqueda alrededor de las mejores soluciones. La segunda se enfoca en otros subespacios para nuevas búsquedas. Después de un conjunto de acciones se puede encontrar una mejor que sea candidata para remplazar la solución existente. Para lo anterior se implementa la llamada regla de aspiración, que permite eliminar la prohibición y facilita el movimiento. Tanto las estrategias de intensificación como de diversificación se completan con una estrategia de encadenamiento de trayectoria (o path relinking), que interconecta las buenas soluciones.

Caso de estudio

En el municipio de Dosquebradas, según los informes presentados al área de aseo de la empresa Serviciudad, se planean las rutas dentro de cada sector y para cada camión, con las siguientes condiciones:

En este caso se obtuvo una distancia promedio de 16,15 km con un tiempo real promedio de 6,12 h (tabla 2), para un tiempo de 1 hora con 37 minutos de lo que se puede obtener un valor de velocidad media para rutas sin congestión vehicular de 2,64 m/h. Ahora se escogerá una ruta con los puntos de recolección (tabla 1).

En la tabla 2 se muestra el resumen de las rutas y costos de la empresa de servicio de aseo Serviciudad.

Tabla 2 Información de rutas de camiones 

Fuente: elaboración propia.

De acuerdo con la tabla 2 se identifica la velocidad a la cual se mueven los vehículos, se muestra la velocidad promedio, que es de 2,7 km/h, con un costo total promedio de aproximadamente 17.100 COP/km * 20 km = 342.000, por ruta hasta el relleno sanitario.

Modelo matemático base de la solución del problema

Tomando como referencia el modelo matemático propuesto por ^{Olivera (2004)}, y sintetizado en las ecuaciones (1) a (11).

Sujeto A:

Cada camión tiene una capacidad de carga denominada q, un nodo (cliente) tiene una demanda. Tomando los datos valores enteros y no negativos, el modelo es determinístico, donde las restricciones buscan que se encuentren las rutas de costos mínimos. Además, se definen restricciones para cada vehículo de tal manera que:

La ecuación (1), función objetivo, minimiza la suma de los costos de ir desde el punto de inicio hasta todos nodos. La ecuación (2) obliga a asignar un camión a la ruta (i,j), si esta va a ser transitada, y a no asignar si la ruta no va ser transitada. La restricción dada por la ecuación (2) usa la variable de decisión x, la cual para x=1, indica usar el vehículo k en el arco i, j, en caso contrario toma el valor de cero. En las ecuaciones (3) y (4) se describe la activación del arco (i, j) haciendo uso de la variable y. Al mismo tiempo se define un trayecto entre los nodos i, j, y se garantiza que un nodo sea visitado una vez por camión. Las ecuaciones (5) y (6) muestran para el parámetro k, la cantidad de vehículos utilizados en la solución que parten de un solo punto de inicio y deben regresar al mismo punto de inicio. En la ecuación (7) se define la capacidad del vehículo y se garantiza que no se sobrepase esta capacidad. La ecuación (8) se centra en evitar los ciclos para ello utiliza el conjunto de nodos. La ecuación (9) limita la cantidad de camiones que pueden ser utilizados, es decir la cantidad máxima y por último las ecuaciones (10) y (11) muestran que las variables x, y son binarias.

Clustering, sweep, genetic y tabu routing (CSGTR)

La figura 3 muestra las tres fases de desarrollo del enfoque propuesto, CSGTR.

Fuente: elaboración propia.

Figura 3 Modelo híbrido CSGTR 

La metodología propuesta permite aprovechar las ventajas de la agregación (clúster) antes de iniciar el ruteo de los camiones, para lo cual emplea un enfoque heurístico, como la técnica de barrido, seguido de otros metaheurísticos (algoritmo genético Chu-Beasley y búsqueda tabú). Con este enfoque se pretende generar resultados más inteligentes, en aras de reducir los tiempos, distancias de recorridos y costos de los camiones recolectores de basuras, en el caso del municipio de Dosquebradas, Risaralda.

La técnica heurística de barrido

Como se mencionó anteriormente, la técnica de barrido parte de un punto inicial para generar una ruta preliminar. Mediante la implementación de la heurística de barrido se pretende clasificar los 144 puntos de recolección no solo por distancia, sino también por la capacidad de restricción del vehículo recolector, en este caso se obtiene una solución inicial del problema que luego será utilizado en la segunda fase. En la figura 4, se muestran los datos de algunos de los puntos de recolección de basura en ángulos y distancias polares.

Fuente: elaboración propia.

Figura 4 Datos de entrada sweep_input  

En el siguiente código 1 se presenta un extracto del código en C++ de la heurística de barrido:

Fuente: elaboración propia.

Código 1 Heurística de barrido 

El código de barrido genera un conjunto de rutas (vectores) de menor distancia que corresponden a los diferentes recorridos que deben realizar los camiones (7) para visitar todos los puntos (144) de recolección (ver “Resultados”).

Para visualizar estas rutas en un mapa se implementó el siguiente Código API de Google Maps, que las genera automáticamente utilizando el API de GoogleMaps®:

Fuente: elaboración propia.

Código 2 Código de API de Google Maps modificado 

Las rutas encontradas son pasadas como población inicial al algoritmo genético de Chu-Beasley.

Script implementado por los autores

• printing_routes.m: y usado para imprimir las rutas de la solución.

• final.plot_routes.m: script implementado por los autores, usado para graficar las rutas en una ventana y generar los archivos internos de texto para cada ruta propuesta en el algoritmo.

• GA_Routines.m: script principal que invoca los scripts mencionados anteriormente.

• Ga_Routines.m: script principal que recibe como insumos un file de texto denominado “Puntos_Barrios.txt”. En este último se tienen las coordenadas geográficas de los puntos de recolección y otro archivo denominado “Matriz_Distancia.txt” que contiene la matriz de distancia encontrada en la fase de la heurística de barrido. La salida de este script es una variable denominada xs que contiene el orden en el que se deben visitar los diferentes puntos de recolección.

• crossover_permutation.m: recibe como parámetros los mejores individuos que pasaron la selección por torneo. Este script toma dos individuos y genera un punto de cruzamiento aleatorio: este se realizó siguiendo Guasmayan (2014); el script cuenta con la función Fix_Sons que modifica un individuo creado en caso de que tenga alelos repetidos. Fix_Sons fue creado acorde a las recomendaciones del documento citado previamente.

• mutation_children.m: usa los padres para crear hijos mutados. Se seleccionan dos números aleatorios, los cuales hacen referencia a los alelos a modificar. Lo anterior se logró con las siguientes instrucciones:

Fuente: elaboración propia.

Código 3 mutation_children.m 

• traveling_salesman_fitness.m: script de Matlab usado para calcular la función de desempeño del algoritmo genético.

• mutate_permutation.m: script usado para personalizar la forma en la que se mutan los individuos de una población.

• Look_For_Repeated_Indexes.m: script auxiliar de mutate_permutations.m que le permite identificar si un individuo posee alelos repetidos.

• Fix_Sons.m: script implementado por los autores, auxiliar de mutate_permutations.m que le permite reparar individuos en caso de que tengan alelos repetidos.

• crossover_permutations.m: script de Matlab que permite cruzar los individuos de una población de manera personalizada.

• create_permutations: script de Matlab que permite crear la población inicial del algoritmo.

• create_permutations.m: crea un vector de permutaciones, el cual contiene los números que identifican los puntos de recolección. El rango de los elementos de este arreglo va desde 1 hasta el número de puntos de recolección. Se excluye el punto de donde salen los camiones y el relleno sanitario, ya que su posición en el vector solución es fija.

En cuanto al reemplazo de la población y las operaciones asociadas al algoritmo genético, son llevadas a cabo de manera automática por el toolbox a través de la instrucción contenida en el script GA_Routines: [x, fval, reason,output]=ga(FitnessFcn,numberOfVariables,options).

El siguiente script plot_routes.m: implementado por los autores, realiza las gráficas de las rutas e imprime las coordenadas geográficas de los puntos de recolección involucrados. Las distancias se calculan con el servicio de Distancia de Google, el cual facilita el cálculo de las distancias del origen a los otros 25 puntos. Para hacer uso del servicio, se debe crear una página web (HTML y JavaScript). Se generan dos archivos con las matrices de tiempo y distancias y distancias (costos). Con las matrices de tiempo y distancia de 144 × 144 y la demanda de cada uno de los puntos de recolección de basura se procede a ejecutar el algoritmo genético Chu-Beasley.

Una vez se adapte código algoritmo de Chu-Beasly mejorado, al problema de esta investigación, se procede a pasar los datos preliminares de la etapa anterior como datos iniciales, para encontrar una mejor solución al problema. Este enfoque se basa en el hecho de que si el algoritmo genético tiene una buena población inicial le permitirá de manera más eficiente encontrar mejores soluciones.

Los resultados, las rutas generadas, son las entradas iniciales de la tercera fase.

Tercera fase (búsqueda tabú)

En esta fase final se reciben los datos generados por la metaheurística del algoritmo genético Chu-Beasley mejorado y se pasan como datos iniciales a la metaheurística búsqueda de tabú (TS) (^{Becerra y Alvarado, 2017}); con esta técnica se pretende optimizar las rutas tanto en tiempo computacional, distancia y costo del recorrido, para ello se utilizan las estrategias de intensificación y diversificación (seudocódigo búsqueda de tabú) (Bodas, 2017). Posteriormente, estas nuevas rutas se toman como datos de entrada para la metaheurística de tabú en el código Ts_init_solu_input. Posteriormente se procede a ejecutar el código de tabú implementado en Dev c++ por los autores (ver código 4 de tabú).

Fuente: elaboración propia.

Código 4 Código de tabú  

El resultado de esta tercera etapa genera la solución final que se muestra en la sección 4.3 Resultado final de la tercera fase (búsqueda tabú).

Resultado de la primera fase (clustering y técnica de barrido)

El punto de partida encontrado por el análisis de conglomerado de medias y que proporciona la ubicación de punto de partida tuvo las siguientes coordenadas: latitud 4.833.974 y longitud -75.681499. Este punto corresponde a la ubicación de Centro Administrativo Municipal, Dosquebradas, Risaralda. A partir de este punto de partida de los camiones mediante la heurística de barrido se generaron una serie de potenciales rutas. Utilizando el código 1. Heurística de barrido, la técnica heurística de barrido generó un conjunto de rutas (vectores) de menor distancia que corresponden a los diferentes recorridos que deben realizar los camiones siete (7) para visitar todos los 144 puntos de recolección de basura (tabla 4).

Tabla 4 Puntos de recolección de basura 

Fuente: elaboración propia.

En la tabla anterior 4 se muestra el resultado de las rutas generadas según el código presentado en la tabla 2, donde se solo se pueden mostrar hasta 55 puntos, restricción de la API de Google Maps.

Fuente: elaboración propia.

Figura 6 Técnica de barrido. Clasificación de las rutas 

Resultado de la segunda fase algoritmo genético de Chu-Beasley

Las siete (7) rutas encontradas en la fase anterior fueron pasadas como población inicial al algoritmo genético de Chu-Beasley, además de las matrices de distancia y tiempos (de 144 × 144) generadas por Google Maps. En las figuras 8 y 9 se presenta un pantallazo de estas matrices.

Fuente: elaboración propia.

Figura 7 Matriz de tiempos 

Fuente: elaboración propia.

Figura 8 Matriz de distancia 

Los valores de recolección de demanda aleatoria uniforme entre 1500 a 2500 toneladas generadas fueron:

Demanda

A continuación, se muestran las demandas de los puntos de recolección. Así, el primer valor 2435.1, se refiere a la cantidad de basura en kg generados en un barrio dado por un punto específico de recolección.

Los resultados de correr el algoritmo Chu-Beasley con todos los datos anteriores se muestran en la figura 10. El primer valor 1 hasta el siguiente valor 1, después del valor 56, representa el recorrido de un vehículo recolector, a través de los puntos 7, 12, 19, 13, 2, 8, 52, 53, 56, considerando los valores de basura a recolectar en cada barrio. Un nuevo valor 1 significa el inicio de una nueva ruta.

Tabla 5 Rutas para técnica del Barrido y algoritmo genético Chu-Beasly  

Fuente: elaboración propia.

Resultado final de la tercera fase (búsqueda tabú)

Las siete (7) rutas de la etapa anterior, como datos de entrada para la metaheurística de tabú, generaron las siguientes seis (6) rutas (figura 11), donde se muestra el tiempo y la carga recolectada por cada carro, que corresponde a una dada ruta.

Como se puede evidenciar, al comparar los resultados presentados en “Metodología-Caso de estudio”, se obtuvo una reducción de 7 a 6 rutas, y una reducción de costo de $342.000 a solo $138.755, es decir una reducción del 40 % en costos, como resultado de la combinación de las tres técnicas (del barrido, algoritmo genético de Chu-Beasley y búsqueda tabú) para la solución del problema de recolección de basuras del municipio de Dosquebradas.

En el código 2 se observa la carga de cada recorrido de un vehículo, según una de las 6 rutas generadas por la metaheurística tabú, ademas del tiempo del recorrido del vehículo.

La tabla 6 permite visualizar las 6 rutas generadas haciendo uso del código 2 implementado utilizando el API de Gogle Maps.

Tabla 6 Rutas resultado de la metaheurística tabú 

Fuente: elaboración propia.

Fuente: elaboración propia.

Figura 9 Por rutas generadas por la combinación de la técnica del barrido, genético de Chu-Beasley y tabú 

Tabla 7 Resultados modelo híbrido CSGTR 

Fuente: elaboración propia.