Introducción

El conocimiento del profesor de matemáticas se asume como una red compleja conformada por distintas dimensiones que se interrelacionan entre sí y que se movilizan durante la práctica docente. Tal constructo ha sido objeto de estudio por diversos autores que han desarrollado algunos modelos para lograr su análisis y comprensión (^{Ball et al., 2008}; ^{Carrillo-Yañez et al., 2018}; ^{Rowland et al., 2005}).

Específicamente, ^{Carrillo et al. (2013)} diseñaron el modelo conocimiento especializado del profesor de matemáticas (MTSK, por sus siglas en inglés), como un marco teórico-metodológico para analizar, comprender y caracterizar la diversidad de elementos que el docente manifiesta en relación directa con el contenido matemático y su enseñanza. Desde este modelo, el conocimiento es una amplia red de conceptos, habilidades e imágenes que tienen y utilizan las personas para ejecutar cualquier tarea, resolver problemas y lograr metas en la enseñanza de las matemáticas (^{Escudero-Ávila y Carrillo, 2020}).

El profesor de matemáticas desarrolla su labor en distintos ambientes, cada uno con características particulares, donde moviliza su conocimiento profesional. Para ^{Advíncula et al. (2021)}, el MTSK permite analizar el conocimiento que el docente pone en juego en escenarios como la planeación de clases, la enseñanza en el aula de clases, el análisis posterior o la discusión entre pares. En este sentido, la planeación de clase de matemáticas se convierte, para esta investigación, en un escenario pertinente que brinda oportunidades para caracterizar tal conocimiento.

En la planificación, el profesor debe seleccionar y secuenciar los contenidos, analizar los aspectos cognitivos propios del aprendizaje de los estudiantes, diseñar tareas, escoger recursos y estrategias de enseñanza para alcanzar los estándares u objetivos de aprendizaje esperados (^{Ferreira y Alencar, 2017}; ^{González et al., 2020}; ^{Pambas, 2021}).

En esta investigación, el contenido a enseñar son las simetrías en geometría, que se imparten en el nivel secundaria. Esta temática ha cobrado importancia en los planes de estudios en varios países del mundo, incluido Colombia, pese a que no ha sido tradicional su enseñanza en el aula, sino que muchas veces se omite o se deja para el final del año escolar, por lo que los docentes no están preparados para enseñarla y deben consultar y movilizar alternativas didácticas para tal fin (^{Barrantes, 2019}; ^{Pascual et al., 2021}).

Conocimiento especializado del profesor de matemáticas

Este estudio se fundamenta en el modelo MTSK (^{Carrillo-Yañez et al., 2018}) conformado por los dominios conocimiento matemático (MK), conocimiento didáctico del contenido (PCK) y creencias y concepciones sobre la matemática y su enseñanza-aprendizaje (figura 1).

Figura 1 Modelo conocimiento especializado del profesor de matemáticas 

Dado que el enfoque de esta investigación se centra en los subdominios del PCK, estos componentes se describen detalladamente a continuación.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS)

Hace referencia al conocimiento del profesor sobre lo que es esperado que aprenda el estudiante, teniendo en cuenta los estándares de conocimiento proporcionados por la entidad administradora de educación o construcciones propias justificadas con un elemento de juicio. Además, conoce las características cognitivas de los estudiantes para desarrollar el contenido matemático con el grado de profundidad requerido para un determinado momento escolar. Asimismo, posee el conocimiento sobre la secuenciación de los temas en un mismo grado escolar o con respecto a otros niveles. En la tabla 1 se resumen las categorías del PCK.

Tabla 1 Subdominios y categorías del PCK 

Materiales y métodos

Esta investigación se desarrolló desde un enfoque cualitativo con un estudio de caso instrumental como diseño metodológico (^{Muñoz-Catalán, 2021}; ^{Stake, 2007}), la información que proporcionó la informante permitió realizar un proceso de abstracción para analizar a profundidad su PCK y caracterizarlo. Se trata de una profesora novel de matemáticas, con cinco años de experiencia tanto en escuelas privadas como públicas en Colombia. En su corta experiencia ha enseñado el contenido matemático de simetrías y cuenta con estudios de posgrado en Educación Matemática. Además, mostró disposición y compromiso con la investigación desarrollada, siendo estas algunas características de los profesores expertos (^{Rojas et al., 2012}).

Para la recolección de la información se le proporcionó a la profesora un formato de planeación de clase, para que diseñara una o más sesiones de acuerdo con su calendario académico, con la intención de enseñar las simetrías en séptimo grado de secundaria (estudiantes con edades entre 11 y 13 años aproximadamente). Esta planeación se asumió como un escenario fuerte que brinda oportunidades para el análisis y caracterización del PCK (^{Flores et al., 2013}). En el formato se tuvieron en cuenta aspectos como el estándar de competencia en matemática a desarrollar, el derecho básico de aprendizaje relacionado con la temática, el propósito y los momentos de inicio, desarrollo y cierre de la clase. Cabe aclarar que no era obligatorio trabajar con este formato, dando libertad a la profesora de realizar modificaciones, adicionando o eliminando alguno de los aspectos mencionados anteriormente. La informante diseñó la planeación del tema la cual estuvo distribuida en cuatro sesiones, donde planteó preguntas orientadoras y actividades con distintos materiales didácticos. Además, postuló como estándar: Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

Después de recibir y analizar la planeación de la maestra, se diseñó un cuestionario de preguntas abiertas, el cual se aplicó en una entrevista semiestructurada con una duración de sesenta minutos que se ejecutó vía Google Meet debido a las restricciones ocasionadas por el confinamiento durante la pandemia de COVID-19. En ella se pudo profundizar en las distintas evidencias, indicios y oportunidades de conocimiento que mostró en la planeación de clase (^{Escudero-Ávila et al., 2016}). Se transcribieron los registros de la videograbación y se organizaron en unidades de análisis, se observó el conocimiento didáctico para enseñar las simetrías confrontando los datos recolectados con los dos instrumentos.

Para analizar la información, se construyeron descriptores de conocimiento para cada una de las categorías de los distintos subdominios del PCK y de acuerdo con ^{Escudero-Ávila y Carrillo (2020)}, se caracterizó dicho dominio siguiendo las bases teóricas y metodológicas para tal fin.

Resultados

A partir del análisis realizado a la planeación y triangulando la información con la entrevista y los descriptores, se pudieron evidenciar los siguientes resultados, de acuerdo con la caracterización de ^{Escudero-Ávila y Carrillo (2020)}.

Conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (KFL)

En el apartado de la metodología de aprendizaje de la planeación de clase, la profesora describió unas fases y niveles en los que se apoyó para diseñar la planeación (figura 2).

Nota: elaboración propia basada en la planeación de clase de la informante

Figura 2  Extracto de la metodología de aprendizaje de la planeación de clase  

Al respecto, se le preguntó:

I: En el apartado de metodología tiene unas fases de apertura, conceptual, metodológica y unos niveles que están descritos ¿Se basó en alguna teoría sea de enseñanza o aprendizaje para diseñar la planeación?

P: Sí, me basé en la teoría de Van Hiele, precisamente diseñada para adaptarla a la geometría y creo que para este caso de la simetría se acomodaba muy bien siguiendo los niveles descritos en la planeación (profesora, comunicación personal, 23 de noviembre 2021).

En este fragmento se pudo evidenciar el conocimiento movilizado por la profesora sobre el modelo de Van Hiele y su incidencia en el aprendizaje de la geometría, adaptando la planeación de clase a dichos niveles, para lograr la construcción del aprendizaje de las simetrías en los estudiantes. Este conocimiento es caracterizado en la categoría Teorías de aprendizaje asociadas a un contenido matemático.

Otro aspecto de la planeación que fue oportunidad de análisis estuvo dado por la actividad número 2 donde el estudiante debía completar la figura mostrada (figura 3).

Nota: tomada de la planeación de clase de la informante

Figura 3. Actividad número 2 de la planeación de clase  

En la entrevista se le preguntó:

I: ¿Qué características deben tener en cuenta los estudiantes para completar las figuras?

P: Lo ideal sería que tuviera en cuenta la actividad anterior, donde tenía trazada una línea vertical, el lado opuesto estaba similar o era el mismo, pero al otro lado, estoy hablando como el estudiante. Puede empezar a contar los cuadritos por eso hablaba de utilizar la regla, desplazar, dónde debo ubicar los puntos para que me quede la figura de este lado igual a la figura del otro lado para que haya esa correspondencia con esa línea vertical que está trazada ahí. Se le pregunta ¿Este dibujo que acabaste de hacer, de completar, qué nombre le colocarías? Se me ocurre que podría decir "es como un espejo" estoy dando un ejemplo de una posible respuesta, los niños tienen mucha imaginación, otros podrían decir "reflejar" (profesora, comunicación personal, 23 de noviembre 2021)

En este apartado se evidencian varios elementos. Primero, la profesora moviliza su conocimiento sobre los posibles términos mencionados por los estudiantes al interactuar con las simetrías como son: similar, el mismo, espejo, reflejar. Segundo, conoce estrategias no convencionales que los estudiantes pueden implementar para completar la figura mostrada, contando cuadritos y utilizando regla para lograr la correspondencia con la línea vertical. Estos elementos están caracterizados en la categoría Formas de interacción con un contenido matemático asociadas a su aprendizaje.

Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT)

En la planeación mostrada en la figura 3 y en el extracto de entrevista transcrito, también se logra observar que la profesora evidencia su conocimiento sobre preguntas orientadoras como estrategia de enseñanza al interrogar: ¿Qué nombre le colocarías al dibujo que realizaste? Lo que le permitió movilizar elementos de la categoría Estrategias, técnicas y tareas para la enseñanza de un contenido matemático. Por otro lado, en el momento de inicio de la planeación se observó un esquema cronológico sobre geometría y el concepto de simetría (figura 4).

Nota: tomada de la planeación de clase de la informante.

Figura 4  Extracto del inicio de la planeación de clase  

Este apartado proporcionó una oportunidad de conocimiento que se convirtió en evidencia cuando se le preguntó:

I: En el momento de inicio de la clase incluyó un esquema cronológico sobre la historia de la simetría ¿Cuál es la intención de la historia en el inicio de la clase?

P: Yo trabajo en la línea de investigación Historia de las matemáticas y para mí es importante que a los estudiantes se les mencione esta parte de la historia cuando se va a iniciar un tema, en este caso, las simetrías. Es importante que ellos identifiquen que esto no es algo que surgió de la nada, no es un concepto que se desarrolló de la nada, sino que tiene sus antecedentes y diferentes matemáticos empezaron a analizar a observar, que hay un recorrido, incluso desde mucho antes de nuestra era. Los griegos dan ese acercamiento empezando con Euclides, ya sabemos que fue un promotor en la geometría, un matemático muy importante y todo está plasmado en su libro Los elementos. Gracias a esos aportes de estos matemáticos podemos conocer hoy en día la simetría y sus diferentes aspectos, si no, ni existiría ni pensaríamos en eso.

I: ¿Trabajó con dos teorías de la educación matemática?

P: No es que yo haya unido dos marcos teóricos. Simplemente traté de implementar la historia en los niveles de Van Hiele. Por ejemplo, en esa parte de la historia también juega el nivel cero, el nivel de visualización. Aquí no se están visualizando figuras, pero sí se está hablando de esa visualización, de este recorrido histórico, de esta línea de tiempo. Es como una pequeña introducción, para tener idea de qué está pasando aquí (profesora, comunicación personal, 23 de noviembre 2021).

Lo anterior es evidencia del conocimiento que la profesora moviliza sobre la línea de investigación Historia de las matemáticas en la que ha trabajado e implementa como estrategia de enseñanza mediante una línea de tiempo, en el nivel cero del modelo de Van Hiele, para representar o mostrar el surgimiento y formalización de las simetrías. Este elemento es caracterizado en la categoría Estrategias, técnicas y tareas para la enseñanza de un contenido matemático.

Continuando con el análisis de las actividades propuestas en la planeación, una de ellas tenía figuras en una cuadrícula y varias preguntas para responder, como se observa en la figura 5. Esta información permitió ahondar más sobre el conocimiento de la profesora con respecto a los materiales didácticos.

Nota: tomada de la elaboración de clase de la informante

Figura 5  Actividad propuesta para la rotación  

I: Los ítems 10 y 11 se refieren a la rotación y están unas figuras en unas cuadrículas ¿Por qué escogió gráficas en una cuadrícula? ¿Pensó en utilizar GeoGebra?

P: Porque el estudiante tiene acercamiento con el plano cartesiano y con su cuaderno cuadriculado, esto le permite visualizar mejor esta parte. GeoGebra lo utilizo más adelante porque creo no le permitiría verlo o visualizarlo mejor porque él ya tiene su cuaderno que es cuadriculado y conocimiento del plano cartesiano. Esto le puede permitir mejor lo que quiere visualizar. No quiero decir que con GeoGebra no se puede ni con material manipulativo no se puede, podrían intentarse, pero desde mi punto de vista lo preferí así, creo que se adapta mejor (Profesora, Comunicación personal, 23 de noviembre 2021).

En el relato anterior, se moviliza el conocimiento de la profesora sobre los recursos didácticos que prefiere implementar para el diseño de sus actividades para la enseñanza de las simetrías, conociendo desde su experiencia, las incidencias positivas o negativas que pueden tener en el aprendizaje de los estudiantes. En este sentido, conoce las potencialidades y limitaciones de tales recursos para la enseñanza del contenido matemático en mención, caracterizándolo en la categoría Recursos materiales o virtuales de enseñanza asociados a un contenido matemático.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS)

Otro aspecto que permitió profundizar la entrevista con respecto a la información obtenida de la planeación estuvo relacionado con los temas posteriores a las simetrías.

I: ¿Para qué temas posteriores serviría la simetría sea en el mismo curso o en niveles avanzados?

P: En este grado no le veo mucho sino para posteriores. Cuando los estudiantes empiezan a trabajar con funciones, al dibujarlas en el plano cartesiano deben tener en cuenta esta parte de la simetría, por ejemplo, con las parábolas. También en este curso de funciones se le pide al estudiante que traslade la parábola tantas unidades a la derecha o la izquierda, tantas unidades hacia arriba o abajo. Se le pide este conocimiento de orientación y también se pregunta con respecto a qué eje del plano cartesiano son simétricas las funciones. En trigonometría cuando se habla de seno, coseno y tangente también se debe considerar esta parte. En las cónicas en un año escolar más adelante con la hipérbola, la parábola, la elipse aquí en esta parte también. Cuando se va a hablar del cálculo que se ve en un nivel superior también hay que tener en cuenta, la derivada, si es creciente o decreciente, los puntos de inflexión, porque cuesta mucho. Todas estas herramientas que se han construido gradualmente con las simetrías se emplean para los cursos de cálculo. Con simetrías abriría el panorama de los estudiantes en visualizar las figuras geométricas desde otro punto, algo que se va a mover que no va a ser algo quieto, sino que puede tener sus transformaciones y de acuerdo con el nivel educativo que se encuentre van a ser transformaciones más complicadas. De hecho, en Cálculo II cuando esté con integrales se ven estas figuras en 3D, ya hay programas especializados para eso, pero uno tiene que analizar porque ahí también se pregunta de la simetría, rotar estas figuras (profesora, Comunicación personal, 23 de noviembre 2022).

De acuerdo con lo anterior, la profesora movilizó su conocimiento sobre los temas posteriores a las simetrías en otros niveles escolares e incluso niveles superiores. Estos elementos son caracterizados en la categoría Secuenciación con temas anteriores y posteriores a un determinado momento escolar.

Discusión

Gracias a la anterior caracterización, se pudieron establecer los descriptores para las categorías de conocimiento movilizadas por la profesora, como se observa en la tabla 2.

Tabla 2 Descriptores de las evidencias del PCK de la profesora 

Nota: elaboración propia.

La tabla 2 muestra la potencialidad que tiene la planeación de clase como escenario para caracterizar el PCK del profesor de matemáticas, prueba de ello es la presencia de todos los subdominios que lo conforman y varias de sus respectivas categorías, lo cual es apoyado por las investigaciones de ^{Carreño y Climent (2019)} y Carreño et al. (2017), quienes también realizaron reflexiones sobre el plan de clase como ambiente para caracterizar el PCK.

El PCK incluye el conocimiento del profesor sobre teorías de aprendizaje formal en educación matemática, lo que le permite diseñar planificaciones, actividades o secuencias pensando en el razonamiento de los estudiantes (^{Parra-Sandoval, 2020}). En el caso de la profesora, se observó cómo el modelo de Van Hiele guio el diseño de su planeación implementando actividades de acuerdo con el nivel a trabajar e introducir al siguiente. Este modelo estudia cómo se produce el desarrollo del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo ayudar a mejorar su calidad, brindando orientaciones para estructurar el currículo educativo, base para la planeación, ayudando al estudiante a avanzar de un nivel a otro (^{Vargas y Gamboa, 2013}).

La profesora también movilizó sus conocimientos sobre la manera en que los estudiantes interactúan con las simetrías, teniendo presentes las estrategias no convencionales como el conteo de cuadritos para mover o completar una figura en una cuadrícula. Asimismo, evidenció conocer los posibles términos utilizados por los alumnos al referirse a la simetría como "similar" o "reflejar". Estos términos pueden surgir de la estrategia de preguntas o cuestionamientos implementada por ella durante el desarrollo de la actividad. Para ^{Zakaryan et al. (2018)}, el conocimiento sobre el vocabulario común y las estrategias no convencionales utilizadas por los estudiantes puede llevar a implementar cuestionamientos para validar sus propios planteamientos y flexibilizar el pensamiento de los alumnos. En este sentido, la planeación de clase permite evidenciar y caracterizar conocimientos tanto de la enseñanza como del aprendizaje de las matemáticas. De esta manera, se logra analizar cómo el KFLM y el KMT presentan una interdependencia o relación mutua resultado una conexión entre los distintos subdominios del PCK (^{Delgado-Rebolledo y Zakaryan, 2020}).

Otro aspecto importante en esta investigación es la implementación de la historia de la matemática como estrategia de enseñanza e introducción a las simetrías. Su aplicación varía desde el uso de momentos históricos antes de desarrollar un tema, tal como se incorporó en la planeación, hasta investigaciones en diferentes campos de la matemática, que tienen por objetivo cambiar la forma tradicional de la enseñanza (^{Castro-Soto et al., 2016}). Este conocimiento de la profesora es gracias a su trabajo de investigación en sus estudios de posgrado, que le proporciona acercamientos a varios enfoques y marcos teóricos tal como lo menciona ^{Zakaryan et al. (2018)}. Además, la planeación de clase le permitió movilizar su conocimiento sobre las potencialidades y limitaciones de los recursos con los que diseñó sus actividades y el estudiante puede estar familiarizado. Para ^{Padilla-Escorcia y Acevedo-Rincón (2022)}, conocer tales aspectos sobre los recursos didácticos permite una mejor compresión y visualización de los aprendices con respecto al contenido matemático.

Por otro lado, se evidenció el conocimiento de la profesora sobre temas posteriores a las simetrías, específicamente en aquellos cuyas actividades requieren este contenido matemático para su desarrollo, tales como trasladar gráficamente funciones o rotar figuras tridimensionales. Estos elementos son importantes al diseñar la planeación porque permiten una consecución de temas de manera lógica y organizada, en concordancia con ^{Zakaryan y Ribeiro (2016)}.

Conclusiones

Esta investigación permitió establecer, una vez más, la planeación de clase en un ambiente o escenario pertinente para estudiar y caracterizar el conocimiento didáctico del profesor de matemáticas. En el caso de la profesora, se pudieron establecer descriptores de conocimiento correspondientes a las categorías de los subdominios KFLM, KMT y KMLS del PCK. Estos conocimientos caracterizados son muestra de la importancia que tiene un diseño de planeación para enseñar un contenido matemático basado en teorías de enseñanza o aprendizaje mediante la implementación de estrategias y recursos para el desarrollo de una actividad propuesta, tomando los temas anteriores, como base, y previendo los posteriores que didácticamente necesiten de los conocimientos en construcción.

Un aspecto por destacar en el presente trabajo es la complementariedad de dos enfoques teóricos. La profesora supo cómo implementar su línea de investigación de historia de las matemáticas como estrategia para enseñar las simetrías en el nivel cero del modelo de Van Hiele. Este es un conocimiento clave para el diseño de su planeación que establece conexiones entre distintas visiones, con elementos quizá coincidentes para enseñar y aprender geometría.

Asimismo, este estudio aporta a la base teórica del MTSK al reflexionar sobre la relevancia y potencial que tiene el PCK y su caracterización, incidiendo en la construcción de programas profesionales más especializados en didáctica de las matemáticas, el trabajo resalta la importancia que también tiene el conocimiento matemático dentro del conocimiento profesional del docente. Ambos son parte del carácter especializado que desde el MTSK tienen los profesores de matemáticas (Carrillo-Yáñez et al., 2018).