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Introducción
El primer objetivo de este estudio metodológico es mostrar la estimación puntual y por intervalo de la medida de asimetría basada en la distancia estandarizada de la media a la moda de Pearson (1894), que es para variables cuantitativas, y la medida robusta de asimetría de Bickel (2002), que es para variables tanto cuantitativas como ordinales, usando el programa R. Para la medida de Pearson, se utilizan dos estimadores de la moda: la función de densidad de probabilidad empírica de Parzen (1962) y el estimador de Grenander (1965). Para la medida de Bickel, la moda se estima mediante su método de semimuestras reiterativas con variables cuantitativas y el método del valor de frecuencia máxima con variables ordinales. El segundo objetivo es calcular intervalos de confianza al 90 %, 95 % y 99 % con 10 000 extracciones aleatorias con reemplazamiento de muestras-población con distribución normal y diferentes tamaños para disponer de directrices interpretativas de estas dos medidas de asimetría. La distribución normal, que es simétrica y de colas medias, se adopta como referencia de simetría nula por su centralidad en la teoría de la probabilidad y por ser un modelo probabilístico seguido por variables cuantitativas en diversos campos científicos. Desde las normas generadas por simulación, se revisa la regla interpretativa del 0 ∓ 0.1 para simetría.
Concepto y medición de la asimetría
La asimetría es una propiedad de la forma de la distribución empírica. Definido un eje de simetría para dividir la distribución en dos partes, como la media aritmética, hay simetría si ambas partes de la distribución son iguales; por el contrario, hay asimetría si ambas partes son dispares (Moral, 2023; Shi et al. 2020).
Las medidas de asimetría relativas o libres de unidad de medida se definen como cocientes, proporciones o promedios centrados en 0 (Khan, Cheema, Hussain & Abdel-Salam, 2021). El valor de 0 indica asimetría nula, es decir, simetría. En una distribución unimodal continua, refleja que los dos hombros y las dos colas a ambos lados del eje de simetría son idénticos, esto es, un lado es el reflejo del otro. En este tipo de distribución, un valor positivo evidencia que la cola derecha es más larga que la izquierda, y, por el contrario, un valor negativo revela que la cola izquierda es más larga que la derecha (Sarka, 2021).
Se pueden distinguir cuatro tipos de medidas de asimetría (Eberl & Klar, 2019; Gupta & Kapoor, 2020). Un primer tipo se basa en el tercer momento central o tercer cumulante estandarizado; un segundo tipo, en los cuantiles o los expectiles; un tercer tipo son medidas mixtas que se basan en momentos y cuantiles, y, finalmente, existe un cuarto tipo de medidas robustas; una está basada en medias truncadas de forma simétrica (25 % a ambos lados) y asimétrica, 5 % a cada extremo (Bono, Arnau, Alarcón & Blanca, 2020) y otra en la estimación robusta de la moda (Bickel, 2002).
Distancia estandarizada de la media aritmética a la moda
La primera medida de asimetría de la distribución de una variable aleatoria fue la distancia estandarizada de la media aritmética a la moda y fue desarrollada por Pearson (1894). Se obtiene mediante un cociente. Su numerador es la diferencia entre la media aritmética (primer momento) y la moda que tiene que ser única. Su denominador es la desviación estándar (raíz cuadrada del segundo momento central). Se puede denotar por A P1 , al ser la primera fórmula desarrollada por Pearson (1894).
μX = media aritmética o esperanza matemática poblacional de X. Si X es una variable continua con soporte (−∞, ∞) y función de densidad f X (x), su media es la integral indefinida del producto de la variable X y su función de densidad. Si X tiene un soporte acotado, la media es la integral definida en dicho soporte.
Si X es una variable discreta con soporte {1, 2, …, n} y función de masa de probabilidad f X (x) = P(X = x), su media aritmética es la suma del producto de los valores de X y sus correspondientes probabilidades. Lo mismo aplicaría para un soporte no finito que abarque toda la recta de los números enteros o naturales.
Mo(X) = moda de X. Si X es una variable continua con soporte (−∞, ∞) y función de densidad f X (x), su moda corresponde al valor o los valores en los cuales su función de densidad alcanza su máximo o pico. Lo mismo aplicaría para un soporte acotado.
Si X es una variable discreta con dominio {1, 2, … n} y función de masa de probabilidad f X (x) = P(X = x), su moda es el valor o los valores con la probabilidad máxima. Lo mismo aplicaría para un soporte no finito que abarque toda la recta de los números enteros o naturales.
σX = desviación estándar de X. Si X es una variable continua con soporte (−∞, ∞) y función de densidad f X (x), su desviación estándar es la raíz cuadrada de la integral indefinida del producto del cuadrado de las puntuaciones diferenciales (con respecto a la media) y la función de densidad. Si X tiene un soporte acotado, la integral queda definida en dicho soporte.
Si X es una variable discreta con soporte {1, 2, … n} y función de masa de probabilidad f X (x) = P(X = x), la desviación estándar es la raíz cuadrada de la suma de productos del cuadrado de las puntuaciones diferenciales (con respecto a la media) y sus correspondientes probabilidades. Lo mismo aplicaría para un soporte no finito que abarque toda la recta de los números enteros o naturales.
Cuando la asimetría se calcula en una muestra aleatoria de n datos de X, se usa la media muestral (
Media muestral:
Moda muestral: mo = valor muestral con mayor frecuencia
Desviación estándar muestral o corregida de sesgo:
Estimación de la moda desde el histograma
Cuando la variable es continua y aparecen múltiples modas en la muestra aleatoria, se puede representar los datos por medio de un histograma de frecuencias. Se requiere determinar el número de intervalos de clase (k) y su amplitud (a), de preferencia homogénea o constante. Esto se puede hacer mediante la regla de Scott (1979), en caso de distribución normal: a = (3.49×s n−1 )/n 1/3, o la regla de Freedman y Diaconis (1981), en caso de no normalidad, a = (2×R IC )/n 1/3, donde s n−1 es la desviación estándar muestral o corregida de sesgo y R IC es el rango intercuartílico. Ambas reglas determinan la amplitud y esta determina el número de intervalos: k = ⌈R/a⌉ = ⌈[max(xi)-min(xi)]/a⌉. Otra opción es la regla de la Universidad de Rice (Lane, 2015), la cual define el número de intervalos (k = 2n 1/3) y de ahí la amplitud (a = R/k). Se trata de una simplificación de las dos reglas previas (Moral, 2023). Si en el histograma se observa un intervalo modal, esto es, con altura máxima, el valor de la moda se obtiene por interpolación lineal mediante una de las dos siguientes reglas:
Sea una muestra aleatoria de X integrada por n datos agrupados en k intervalos de clase con frecuencia absoluta n i , donde i = 1, 2, …, k, y ∑n i = n.
Intervalo modal:
Amplitud del intervalo homogéneo o constante: a = LS c − LI c
Para los ejemplos, se genera con el programa R una muestra aleatoria de 16 datos correspondiente a una supuesta prueba de aptitud que tiene distribución normal de media μ = 5.5 y desviación estándar σ = 2. Las puntuaciones se dan redondeadas a dos decimales.
|
x<-rnorm(16, 5.5, 2) round(x, 2) |
x = {5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71}
Se define la amplitud de los intervalos por la regla de Scott (1979).
Resultan tres intervalos de clase con amplitud de 2.563. Sus frecuencias aparecen en la Tabla 1. La Figura 1 muestra el histograma en el que se aprecia un intervalo modal.
Tabla 1 Frecuencias por intervalos de clase
| i | LI i | LS i | x i | n i | f i |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.43 | 3.993 | 2.712 | 5 | 0.3125 |
| 2 | 3.993 | 6.557 | 5.275 | 8 | 0.5 |
| 3 | 6.557 | 9.120 | 7.838 | 3 | 0.1875 |
| ∑ | 16 | 1 | |||
Nota. i = indicador de clase, LI i = límite inferior, LS i = límite superior, x i = marca de clase, n i = frecuencia absoluta simple, f i = frecuencia relativa simple.
Intervalo modal o con frecuencia máxima: [3.993, 6.557).
La moda coincide con ambas reglas de interpolación en este ejemplo y su valor es 4.955. El valor del coeficiente de asimetría de Pearson (1894) está muy próximo a cero, como se esperaba al proceder la muestra de una distribución normal.
La moda de Parzen
Otra opción para estimar la moda es usar el valor x con densidad máxima en la función de densidad de probabilidad empírica: f X (x), lo que se puede calcular mediante la librería de R, denominada modest (Poncet, 2022). Desde este planteamiento, se elige una de las funciones de Kernel y un ancho de banda para estimar la densidad (Parzen, 1962). El Kernel gaussiano y el ancho de banda recomendado por Silverman (1986) suelen ser la elección más común o práctica.
Sea una muestra aleatoria de n datos de la variable continua X.
Kernel gaussiano
Ancho de banda recomendado por Silverman (1986)
Desviación estándar muestral:
Rango intercuartílico:
Para el cálculo de los cuantiles, el programa R usa por defecto la regla 7 o moda de la i-ésima estadística de orden de una distribución uniforme estándar, la cual sigue una distribución Beta(α = i, β = n +1).
p = orden del cuantil
i = orden del dato
Cuantil de orden p o valor de X en la i-ésima posición.
Moda estimada:
Si la moda de Parzen (1962) se calcula por el programa R con el kernel gaussiano y el ancho de banda de Silverman (1986), las instrucciones son las siguientes.
|
library(modeest) x<-c(5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71) mo=mlv(x, method = "parzen", bw=bw.nrd0(x), kernel = "gaussian") cat("Moda de Parzen = ",mo,"\n") |
El resultado es el siguiente: Moda de Parzen = 4.229
Cabe señalar que el programa R tiene otros métodos para definir la función de Kernel aparte del gaussiano o normal, como el uniforme (kernel = "uniform"), biponderado ("biweight"), coseno ("cosine"), "eddy", "epanechnikov", coseno optimizado ("optcosine"), "rectangular" y "triangular". El más usado por sus propiedades matemáticas es el normal, pero el Kernel de Epanechnikov (1969) es el que minimiza el error cuadrático medio integrado y es el más recomendado. Se trata de una función parabólica y depende del ancho de banda. Se indica usar un ancho de banda que minimice el error cuadrático medio integrado asintótico y se recomienda el método de Sheather y Jones (1991) para estimar su valor (Guidoum, 2020; Henderson, Papadopoulos & Parmeter, 2023).
Si la moda de Parzen (1962) se calcula por el programa R con el kernel de Epanechnikov (1969) y el ancho de banda de Sheather y Jones (1991), las instrucciones son las siguientes:
|
library(modeest) x<-c(5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71) mo=mlv(x, method = "parzen", bw="SJ", kernel = "epanechnikov") cat("Moda = ",mo,"\n") |
El resultado es el siguiente: Moda = 4.075.
No hay una regla de interpretación general para el coeficiente A P1 . No obstante, se pueden calcular el error e intervalos de confianza por el método de muestreo repetitivo con reposición (bootstrap) mediante el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados (bca, por sus siglas en inglés) o el normal. Se recomienda un nivel de significación del 90 % con muestras pequeñas y medias y del 95 % con muestras grandes. El programa R permite este cálculo (Canty & Ripley, 2022). El ancho de banda se define por la regla de Silverman (1986), ya que el procedimiento de Sheather y Jones (1991) genera usualmente errores que detienen el cálculo. Es muy importante complementar el análisis con una inspección visual de los datos a través del histograma y una gráfica de caja y bigotes, lo que se añade a las instrucciones de R.
|
library(modeest) x<- c(5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71) boxplot(x, horizontal = TRUE, col="lightgrey") hist(x, breaks = "freedman-diaconis", col = "lightgrey", border = "black") m=mean(x) mo=mlv(x, method = "parzen", bw="SJ", kernel = "epanechnikov") s=sd(x) skpI= (m-mo)/s cat("Coeficiente de Pearson tipo 1 = ",skpI,"\n") library(boot) b<-boot(data=x, function(x, i) {(mean(x[i])- mlv(x[i], method = "parzen", bw=bw.nrd0(x), kernel = "epanechnikov"))/sd(x[i])}, R=1000) b plot(b) boot.ci(b, conf=0.90, type=c("bca","norm"), digits = 4) |
Coeficiente de Pearson tipo 1 = 0.486
El intervalo arrojado por R incluye el 0 por el método bca [-0.295, 1.027], pero no por el método normal [0.005, 1.708]. Se mantiene la hipótesis nula de simetría con un nivel de significación del 10%, ya que el método de percentiles corregidos de sesgo y estandarizados es más adecuado que el normal con muestras pequeñas (Mokhtar, Yusof & Sapiri, 2023).
Para tener referencias interpretativas en relación con la distribución normal que es simétrica y de colas medias, se hicieron estimaciones por intervalos con un nivel de confianza al 90 %, 95 % y 99 % por muestreo repetitivo con reemplazamiento (Tabla 2). Se generaron 32 muestras-población con distribución normal estándar de tamaño finito y rango de z = −3.5 (F Z [z = −3.5] = Φ(−3.5) = 0.0002) a 3.5 (F Z [z = 3.5] = Φ(3.5) = 0.9998). Se optó por muestras-población de n elementos normalmente distribuidos estrictamente simétricas para garantizar un valor poblacional nulo. Se adoptó el rango de −3.5 a 3.5, ya que es muy raro que aparezcan datos a más de tres desviaciones estándar de la media aritmética en una distribución normal y corresponde a una amplitud total de ocho veces el rango intercuartílico y unas siete veces la desviación estándar, como considera la regla de la Universidad de Rice (Lane, 2015) para definir el número de intervalos de clase en el histograma (k = ⌈2×n 1/3⌉) en relación con las reglas de Freedman y Diaconis (1981) y Scott (1979) y la distribución normal (Moral, 2023).
Los tamaños poblacionales N variaron de 10 a 200 con incrementos de 10 elementos, de 220 a 400 con incrementos de 20, de 450 a 500 con incremento de 50 y se termina con un tamaño de 1000. Se dividió el rango de probabilidades acumulativas por el tamaño muestral, ΔP = (0.999767371−0.000232629)/(N−1). Los datos poblacionales se obtuvieron con la función probit: z k = Φ−1(P k = 0.000232629 + (k−1)×ΔP), donde k = 1, 2, … N. Por ejemplo, para la población de tamaño 10: ΔP = 0.999534742/9 = 0.111059416.
Z (N=10) = {z 1 = −3.5, z 2 = −1.219685581, z 3 = −0.76427577, z 4 = −0.430514044, z 5 = −0.139644873, z 6 = 0.139644873, z 7 = 0.430514044, z 8 = 0.76427577, z 9 = 1.219685581, z 10 = 3.5}.
De cada una de estas 32 muestras-población se extrajeron al azar 10 000 muestras aleatorias por muestreo repetitivo con reposición para calcular el error estándar y los intervalos de confianza al 90 %, 95 % y 99 % del coeficiente de asimetría de Pearson 1. Se usó la moda de Parzen (1962) con el kernel de Epanechnikov (1969) y ancho de banda de Silverman (1986). Las instrucciones para el programa R son las siguientes, concretadas para la muestra-población de 10 datos. El resultado con las 32 muestras-población se muestra en la Tabla 2.
|
library(modeest) x<-c(-3.5, -1.219685581, -0.76427577, -0.430514044, -0.139644873, 0.139644873, 0.430514044, 0.76427577, 1.219685581, 3.5) m=mean(x) mo=mlv(x, method = "parzen", bw=bw.nrd0(x), kernel = "epanechnikov") s=sd(x) skpI=(m-mo)/s cat("Coeficiente de Pearson tipo 1 = ",skpI,"\n") library(boot) b<-boot(data=x, function(x, i) {(mean(x[i])- mlv(x[i], method = "parzen", bw=bw.nrd0(x), kernel = "epanechnikov"))/sd(x[i])}, R=1000) b plot(b) boot.ci(b, conf=c(0.90, 0.95, 0.99), type= "bca", digits = 4) |
Tabla 2 Intervalos de confianza por muestreo repetitivo para AP1 con la moda de Parzen y el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados
| N | A P1 | Sesgo | EE | IC al 90% | IC al 95% | IC al 99% | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| LI | LS | LI | LS | LI | LS | ||||
| 10 | 0.0061 | -0.010 | 0.381 | -0.600 | 0.609 | -0.706 | 0.702 | -0.942 | 0.876 |
| 20 | 0.0061 | -0.012 | 0.382 | -0.590 | 0.606 | -0.705 | 0.710 | -0.905 | 0.901 |
| 30 | -0.0054 | 0.000 | 0.396 | -0.652 | 0.647 | -0.744 | 0.736 | -0.948 | 0.890 |
| 40 | -0.0319 | 0.026 | 0.393 | -0.693 | 0.597 | -0.786 | 0.698 | -1.023 | 0.890 |
| 50 | 0.0059 | 0.001 | 0.390 | -0.651 | 0.639 | -0.748 | 0.726 | -0.912 | 0.895 |
| 60 | 0.0060 | -0.005 | 0.383 | -0.636 | 0.641 | -0.736 | 0.737 | -0.935 | 0.910 |
| 70 | -0.0085 | 0.004 | 0.381 | -0.641 | 0.636 | -0.741 | 0.738 | -0.903 | 0.932 |
| 80 | 0.0328 | -0.029 | 0.374 | -0.577 | 0.689 | -0.686 | 0.783 | -0.833 | 0.936 |
| 90 | -0.0063 | 0.009 | 0.370 | -0.641 | 0.613 | -0.733 | 0.712 | -0.922 | 0.878 |
| 100 | -0.0064 | 0.010 | 0.354 | -0.625 | 0.575 | -0.722 | 0.686 | -0.900 | 0.860 |
| 110 | 0.0064 | 0.001 | 0.357 | -0.607 | 0.605 | -0.715 | 0.706 | -0.883 | 0.860 |
| 120 | 0.0065 | -0.011 | 0.351 | -0.575 | 0.620 | -0.684 | 0.717 | -0.852 | 0.889 |
| 130 | -0.0065 | 0.008 | 0.343 | -0.610 | 0.559 | -0.707 | 0.668 | -0.871 | 0.841 |
| 140 | -0.0065 | 0.007 | 0.338 | -0.578 | 0.570 | -0.674 | 0.676 | -0.872 | 0.867 |
| 150 | 0.0001 | 0.006 | 0.336 | -0.579 | 0.561 | -0.679 | 0.668 | -0.840 | 0.844 |
| 160 | -0.0066 | 0.002 | 0.332 | -0.577 | 0.551 | -0.687 | 0.655 | -0.838 | 0.823 |
| 170 | 0.0066 | -0.008 | 0.325 | -0.516 | 0.585 | -0.638 | 0.682 | -0.811 | 0.838 |
| 180 | 0.0041 | -0.005 | 0.319 | -0.516 | 0.565 | -0.627 | 0.671 | -0.812 | 0.839 |
| 190 | 0.0041 | -0.008 | 0.319 | -0.505 | 0.575 | -0.610 | 0.681 | -0.774 | 0.871 |
| 200 | 0.0066 | -0.010 | 0.314 | -0.505 | 0.554 | -0.618 | 0.658 | -0.784 | 0.825 |
| 220 | -0.0066 | 0.006 | 0.304 | -0.529 | 0.504 | -0.627 | 0.599 | -0.792 | 0.772 |
| 240 | -0.0067 | 0.007 | 0.303 | -0.532 | 0.486 | -0.654 | 0.594 | -0.797 | 0.770 |
| 260 | -0.0002 | -0.003 | 0.295 | -0.478 | 0.513 | -0.572 | 0.621 | -0.757 | 0.792 |
| 280 | 0.0001 | 0.000 | 0.286 | -0.474 | 0.474 | -0.580 | 0.585 | -0.752 | 0.761 |
| 300 | 0.0042 | -0.003 | 0.284 | -0.460 | 0.499 | -0.561 | 0.598 | -0.728 | 0.755 |
| 320 | -0.0001 | -0.001 | 0.279 | -0.458 | 0.462 | -0.544 | 0.568 | -0.729 | 0.767 |
| 340 | 0.0001 | -0.001 | 0.276 | -0.461 | 0.460 | -0.559 | 0.562 | -0.730 | 0.734 |
| 360 | 0.0001 | 0.004 | 0.273 | -0.463 | 0.446 | -0.557 | 0.543 | -0.732 | 0.742 |
| 380 | 0.0042 | -0.004 | 0.273 | -0.441 | 0.462 | -0.540 | 0.559 | -0.704 | 0.738 |
| 400 | -0.0002 | -0.002 | 0.266 | -0.434 | 0.444 | -0.525 | 0.529 | -0.712 | 0.706 |
| 450 | 0.0001 | -0.003 | 0.257 | -0.423 | 0.427 | -0.506 | 0.504 | -0.677 | 0.676 |
| 500 | 0.0001 | 0.001 | 0.254 | -0.424 | 0.414 | -0.507 | 0.498 | -0.676 | 0.673 |
| 1000 | 0.0001 | 0.002 | 0.214 | -0.354 | 0.350 | -0.422 | 0.418 | -0.554 | 0.550 |
Nota. N = tamaño de la población, A P1 = coeficiente de asimetría de Pearson 1, EE = error estándar, IC = intervalo de confianza, LI = límite inferior y LS = límite superior del intervalo de confianza. Kernel de Epanechnikov y ancho de banda de Silverman (1986) para el cálculo de la moda de Parzen (1962). Número de extracciones: 10 000.
La moda de Grenander
La moda también se puede obtener por el estimador de Grenander (1965), resultando unos intervalos de confianza para el coeficiente de asimetría mucho más eficientes, esto es, con menor amplitud. Se ordenan los n datos muestrales en sentido ascendente.
Si k > 2p, M p,k (n) converge a una distribución normal. Si la distribución es simétrica, como la distribución normal, el estimador M p,k (n) es insesgado, pero si la distribución es asimétrica, el estimador M p,k (n) presenta sesgo. La forma de reducir el sesgo es incrementar el valor de p. Así, una opción es adoptar un valor central para k:
Retomando el ejemplo previo con la muestra aleatoria de 16 datos, las instrucciones para calcular A P1 con la moda de Grenander (1965) son las siguientes:
|
library(modeest) x<-c(5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71) m=mean(x) mo= mlv(x, method = "grenander", bw = NULL, k = floor(length(x)/2)+1, p = floor(length(x)/4)) cat("Moda = ",mo,"\n") s=sd(x) skpI= (m-mo)/s cat("Coeficiente de Pearson tipo 1 = ",skpI,"\n") library(boot) b<-boot(data=x, function(x, i) {(mean(x[i])- mlv(x[i], method = "grenander", bw = NULL, k = floor(length(x[i])/2)+1, p = floor(length(x[i])/4)))/sd(x[i])}, R=1000) b plot(b) boot.ci(b, conf=0.90, type= c("norm","bca"), digits = 3) |
El resultado arrojado muestra una clara simetría tanto por el método bca como por el normal: mo = 4.973, A P1 = (4.974−4.973)/1.851 = 0.001, IC bootstrap normal al 90 % (-0.378, 0.263) e IC bootstrap bca al 90 % (-0.408, 0.255).
Se calculan intervalos de confianza para una asimetría nula mediante simulación paramétrica (método normal) con la extracción con reemplazamiento de 10 000 muestras aleatorias a partir de cada de las 33 muestras-población de datos normalmente distribuidos (Tabla 3). El cálculo se hace por medio del programa R, las instrucciones son las siguientes:
|
library(modeest) x<-c(-3.5, -1.219685581, -0.76427577, -0.430514044, -0.139644873, 0.139644873, 0.430514044, 0.76427577, 1.219685581, 3.5) m=mean(x10) mo= mlv(x10, method = "grenander", bw = NULL, k = floor(length(x10)/2)+1, p = floor(length(x10)/4)) s=sd(x10) skpI= (m-mo)/s cat("Coeficiente de Pearson tipo 1 = ",skpI,"\n") library(boot) b<-boot(data=x10, function(x10, i) {(mean(x10[i])- mlv(x10[i], method = "grenander", bw = NULL, k = floor(length(x10[i])/2)+1, p = floor(length(x10[i])/4)))/sd(x10[i])}, R=10000) b plot(b) boot.ci(b, conf=c(0.90, 0.95, 0.99), type= "norm", digits = 3) |
Tabla 3 Intervalos de confianza por muestreo repetitivo y método normal para AP1 con moda de Grenander
| N | A P1 | Sesgo | EE | IC al 90% | IC al 95% | IC al 99% | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| LI | LS | LI | LS | LI | LS | ||||
| 10 | 0 | 0.002 | 0.174 | -0.288 | 0.285 | -0.343 | 0.340 | -0.451 | 0.447 |
| 20 | 0 | 0.002 | 0.204 | -0.337 | 0.333 | -0.402 | 0.397 | -0.527 | 0.523 |
| 30 | 0 | 0.001 | 0.189 | -0.311 | 0.310 | -0.370 | 0.369 | -0.486 | 0.485 |
| 40 | 0 | -0.001 | 0.189 | -0.310 | 0.313 | -0.370 | 0.372 | -0.487 | 0.489 |
| 50 | 0 | -0.002 | 0.181 | -0.296 | 0.299 | -0.353 | 0.356 | -0.465 | 0.468 |
| 60 | 0 | -0.002 | 0.180 | -0.294 | 0.298 | -0.351 | 0.355 | -0.462 | 0.466 |
| 70 | 0 | 0.003 | 0.177 | -0.294 | 0.287 | -0.349 | 0.343 | -0.458 | 0.452 |
| 80 | 0 | -0.0001 | 0.176 | -0.290 | 0.290 | -0.345 | 0.345 | -0.453 | 0.454 |
| 90 | 0 | -0.0005 | 0.173 | -0.284 | 0.285 | -0.338 | 0.339 | -0.445 | 0.446 |
| 100 | 0 | -0.0002 | 0.170 | -0.279 | 0.280 | -0.333 | 0.333 | -0.437 | 0.438 |
| 110 | 0 | -0.001 | 0.167 | -0.274 | 0.275 | -0.326 | 0.328 | -0.429 | 0.431 |
| 120 | 0 | 0.0004 | 0.165 | -0.272 | 0.272 | -0.324 | 0.324 | -0.426 | 0.425 |
| 130 | 0 | 0.002 | 0.163 | -0.269 | 0.266 | -0.321 | 0.317 | -0.421 | 0.417 |
| 140 | 0 | -0.002 | 0.163 | -0.266 | 0.269 | -0.317 | 0.320 | -0.417 | 0.420 |
| 150 | 0 | -0.001 | 0.160 | -0.263 | 0.265 | -0.314 | 0.315 | -0.413 | 0.414 |
| 160 | 0 | <0.001 | 0.159 | -0.261 | 0.261 | -0.311 | 0.311 | -0.409 | 0.409 |
| 170 | 0 | 0.001 | 0.155 | -0.256 | 0.254 | -0.305 | 0.303 | -0.400 | 0.398 |
| 180 | 0 | 0.002 | 0.153 | -0.254 | 0.250 | -0.302 | 0.298 | -0.396 | 0.392 |
| 190 | 0 | 0.001 | 0.153 | -0.253 | 0.251 | -0.301 | 0.299 | -0.395 | 0.393 |
| 200 | 0 | -0.001 | 0.151 | -0.248 | 0.250 | -0.295 | 0.297 | -0.389 | 0.391 |
| 220 | 0 | 0.003 | 0.148 | -0.245 | 0.240 | -0.292 | 0.287 | -0.383 | 0.378 |
| 240 | 0 | 0.001 | 0.145 | -0.239 | 0.237 | -0.285 | 0.282 | -0.374 | 0.371 |
| 260 | 0 | <0.001 | 0.144 | -0.237 | 0.237 | -0.282 | 0.282 | -0.371 | 0.371 |
| 280 | 0 | 0.002 | 0.143 | -0.237 | 0.233 | -0.281 | 0.278 | -0.369 | 0.366 |
| 300 | 0 | -0.002 | 0.138 | -0.226 | 0.229 | -0.269 | 0.273 | -0.354 | 0.358 |
| 320 | 0 | -0.001 | 0.137 | -0.224 | 0.227 | -0.267 | 0.270 | -0.351 | 0.354 |
| 340 | 0 | -0.001 | 0.134 | -0.219 | 0.221 | -0.261 | 0.264 | -0.344 | 0.346 |
| 360 | 0 | -0.0002 | 0.132 | -0.217 | 0.218 | -0.259 | 0.259 | -0.340 | 0.341 |
| 380 | 0 | 0.002 | 0.133 | -0.220 | 0.217 | -0.262 | 0.259 | -0.344 | 0.341 |
| 400 | 0 | -0.001 | 0.132 | -0.216 | 0.218 | -0.257 | 0.259 | -0.339 | 0.341 |
| 450 | 0 | <0.001 | 0.126 | -0.207 | 0.207 | -0.247 | 0.246 | -0.324 | 0.324 |
| 500 | 0 | 0.001 | 0.123 | -0.204 | 0.202 | -0.243 | 0.241 | -0.319 | 0.317 |
| 1000 | 0 | -0.001 | 0.102 | -0.167 | 0.170 | -0.199 | 0.202 | -0.262 | 0.265 |
Nota. N = tamaño de la población, A P1 = coeficiente de asimetría de Pearson 1, EE = error estándar, IC = intervalo de confianza, LI = límite inferior y LS = límite superior del intervalo de confianza.
Medida robusta de asimetría basada en la moda de Bickel
La asimetría de Bickel (2002) a nivel poblacional se define como el complemento del valor en la función de distribución acumulativa de la moda poblacional y se puede denotar por A B . Su valor varía de −1 a 1 y 0 indica simetría.
A nivel muestral requiere estimar la moda. Dada una muestra de tamaño n, A B se calcula mediante la siguiente fórmula, donde # es la cardinalidad o el número de veces que se cumple la condición entre los n elementos de la muestra.
La moda se estima por medio del método de semimuestras reiterativas de Bickel (2002). Se trata de un procedimiento no paramétrico y robusto (Ruzankin, 2022). Este proceso reiterativo consiste en dividir la muestra total en submuestras con ⌊n/2⌋+1 elementos y se busca la que tenga el rango mínimo. Se repite el procedimiento con esta submuestra y las siguientes hasta obtener una submuestra de dos elementos y con su promedio se obtiene la moda o hasta quedarse con un solo elemento que es la moda. Véase el cálculo en la muestra de 16 elementos previamente utilizada.
Paso 1: Se ordenan los datos de la muestra total o inicial en sentido ascendente:
s1 = {1.43, 2.9, 3.32, 3.71, 3.83, 4.02, 4.09, 4.63, 4.92, 5.26, 6.09, 6.31, 6.37, 6.62, 7.58, 8.51}.
Cardinalidad de la muestra s1: n = 16.
k = ⌊n/2⌋ + 1 = ⌊16/2⌋ + 1 = 9 → Se divide en ocho submuestras de nueve elementos ordenados, se calcula el rango de cada submuestra y se busca el rango mínimo.
Min(4.92−1.43=3.49, 5.26−2.9=2.36, 6.09−3.32=2.77, 6.31−3.71=2.6, 6.37−3.83=2.54, 6.62−4.02=2.6, 7.58−4.09=3.49, 8.51−4.63=3.88) = 2.36.
Paso 2: Se retiene la submuestra con el rango mínimo: s2 = {2.9, 3.32, 3.71, 3.83, 4.02, 4.09, 4.63, 4.92, 5.26}.
Cardinalidad de la muestra s2: n = 9.
k = ⌊n/2⌋ + 1 = ⌊9/2⌋ + 1 = 5 → Se divide en cinco submuestras de cinco elementos ordenados, se calcula el rango de cada submuestra y se busca el rango mínimo.
Min(4.02−2.9=1.12, 4.09−3.32=0.77, 4.63−3.71=0.92, 4.92−3.83=1.09, 5.26−4.02=1.24)= 0.77.
Paso 3: Se retiene la submuestra con el rango mínimo: s 3 = {3.32, 3.71, 3.83, 4.02, 4.09}.
Cardinalidad de la muestra s3: 5.
k = ⌊n/2⌋ + 1 = ⌊5/2⌋ + 1 = 3 → Se divide en tres submuestras de tres elementos, se calcula el rango de cada submuestra y se busca el rango mínimo.
Min(3.83−3.32 = 0.51, 4.02−3.71=0.31, 4.09−3.83=0.26) = 0.26.
Paso 4: Se retiene la submuestra con el rango mínimo: s4 = {3.83, 4.02, 4.09}.
Cardinalidad de la muestra s4: 3.
k = ⌊n/2⌋ + 1 = ⌊3/2⌋ + 1 = 2 → Se divide en dos submuestras de dos elementos, se calcula el rango de cada submuestra y se busca el rango mínimo.
Min(4.02−3.83=0.19, 4.09−4.02=0.07) = 0.07.
Paso 5: Se retiene la submuestra con el rango mínimo: s5 = {4.02, 4.09}.
Cardinalidad de la muestra s4: 2.
k = ⌊n/2⌋ + 1 = ⌊2/2⌋ + 1 = 2→ una muestra de dos elementos.
La moda es el promedio de los dos elementos: Mo = (4.02+4.09)/2 = 4.055.
Una vez estimada la moda en esta muestra aleatoria de 16 datos por el método de semimuestras reiterativas, se puede calcular la asimetría robusta de Bickel (2002).
Cuando se estima el coeficiente por intervalo con un nivel de confianza del 90 % mediante el procedimiento de percentiles corregidos de sesgo y acelerados, se observa que el 0 está incluido, por lo que se concluye que la muestra es simétrica con un nivel de significación a dos colas del 10 %.
La moda por semimuestras reiterativas, el coeficiente de asimetría y el intervalo de confianza se pueden calcular con el programa R mediante las siguientes instrucciones. Como resultado es el siguiente: n = 16, moda = 4.055, A B = 0.25, sesgo = -0.0618, error estándar = 0.3812, IC al 90% (-0.5045, 0.6875) por el método bca.
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library(modeest) x<-c(5.26, 7.58, 1.43, 2.90, 6.37, 8.51, 6.31, 4.63, 4.92, 4.02, 4.09, 6.09, 3.83, 3.32, 6.62, 3.71) ss <- length(x) cat("Tamaño muestral = ",ss,"\n") Mo=mlv(x, method = "hsm", bw = NULL, k = floor(ss/2)+1, tie.action = "mean", tie.limit = 0.05) cat("Moda = ",Mo,"\n") calcular_A <- function(x, Mo) {num_valores_Mo <- sum(x == Mo) num_valores_menores_Mo <- sum(x < Mo) A <- 1 - 2 * ((num_valores_Mo / 2 + num_valores_menores_Mo) / ss) return(A)} AB <- calcular_A(x, Mo) cat("Coeficiente robusto de asimetría de Bickel = ",AB,"\n") library(boot) b <- boot(data = x, statistic = function(x, i) { num_valores_Mo <- sum(x[i] == mlv(x[i], method = "hsm", bw = NULL, k = floor(length(x[i])/2)+1, tie.action = "mean", tie.limit = 0.05)) num_valores_menores_Mo <- sum(x[i] < mlv(x[i], method = "hsm", bw = NULL, k = floor(length(x[i])/2)+1, tie.action = "mean", tie.limit = 0.05)) A <- 1 - 2 * ((num_valores_Mo / 2 + num_valores_menores_Mo) / length(x[i])) return(A)}, R = 1000) b plot(b) boot.ci(b, conf = 0.90, type ="bca", digits = 4) |
En la Tabla 4, se presentan intervalos al 90 %, 95 % y 99 % para muestras de diversos tamaños de datos normalmente distribuidos correspondientes a una asimetría nula, obtenidos por muestreo repetitivo con reemplazamiento mediante el método no paramétrico de percentiles corregidos de sesgo y acelerados (bca), salvo el último con la muestra de 1000 datos que rebasa la capacidad de cálculo del programa, por lo que se acudió al método paramétrico o normal. Se opta por el método no paramétrico al ser más eficiente en general con este estadístico, especialmente con muestras pequeñas. Para los cálculos, se usan las 33 muestras-población generadas y se modifica la última línea del guion de instrucciones: boot.ci(b, conf = c(0.90, 0.95, 0.99), type = "bca", digits = 3). Las gráficas (histograma y gráfica cuantil-cuantil) muestran que las distribuciones extraídas de muestras-población pequeñas claramente se alejan de la normalidad, pero se observa una convergencia a la distribución normal según se incrementa el tamaño muestral.
Tabla 4 Intervalos de confianza para muestras normalmente distribuidas de distintos tamaños por el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados
| N | A B | Sesgo | EE | Método | IC al 90 % | IC al 95 % | IC al 99 % | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| LI | LS | LI | LS | LI | LS | |||||
| 10 | 0 | 0.187 | 0.362 | bca | -0.800 | 0.300 | -0.800 | 0.400 | -0.800 | 0.600 |
| 20 | 0 | 0.050 | 0.333 | bca | -0.650 | 0.450 | -0.750 | 0.550 | -0.850 | 0.700 |
| 30 | 0 | 0.062 | 0.308 | bca | -0.633 | 0.400 | -0.700 | 0.500 | -0.810 | 0.667 |
| 40 | 0 | 0.033 | 0.293 | bca | -0.550 | 0.425) | -0.625 | 0.525 | -0.750 | 0.700 |
| 50 | 0 | 0.032 | 0.283 | bca | -0.540 | 0.420 | -0.620 | 0.520 | -0.720 | 0.660 |
| 60 | 0 | 0.046 | 0.276 | bca | -0.533 | 0.400 | -0.600 | 0.483 | -0.733 | 0.633 |
| 70 | 0 | 0.033 | 0.267 | bca | -0.500 | 0.400 | -0.571 | 0.471 | -0.700 | 0.629 |
| 80 | 0 | 0.033 | 0.260 | bca | -0.488 | 0.388 | -0.563 | 0.463 | -0.692 | 0.613 |
| 90 | 0 | 0.018 | 0.253 | bca | -0.444 | 0.400 | -0.522 | 0.478 | -0.644 | 0.611 |
| 100 | 0 | 0.017 | 0.249 | bca | -0.440 | 0.390 | -0.510 | 0.470 | -0.650 | 0.620 |
| 110 | 0 | 0.013 | 0.246 | bca | -0.436 | 0.391 | -0.509 | 0.464 | -0.627 | 0.600 |
| 120 | 0 | 0.025 | 0.244 | bca | -0.442 | 0.383 | -0.508 | 0.458 | -0.615 | 0.592 |
| 130 | 0 | 0.020 | 0.242 | bca | -0.423 | 0.392 | -0.500 | 0.469 | -0.608 | 0.585 |
| 140 | 0 | 0.018 | 0.236 | bca | -0.429 | 0.369 | -0.493 | 0.443 | -0.620 | 0.571 |
| 150 | 0 | 0.018 | 0.234 | bca | -0.413 | 0.375 | -0.473 | 0.447 | -0.582 | 0.567 |
| 160 | 0 | 0.016 | 0.232 | bca | -0.419 | 0.363 | -0.481 | 0.431 | -0.600 | 0.565 |
| 170 | 0 | 0.018 | 0.227 | bca | -0.400 | 0.365 | -0.459 | 0.435 | -0.571 | 0.557 |
| 180 | 0 | 0.019 | 0.228 | bca | -0.414 | 0.350 | -0.482 | 0.417 | -0.600 | 0.544 |
| 190 | 0 | 0.014 | 0.224 | bca | -0.395 | 0.358 | -0.468 | 0.427 | -0.576 | 0.549 |
| 200 | 0 | 0.008 | 0.221 | bca | -0.380 | 0.360 | -0.445 | 0.430 | -0.555 | 0.555 |
| 220 | 0 | 0.008 | 0.221 | bca | -0.373 | 0.364 | -0.432 | 0.432 | -0.550 | 0.549 |
| 240 | 0 | 0.008 | 0.216 | bca | -0.375 | 0.354 | -0.438 | 0.413 | -0.553 | 0.521 |
| 260 | 0 | 0.012 | 0.215 | bca | -0.371 | 0.342 | -0.438 | 0.413 | -0.563 | 0.538 |
| 280 | 0 | 0.010 | 0.212 | bca | -0.373 | 0.339 | -0.435 | 0.403 | -0.537 | 0.518 |
| 300 | 0 | 0.010 | 0.208 | bca | -0.363 | 0.333 | -0.420 | 0.397 | -0.513 | 0.513 |
| 320 | 0 | 0.007 | 0.206 | bca | -0.359 | 0.334 | -0.416 | 0.394 | -0.528 | 0.512 |
| 340 | 0 | 0.014 | 0.204 | bca | -0.359 | 0.321 | -0.418 | 0.386 | -0.538 | 0.491 |
| 360 | 0 | 0.009 | 0.201 | bca | -0.350 | 0.322 | -0.411 | 0.381 | -0.504 | 0.487 |
| 380 | 0 | 0.008 | 0.202 | bca | -0.347 | 0.324 | -0.400 | 0.384 | -0.490 | 0.495 |
| 400 | 0 | 0.008 | 0.200 | bca | -0.335 | 0.333 | -0.398 | 0.392 | -0.504 | 0.488 |
| 450 | 0 | 0.009 | 0.195 | bca | -0.333 | 0.318 | -0.393 | 0.380 | -0.487 | 0.470 |
| 500 | 0 | 0.004 | 0.192 | bca | -0.322 | 0.322 | -0.380 | 0.376 | -0.482 | 0.476 |
| 1000 | 0 | 0.002 | 0.172 | norm | -0.286 | 0.282 | -0.340 | 0.336 | -0.446 | 0.442 |
Nota. N = tamaño de la población, A B = coeficiente de asimetría de Bickel, EE = error estándar, método: bca = percentiles corregidos de sesgo y acelerados, norm = normal o gaussiano, IC = intervalo de confianza, LI = límite inferior y LS = límite superior del intervalo de confianza.
Si la variable es ordinal y su distribución unimodal, la mejor opción es la asimetría robusta de Bickel (2002). El método para estimar la moda es mfv, que devuelve el o los valores más frecuentes de un vector numérico dado. Véase un ejemplo. Sea X la preferencia sexual con cinco categorías: 1 = heterosexual, 2 = preferentemente heterosexual, 3 = bisexual, 4 = preferentemente homosexual y 5 = homosexual. Se extrajo de una población de hombres jóvenes una muestra de 20 participantes. ¿La muestra es simétrica?
Se calcula la moda, A B y el intervalo de confianza por medio de las siguientes instrucciones:
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library(modeest) x<-c(5, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1) ss <- length(x) cat("Tamaño muestral = ",ss,"\n") Mo=mlv(x, method = "mfv") cat("Moda = ",Mo,"\n") calcular_A <- function(x, Mo) {num_valores_Mo <- sum(x == Mo) num_valores_menores_Mo <- sum(x < Mo) A <- 1 - 2 * ((num_valores_Mo / 2 + num_valores_menores_Mo) / ss) return(A)} AB <- calcular_A(x, Mo) cat("Coeficiente robusto de asimetría de Bickel = ",AB,"\n") library(boot) b <- boot(data = x, statistic = function(x, i) { num_valores_Mo <- sum(x[i] == mlv(x[i], method = "mfv")) num_valores_menores_Mo <- sum(x[i] < mlv(x[i], method = "mfv")) A <- 1 - 2 * ((num_valores_Mo / 2 + num_valores_menores_Mo) / length(x[i])) return(A)}, R = 1000) b plot(b) boot.ci(b, conf = 0.90, type ="bca", digits = 4) |
El resultado evidencia que distribución poblacional de la cual se extrajo la muestra aleatoria es asimétrica positiva. El índice salió positivo y mayor que 0 con un nivel de significación del 10 %: A B = 0.2, sesgo = -0.002, error estándar = 0.090, IC al 90 % (0.05, 0.35).
Discusión
La medición de la asimetría basada en la moda tiene un requisito fundamental que es la unimodalidad. La función de densidad de probabilidad (variable continua) o la función de masa de probabilidad (variable discreta) de la variable aleatoria tiene que presentar un pico. Estas medidas no son válidas para distribuciones bimodales o multimodales, salvo que sea dos valores consecutivos de frecuencia máxima. En ese caso, la moda es su media. La medición de Pearson (1894) está desarrollada para variable cuantitativa. Requiere el cálculo de la media aritmética y la desviación estándar, por lo que no es adecuada para variables ordinales. En cambio, la medida de Bickel (2002) es aplicable tanto a variables cuantitativas como ordinales. Ninguna de estas dos medidas se aplica a variables cualitativas, pero sí existe una propuesta de medición de asimetría con estas variables (Moral, 2022).
De forma genérica, se sugiere que valores de 0 más menos una décima reflejan simetría con tamaños de muestra medios. Valores por debajo de −0.10 pueden indicar asimetría negativa y valores mayores que 0.10 pueden reflejar asimetría positiva. Con tamaños de muestra pequeños, el error de una décima será mayor y, con tamaños de muestra grandes, será menor debido a que la precisión de la estimación se incrementa con el aumento del tamaño de la muestra (Pakgohar & Mehrannia, 2023). Esta regla es del todo inválida para las medidas de asimetría basadas en la moda, como evidencian las tablas presentadas en este trabajo. El intervalo debe ser mayor.
El uso de la asimetría de Pearson (1894) con la moda de Grenander (1965) proporciona los intervalos con menor amplitud. Si la variable es cuantitativa, su distribución no presenta casos atípicos o colas pesadas y la distribución es unimodal o bimodal con dos valores modales consecutivos, es la mejor opción. Los intervalos basados en muestreo repetitivo con reemplazamiento se pueden obtener por el método normal, especialmente si el parámetro k es más del doble que el parámetro p y su valor es grande. La regla de un medio del tamaño de la muestra redondeado a la baja más uno para k y un cuarto del tamaño de la muestra redondeado a la baja para p garantizan esta condición. Si la muestra es pequeña, el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados proporciona un intervalo de confianza con una amplitud más pequeña que el normal (Mokhtar et al., 2023).
La moda de Parzen (1962) es peor opción que la de Grenander (1965). Con esta moda basada en el máximo de la densidad estimada, el intervalo de confianza por el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados da mejor resultado que el obtenido por el método normal, sobre todo con muestras pequeñas. La distribución bootstrap se aleja de la normalidad con muestras pequeñas, pero converge a la distribución normal con muestras grandes. Si el tamaño de muestra es muy grande (n ≥ 1000), entonces, el método normal resulta la mejor opción.
La asimetría robusta de Bickel (2002) parece mejor opción que la asimetría de Pearson con moda de Parzen cuando la variable es cuantitativa. Con variables ordinales es la mejor opción de las tres medidas, ya que solo requiere que los datos sean ordinales y tengan una moda o dos modas consecutivas. Para estimar la moda no se usa el método de Bickel (2002), sino el método del valor muestral de frecuencia máxima. Como en el caso previo, la distribución bootstrap se aleja de la normalidad con muestras pequeñas, pero converge a la distribución normal con muestras grandes. La estimación por percentiles corregidos de sesgo y acelerados es buena opción con esta medida, especialmente si la variable es ordinal o discreta con un rango muy limitado (Mokhtar et al., 2023).
Se concluye que la medida de asimetría de Pearson con la moda estimada por el método de Grenander (1965) y el intervalo de confianza de muestreo repetitivo con reemplazamiento obtenido por el método normal es la mejor opción con variables cuantitativas y la asimetría de Bickel (2002) con la moda calculada por el método del valor con frecuencia máxima y el intervalo de confianza obtenido por el método de percentiles corregidos de sesgo y acelerados lo es para variables ordinales. Cabe señalar que la intención del presente estudio metodológico de simulación, centrado en el análisis estadístico de datos, es facilitar el uso de estas medidas que resultan sencillas de cálculo e interpretación con el programa R (Giorgi, Ceraolo & Mercatelli, 2022).
